Учебное пособие 1085

вать вершинам графа v1,v2, ,vn . Каждое ребро графа G бу-

дет соответствовать одной из проведённых плоскостей. Пусть e (vi ,vj ) - ребро графа G. В плоскости, соответст-

вующей ребруe, соединим точки aiиaj дугой окружности.Выполнив такое построение для всех рёбер графа G, получим из точек a1,a2, ,an и дуг окружностей требуемую

геометрическую реализацию графа G. Теорема доказана. Укладкой графа на некоторой поверхности называется

такое его изображение на этой поверхности, при котором никакие два ребра не будут иметь общих точек, кроме быть может, общего конца этих ребер. Плоский граф – это граф, уложенный на плоскости. Граф называется планарным, если его можно уложить на плоскости. Например, граф, изображённый на рисунке слева, является планарным, так как он может быть уложен на плоскости, как показано справа.

Рис. 29 Область, ограниченная ребрами (дугами) в плоском

графе, и не содержащая внутри себя вершин и ребер называется гранью.

Число граней плоского графа обозначается r(G). При этом считается, что внешняя часть плоскости графа также образует грань. Например, вышеприведенный граф К4 (полный граф с 4-я вершинами) имеет 4-е грани.

Для графов, уложенных на некоторой поверхности справедливо определенное соотношение между числом вер-

71

шин, ребер и граней. Это соотношение называетсяэйлеровой характеристикой поверхности.

Теорема 2 (Формула Эйлера). В связном планарном графе справедливо соотношение n m r 2, где n – число вершин, m – число ребер, r –число граней.

Доказательство. Проводится по индукции числа m. Во-первых, при m=0, имеем n=1 и r=1, то есть, теорема справедлива. Во-вторых, положим, что теорема верна для всех графов с m рёбрами, то есть справедливо выражение n- m+r=2. В третьих, добавим к графу ещё одно ребро. Если добавляемое ребро соединяет существующие вершины, то чис-

ляемое ребро соединяет существующую вершину с новой вершиной, то имеем n n 1,m m 1,r rи следовательно n m r n (m 1) (r 1) n m r 2. Таким образом,

теорема доказана.

Следствие 1. Если G – связный планарный граф, у которого n>3, то m 3n-6.

Доказательство. Обозначим через mi – число рёбер в i-ой грани. Каждая грань плоского графа ограничена, по крайней мере, тремя рёбрами, то естьmi 3.Суммируя по всем граням и учитывая то, что каждое ребро входит в две

с эйлеровой характеристикой плоскости имеем:

2 n m r n m 2 m 6 3n m m 3n 6. 3

Что и требовалось доказать. Прежде чем приступать к формулировке следующего следствия, необходимо ознакомиться с рядом определений.

72

Неориентированный граф G называется двудольным, если множество всех ребер графа образует разрез графа, т.е. для некоторого разбиения вершин {V1, V2}, концы любого ребра принадлежат разным частям разбиения.

Если двудольный граф содержит все рёбра соединяющие множества V1 с V2, то он называется полным двудольным графом.

Если |V1|=m, а |V2|=n, то полный двудольный граф обозначается Km,n.

Например, графK3,3 имеет следующий вид:

Рис. 30 Следствие 2. ГрафыК5 и К3,3 непланарны.

Доказательство: (от противного) Предположим, что граф К5 – планарен, тогда по первому следствию m 10 3 5 6 9 – получили противоречие, следовательно, граф К5 не является планарным.

Пусть далее К3,3 – планарен. Для него имеем n=6, m=9. В этом графе нет треугольников, а так как. граф планарен, то при его плоской укладке каждая грань ограничена не менее, чем 4 ребрами. Из этого следует, что 4r 2m, а значит 2r m. В соответствии с эйлеровой характеристикой плоскости име-

К3,3непланарен.

Теорема Понтрягина-Куратовского (критерий планарности).

