Учебное пособие 1085
.pdf
|
|
|
|
|
= |
|
−1 |
|
= − |
1 |
|
|
|
|
|
|||
Т.е. получим |
|
|
− |
|
√5 |
1 |
1 |
1 |
||||||||||
( ) = |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|||||||||
√5 |
|
− |
− |
− |
|
= |
√5 |
− |
|
1 − |
|
+ |
|
1 − |
||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
Рассмотрим сумму бесконечно убывающих геометрических прогрессий
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
( |
|
|
) |
; |
|
|
1 |
|
|
= ( |
|
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1− |
|
|
|
|
При |
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 1 |
|
|
|||||||||||||||
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
< 1 и |
|
|
|||||||||||||||||
( ) = |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
√5 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
( |
|
) |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√5 |
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
[(− |
) |
|
|
|
−(− |
) ] |
||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
√5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
= |
1 |
|
|
1+√5 |
|
|
|
|
− |
|
1− √5 |
|
|
|||||||||||||
|
|
√5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
91
8.Z –ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
8.1.Определение Z – преобразования
При анализе и синтезе дискретных устройств широко используется Z–преобразование, играющее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральное преобразование Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам. Рассмотрим основы теории этого функционального преобразования и некоторые его свойства.
Одностороннее Z-преобразование последовательности x(n) определяется формулой:
( ) = |
( ) |
где z – комплексная переменная , а n интерпретируется как дискретное время. Из этого определения следует, что Z- преобразование представляет собой частный случай производящей функции, в которой в качестве базисной используется последовательность n (z) z n (n 0,1, 2,...)
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 1. Найти Z-преобразование единичного импуль-
са.
1, при n 0
Решение. Т.к. x(n) то X(z) 1
0 , при n 1,
Пример 2. Найти Z-преобразование единичного сигнала Решение. В данном случае x(u) 1, для n 0
( ) =
Данный ряд представляет собой бесконечную сумму убывающей геометрической последовательности знамена-
92
тель |
который |
|
|
q |
1 |
|
z 1 |
. |
Следовательно |
||||||||||
z |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X(z)сходится при |
|
|
z |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 3. Найти Z– преобразование экспоненциальной |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
; n 0 |
|
|||||
последовательности x(n) a |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; n 0 |
|
|||||||
Решение. Вычисляя Z-преобразование, получим |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
X(z) an z n (az 1)n |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 az |
1 |
|
|||||||||||||||||
|
n 0 |
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X(z)сходится при |
|
|
z |
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8.2. Обратное Z – преобразование
Очень важно уметь переходить не только от последовательности к ее Z – преобразованию, но и обратно от Z– преобразования к последовательности. Последний переход формально определяется соотношением
( ) = |
1 |
( ) |
2 |
В правой части этого равенства стоит контурный интеграл в Z-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости, охватывающему начало координат.
Обратное Z-преобразование можно найти несколькими способами:
1.Прямым вычислением контурного интеграла с использованием теоремы о вычетах
2.Разложением X (z) на простые дроби
93
3.Обычным делителем числителя X (z)на его знаменатель.
4.Разложением в степенной ряд.
Мы ограничимся рассмотрением двух первых из них. Первый способ основан на известной теореме из курса теории функций комплексного переменного, позволяющего
вычислить контурный интеграл через вычеты.
|
x(n) resX(z)zn 1 |
z внутри С1 |
|
|
|||||||
Рассмотрим пример 4, в котором |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
полюс в точке |
|
. Сле- |
|||||||||
В этом случае мы имеем простой |
|
||||||||||
( ) = |
|
|
|
|
( |
≥ 0) |
|||||
|
( ) = |
|
|
= |
= |
||||||
довательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При использовании второго способа Z-преобразование записывается в виде суммы простых дробей
|
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
имеет обратное Z- |
|
|
|||||||||||||||||||
Т.к. каждое слагаемое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
преобразование вида |
, получим |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
, |
< 0 |
|
≥ 0 |
|
|
|||||||||
Например, рассмотрим |
выражение |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Его можно записать в виде( ) = |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
6 |
|
|
− |
− 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
( ) = |
1 − |
|
5 − |
|
|
|
|
|
|
= |
|
1− |
|
|
|
5 1+ |
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
= |
|
|
3 |
|
+ |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 − |
|
|
94 |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В результате получаем ( ) = 3 |
|
|
|
+2 |
− |
|
, |
≥ 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
8.3. Свойства Z-преобразования |
|
|
|
|
||||||||||||||
1) |
Линейности -– |
− |
) ( |
|
− |
) |
↔ |
( ) |
( ) |
( ) |
||||||||||
2) |
|
где |
– |
( |
|
|||||||||||||||
Задержки -– |
|
( |
)+ |
|
|
( |
) ↔ |
+ |
|
|||||||||||
|
Умножения( ) |
функция единичного скачка |
|
|
||||||||||||||||
3) |
на экспоненту -– |
|
( |
) |
↔ |
( |
|
|
) |
|||||||||||
4) |
Умножения на n -– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|||||||||||||
5) |
Опережающего сдвига( -–) ↔ − |
|
( ) |
(0) |
||||||||||||||||
Указанные |
∑ |
( |
) ( |
− |
) |
|
↔ |
( ) |
||||||||||||
6) |
Свертки -– |
|
|
|
|
|
( |
+1) |
↔ |
( ) − |
||||||||||
|
|
|
свойства упрощают получение преобразований и |
|||||||||||||||||
их обращений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
8.4. Использование Z-преобразований для решения |
||||||||||||||||||
|
|
рекуррентных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
В качестве примера рассмотрим рекуррентное уравне- |
||||||||||||||||||
ние первого порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) = |
|||||
Пусть( ) =на( |
)+ |
( |
−1) |
с начальным условием |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
вход поступает последовательность (правая часть |
||||||||||||||||||
рекуррентного уравнения) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Умножаем обе части |
рекуррентного уравнения на величину |
|||||||||||||||||||
|
( |
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
и просуммируем по n от 0 до ∞: |
|
|
( |
|
−1) |
|||||||||||||
Используя свойство( ) =задержки( ), имеем+ |
|
|||||||||||||||||||
Откуда |
|
( ) = |
( ) + |
|
|
|
( )+ |
(−1) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
, то ( ) = |
|
( ) + |
|
|
(−1) |
|
|
|||||||||
Т.к. |
( ) = |
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
( ) = |
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
То |
( ) = |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разложив |
1− |
|
|
(1 − |
|
)(1 − |
) |
|
||||||
|
второе слагаемое на простые дроби, получим |
|||||||||||||
Вычислим( ) = |
|
|
+ |
|
( − |
) |
+ |
− |
( − ) |
|||||
1 − |
|
1 − |
|
1 − |
|
|
||||||||
|
обратное Z-преобразование |
( ) |
|
. |
|
|||||||||
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ |
|
− |
|
|
|
( ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Первое слагаемое в скобках представляет собой составляющую отклика, определяемую начальными условиями, а второе – переходную характеристику системы. Третье слагаемое описывает вынужденные колебания в системе.
