Учебное пособие 1085

Когда множества X и Y не числовые, отображение называется оператором. Отображение не числового множества в числовое называется функционалом. Отображение f:X X называется преобразованием множества X.

Иногда рассматривают отображения f, определённое на некотором подмножестве Df X . В этом случае Df называ-

ется областью определения отображения f. Подмножество Imf={f(x) | x X} множества Y называется областью значений (образом )f.

Сужением (ограничением) отображения f:X Y, на подмножество A X, называется отображение fA(x), заданное равенством fA(x)=f(x), для всех x A.

Расширением (продолжением, распространением) отображения f:X Y на множестве B X (X – является подмножеством B) называется любое отображение fB:B Y, совпадающее с f на множестве X.

Если заданы три множества X,Y,Z и два отображения f:X Y и g:Y Z, то существует отображение h:X Z, которое определяется равенством h(x)=g(f(x)). Это отображение называется композицией (суперпозицией, произведением) отображений и обозначается gf. Композиция отображений обладает свойством ассоциативности, то есть h(gf)=(hg)f.

Отображение называется тождественным, если f(x)=x, для всех x X. Отображение f:X Y называется инъективным, если для любых двух элементов x1,x2 X , таких что x1 x2

следует, что f (x1) f (x2). Отображение называется сюръективным, если Imf=Y. Отображение, одновременно являющееся инъективным и сюръективным называется биективным.

3.8. Алгебраическая операция

Отображение f: An A называется n-местной алгебраической операцией на множестве A. Очевидно, что n-местная

31

алгебраическая операция на множестве A является (n 1) – местным отношением на множестве A. Приn 0 операция f: A0 A есть {( , a)} для некоторого a A. Эта операция называется константой на множестве A и отождествляется с некоторым элементом a этого множества. Приn 1операция f называется унарной, а при n 2 - бинарной.

Примерами унарных операций являются:

1.Элементарные функции одного аргумента - ex ,logx,sin x и другие;

2.Операция над множествами – дополнение A ;

3.Операции над отношениями – дополнение R , обрат-

ное отношение R 1 , составное отношение R2 R R и другие.

Примерами бинарных операций являются:

1.Арифметические операции – сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень.

2.Операции над множествами – пересечение, объединение и разность.

3.Операция композиции функций, отображений, отношений.

Обозначим символом ┬ произвольную бинарную алгебраи-

ческую операцию. Тогда операция над элементами a,b A,

дающая результат c A записывается в виде a┬b= c. Свойства бинарных операций:

1.Ассоциативность - (a┬b)┬с = a┬(b┬с). (Выполнение этого условия означает, что скобки в этом выражении можно не расставлять.)

2.Коммутативность - a┬b=b┬a.

3.дистрибутивность - a┬(b┴c)=(a┬b)┴(a┬c) - дистрибутивность операции ┬ слева относительно операции ┴ и (a┴b)┬c=(a┬c)┴(b┬c) – дистрибутивность операции ┬ справа относительно операции ┴

32

Способы задания операций Унарные операции задаются:

1.Перечнем всех аргументов a A и соответствующих им значений b A:

Таблица 8

писываются все значения аргументов, а на пересечении строк и столбцов – результат операции. Например, для операции “сложение по модулю 3” на множестве {0,1,2} имеет следующий вид:

Таблица 9

Например, для предыдущей операции:

3 {(0,0,0), (0,1,1), (0,2,2), (1,0,1), (1,1,2), (1.2,0), (2,0,2), (2,1,0), (2,2,1)}

3.Формулой f (a,b) c или a b= c. Например: a 3 b c, где 3 - операция сложения по модулю 3.

33

3.9. Общие сведения об алгебраических системах

Алгебраическая система – это множество с определенными на нем операциями и отношениями. Алгебраическая система – это объект A A,O,R , где A - непустое

множество, O - семейство алгебраических операций, а R - семейство отношений, заданных на множестве A. Множество A называется носителем алгебраической системы, а его элементы – элементами системы. Алгебраическая система называется конечной, если множество A конечно.

Множества O R всех главных операций и отношений в A называется сигнатурой в A. Алгебраическая система называется универсальной алгеброй, если множество ее отношений пусто O , и называется реляционной систе-

мой или моделью, если пусто множество основных операций

R .

ские системы одного и того же типа. Отображение : A B , называется гомомофизмом системы A в систему B, если выполняются следующие условия:

1.(oi (x1,x2,...,xmi )) o ( (x1), (x2),..., (xmi )) и

34

всех oi O и rj R .

Если : A B - гомоморфизм, то его обозначают :

A B.

Гомоморфизм : A B являющийся инъекцией, на-

зывается мономорфизмом. Гомоморфизм : A B, являющийся сюръекцией, называется эпиморфизмом и при этом система B называется гомоморфным образом системы A. Гомоморфизм : A A называется эндоморфизмом. Сюръек-

тивный мономорфизм : A B, для которого 1 гомоморфизм, называется изоморфизмом и обозначается :

A B. Изоморфизм : A A называется автоморфизмом системы A.

Понятие изоморфизма – одно из важнейших понятий в современной математике. При изоморфизме сохраняются действие всех основных операций и отношений. Это позволяет переносить изучение свойств с одной системы на другую.

35

4. ЭЛЕМЕНТЫ НЕЧЁТКОЙ МАТЕМАТИКИ. 4.1. Нечёткие множества

Пусть U-универсальное множество (универсум), А – некоторое подмножество множества U т.е. A U. Тот факт, что элемент х множества U принадлежит подмножествуАо- бозначается в виде x A. Для выражения этой принадлежности можно воспользоваться понятием характеристической функции

1,x A,A(x)

0,x A.

В данном случае характеристическая функция A(x) принимает только два значения 0 и 1.

Нечетким множеством А множества U называется множество упорядоченных пар

A {(x, A(x)},

где A(x)- функция принадлежности, принимающая свои значения из вполне упорядоченного множества .

Если M {0,1}, то нечеткое множество рассматривается, как обычное множество, являющиеся подмножеством универсального множества U.

Функция принадлежности может задаваться графически. Для этого в прямоугольной системе координат по оси ординат откладывается значение A(x) и по оси абсцисс элементы множества U.

1

x

0

Рис. 7

36

В случае конечного множества используется следующая запись:

A A(x1) A(x2) ... A(xr )

Для уровневых множеств нечетких отношений справедлива теорема от декомпозиции:

Любое нечеткое отношение R может быть представ-

отношение, ближайшее к данному нечеткому отношению определяется следующим образом:

39

1, ( , ) ≥ 0,5; 0, ( , ) < 0,5.

На нечетких отношениях вводятся отношения включения и равенства, а также операции дополнения, пересечения и объединения с помощью тех же формул, что и для нечетких множеств.

Кроме того для нечетких отношений А и В, определенных на универсуме Х, вводится операция (максиминной)

Виды нечетких отношений

40