73

Граф G планарен тогда и только тогда, когда G не содержит подграфа гомоморфного К5 или К3,3. Эквивалентная формулировка этой теоремы: неориентированный граф G планарен тогда и только тогда, когда G не содержит подграфов, стягиваемых (т.е. получаемых последовательностью отождествлений вершин, связанный ребрами) к графу К5 или

К3,3.

Если граф непланарен, то для его плоской реализации удаляют отдельные рёбра, перенося их на другую плоскость. Минимальное число ребер, которое необходимо удалить из графа для получения его плоского изображения называется числом планарности графа G.

При вынесении этих ребер на вторую плоскость, получается часть графа, которая также может оказаться неплоской. Тогда вновь возникает задача вынесения отдельных ребер на следующую плоскость и т.д.

Минимальное число плоскостей, при которых граф G разбивается на плоские части G1,G2, …, Gm (разбиение производиться по множеству ребер) называется толщиной графа

G.

Например, толщина планарного графа равна 1, а графы К5 и К3,3 имеют толщину равную 2.

5.14. Потоки в сетях.

Основные определения.

Если в графе ориентировать все ребра, то получится орграф, который называется направленным. Направленный орграф, полученный из полного графа, называется турниром.

Если в орграфе полустепень захода некоторой вершины равна нулю, т.е. d+(V)=0, то такая вершина называется источником, если же нулю равна полустепень исхода, т.е. d-

(V)=0, то вершина называется стоком. Направленный орграф

74

без петель с одним источником и одним стоком называется (двухполюсной) сетью.

Пусть G (V, E) – сеть, а S и t – соответственно источник и сток сети. На множестве дуг сети определена неотрицательная функция C: E R+, ставящая каждой дуге (u,v) неотрицательное вещественное число c(u, v), называемое пропускной способностью дуги (u, v).

Пусть задана функция f: E R. Дивергенцией функцииf в вершине V называется число div(f,v), которое оп-

Функция f: E R называется потоком в сети G, если:

1)(u,v) E 0 f(u,v) C(u,v)

2)v v\{s,t} div(f,v)=0

Число (f)=div(f,s) называется величиной потокаf. Замечание. Первое условие в определении потока оз-

начает, что поток через дугу неотрицателен и не превосходит пропускной способности дуги. Второе условие означает, что величина потока, входящего в каждую вершину сети (кроме истока и стока), равно количеству потока, выходящего из этой вершины.

С помощью потоков в сети можно моделировать:

1)автомобильные потоки на дорогах

2)перекачку нефти на нефтепроводе

3)последовательность технологических операций для производства готовых изделий из сырья.

4)передачу информации в компьютерной сети

В данной лекции рассматривается решение только одной (но самой существенной) задачи этой теории – нахождения максимального потока в сети.

75

Для решения этой задачи сеть разбивается на два непересекающихся множества таким образом, чтобы исток попал в одно множество, а сток – в другое. В этом случае говорят, что на сети произведен разрез, отделяющий исток от стока.

Пусть P – (s,t) разрез, P E. Всякий разрез определяется разбиением множества вершин V на два подмножества A и B так, что A,B V, A B=V, A B=0, s A, t B. Разрез обозна-

чается P(A) и представляет собой множество дуг (U,V) E, таких, что U A, V B.

Пропускной способностью разреза называется сумма пропускных способностей входящих в него дуг C\A=

c(a,v)

( ,V) P(A)

Минимальным разрезом, разделяющим исток s и сток t сети, называется произвольный разрез P(A) s A, t V\A с минимальной пропускной способностью.

Теорема Форда и Фалкерсона.

Величина каждого потока от входа к выходу не превосходит пропускной способности минимального разреза, разделяющего вход и выход сети. При этом существует максимальный поток, величина которого равна пропускной способности минимального разреза.

Все известные алгоритмы построения максимального потока основаны на последовательном увеличении потока.