8.5. Таблица односторонних Z-преобразований
Таблица 11
|
( |
) |
|
|
|
( ) |
|
( ) = |
1, |
= 0 |
|
|
|
1 |
|
0, |
≠ 0 |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
(−1) |
|
|
+1 |
|
||
|
|
|
|
( |
|
− 1) |
|
|
|
|
( |
+1) |
|||
|
|
|
|
( |
|
− 1) |
|
|
|
96 |
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
( |
|
− ) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
− 1) |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
− 2 |
|
cos |
+ |
|||
|
cos |
|
( |
|
− cos |
) |
||
|
|
− 2 |
|
cos |
+ |
|||
|
! |
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
1,0 ≤ |
≤ |
|
|
|
|
|
|
( |
− ) = 0, |
> |
|
1 − |
|
|||
97
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данное пособие восполняет имеющиеся пробелы в учебной литературе по курсу дискретной математики.
Издание рекомендуется для работы студентов при самостоятельном изучении теоретического материала, на практических занятиях в качестве справочного пособия, а также при выполнении типовых расчетов и подготовки к зачетам и экзаменам, предусмотренных учебными планами по указанной дисциплине.
Пособие поможет более глубокому и полному усвоению студентами ученого материала разделов теории множеств, комбинаторики, графов, рекуррентных уравнений и будет способствовать эффективной организации учебного процесса по этой дисциплине.
98
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Биркгоф Г. Современная прикладная алгебра / Г. Биркгоф, Т. Барти. - М.: Мир, 1976. - 400с.
2.Деза Е.И., Модель Д.Л. Основы дискретной математики: Учебник.- М.; изд. «URSS», 2010.
3.Карпов Ю.Г. Теория автоматов: учебник для вузов / Ю.Г. Карпов. - СПб.: Питер, 2003.- 208с.
4.Криницкий Н.А. Алгоритмы вокруг нас / Н.А. Криницкий. –2-е. изд. - М.: Наука, 1984. – 224с.
5.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов: учебник/Ф.А. Новиков. - СПб.: Питер, 2002.- 304с.
6.Просветов Г.И. Дискретная математика. Задачи
ирешения: Учебное пособие.- М. БИНОМ, 2008.
7.Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории/Р. Столл. - М.: Просвещение, 1968.- 231с.
8.Судоплатов С.В. Элементы дискретной математики: учебник/С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. – М.: ИНФРА-М, Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2002. - 280 с.
9.Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов.- М.ТЕХНОСФЕРА.- 2004.
10.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: учеб.пособие для вузов/С.В. Яблонский.– 3-е изд.
М.: Высш. шк., 2002.– 384 с.
99
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение |
3 |
1.Теория множеств |
5 |
1.1. Основные понятия |
5 |
1.2. Операции над множествами |
7 |
1.3. Алгебраические свойства |
|
операций над множествами |
10 |
2. Элементы комбинаторики |
11 |
2.1. Основные правила комбинаторики |
11 |
2.2. Выборки элементов без повторений |
12 |
2.3. Выборки элементов с повторениями |
14 |
2.4. Объединение комбинаторных конфигураций |
15 |
2.5. Бином Ньютона |
17 |
3. Отношения на множествах |
19 |
3.1. Декартово произведение множеств |
19 |
3.2. Булев куб и его свойства |
21 |
3.3. Понятие отношения |
23 |
3.4. Операции над отношениями |
25 |
3.5. Свойства отношений на множестве |
28 |
3.6. Отношения эквивалентности, |
|
толерантности и порядка |
29 |
3.7. Понятие отображения |
30 |
3.8. Алгебраическая операция |
31 |
3.9. Общие сведения об алгебраических системах |
34 |
4. Элементы нечёткой математики |
36 |
4.1. Нечёткие множества |
36 |
4.2. Нечёткие отношения |
38 |
5. Основные понятия теории графов |
42 |
5.1. Задачи теории графов |
42 |
5.2. Основные определения |
43 |
5.3. Степени вершин графа |
45 |
5.4. Изоморфизм графов |
46 |
5.5. Матричные способы задания графов |
47 |
100 |
|