Дуга (U,V) является допустимой, если для нее выполняется одно из условий:

1)направление дуги совпадает с направлением потока и значение потока по этой дуге меньше её пропускной способности f(U,V)<C(U,V)

2)направление дуги противоположно направлению потока и по ней проходит некоторый нулевой поток f(U,V)>0

76

Дуги, для которых выполняется условие 1), называются увеличивающими или согласованными дугами. Дуги, для которых выполняется условие 2) называются уменьшающими или несогласованными дугами.

Увеличивающей цепью называется простая цепь, соединяющая исток и сток сети, все дуги которой являются допустимыми.

Знание увеличивающей цепи позволяет увеличить по-

При этом по каждой увеличивающей дуге поток увеличивается на , а по каждой уменьшающей дуге уменьшается на .

Такое изменение потока по каждой дуге в сумме компенсируется для каждой вершины сети, отличной от истока и стока, т.е. для любой вершины сети v V\{s,t} по-прежнему будет выполняться div(f,v)=0.

Алгоритм построения максимального потока в сети.

Шаг 1. Задать начальное значение потока, если оно не задано. Удобно задавать начальное значение потока равным нулю. Перейти на шаг 2.

Шаг 2. Построить увеличивающую цепь от истока к стоку сети. Если увеличивающей цепи не существует, то максимальный поток построен, его значение: (t)=div(f,s), в противном случае перейти на шаг 3.

Шаг 3. Вдоль построенной цепи увеличить значение потока на величину . Перейти на шаг 2.

На основании теоремы Форда-Фалкерсона доказательством того, что построенный поток максимальный, будет существование разреза, величина которого равна значению построенного потока.

77

При моделировании реальных задач могут использоваться сети с неориентированными ребрами. Использование при расчетах неориентированных сетей предоставляет дополнительные возможности при выборе оптимального решения.

А именно, максимальное значение потока для сети с фиксированной ориентацией может увеличиться при изменении направлений некоторых дуг сети.

По неориентированному ребру поток может идти в любую сторону. Следовательно, для того чтобы построить максимальный поток для неориентированной сети, нужно каждое ребро заменить двумя противоположно направленными дугами, имеющими ту же пропускную способность, что и исходное ребро.

Для полученной ориентированной сети максимальный поток определяется по алгоритму, указанному выше.

В общем случае для неориентированной сети максимальный поток не меньше, чем для сети с той же структурой, но с ориентированными дугами.

78

6.РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

6.1.Определение рекуррентного уравнения. Решение линейного однородного рекуррентного уравнения

Рекуррентным соотношением (уравнением, рекуррентной формулой) называется соотношение вида

которое позволяет вычислить все члены последовательности a0,a1,a2,.., если заданы её первые kчленов.

k – порядок рекуррентного уравнения.

Примеры. 1) an+1 = an + d -–арифметическая прогрес-

сия.

2)an+1 = q · an -–геометрическая прогрессия.

3)an+2 = an + an+1 -–последовательность чисел Фибо-

наччи.

В случае, когда рекуррентное уравнение линейно и

{ }

Корни этого многочлена называются характеристическими. Множество всех последовательностей, удовлетворяющих рекуррентному уравнению (1) называется его общим решением.

Общее решение однородного линейного рекуррентного уравнения имеет аналогию с решением линейного дифференциального уравнения. А именно, справедливы теоремы.

79

Теорема 1. Пусть - корень характеристического многочлена (2), тогда последовательность c n , где c – про-

изводная константа, удовлетворяет уравнению (1).

Теорема 2. Если 1, 2,.., n - простые корни характе-

ристического многочлена (2), то общее решение рекуррент-

характеристического многочлена (2), то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид:

= ( + + + )

где cij– произвольные константы.

Зная общее решение рекуррентного уравнения (1), по начальным условиям a0, a1,.., ak-1, можно найти неопределенные постоянные cij, и, тем самым, получить частное уравнении (1) с данными начальными условиями.

Пример. Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному уравнению

an 2 4an 1 3an 0 a1 10,

a2 16.

Характеристический многочлен x2 4x 3 0

x1 1, x2 3.

80