Методическое пособие 787

5. Проверка принятых размеров поперечного сечения арки по I и II предельным состояниям:

.

где N - продольная сила; F - площадь поперечного сечения; Mдеф. - изгибающий момент от

действия поперечных и продольных нагрузок, определяемый из расчета по деформированной схеме:

e- эксцентриситет, e H hT ; - коэффициент, учитывающий деформацию приращения,

2

определяемый по формуле:

где fц. - прогиб как цельного элемента сечения равен:

где l1 2l ; M H -максимальный изгибающий момент от нормативной нагрузки; kI - коэффи-

циент, учитывающий влияние податливости связей на момент инерции /1/; fu - предельный нормативный прогиб [2].

6. Определение сдвигающих сил на полудлине плоскости сечения арки: 1) от поперечной нагрузки [1]:

2) от изгиба моментом:

80

7. Определение количества связей на полудлине арки:

где kT - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения сдвигающих усилий, kT 1; TНП - расчетная несущая способность нагельной пластины, определяемая по формуле:

Рис. 1. Трехшарнирная арка из деревянных брусьев на нагельных пластинах: а) схема арки; б) сечение арки; в) нагельная пластина (НП)

Практическая ценность работы заключается в разработке методики расчета удобной для применения в инженерных расчетах и конструировании треугольной арки составного сечения на нагельных пластинах.

Библиографический список

1.СНиП II-25-83. Деревянные конструкции. Нормы проектирования. - М.: Стройиз-

дат, 1983.

2.СНиП 2.01.07-85* Нагрузки и воздействия. Госстройиздат. - М., 2003.

References

1.SNIP II – 25 – 83. Structural timber. Desing standards. – M.: Stroyizdut, 1983

2.SNIP 2.01.07 –85. External forces and effect. State building publishing house. Gosstroyizdut – M.:, 2003.

81

С.Н. Булатов

К РАСЧЁТУ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ

В рамках технической теории тонких оболочек энергетическим методом получено точное решение задачи по определению устойчивости круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной стрингерами и шпангоутами регулярной структуры. Жесткость оболочки предполагается переменной вдоль образующей. В предельном переходе расчетные формулы совпадают с известными из литературы.

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, устойчивость, жесткость.

S.N. Bulatov

TO THE CALCULATION ON STABILITY OF CYLINDRICAL SHELLS

OF DIFFICULT STRUCTURE

Within the framework of technical theory of thin shells a power method is get the exact decision of task on determination of stability of circular cylindrical shell, supported stringer and structural ring of regular structure. Inflexibility of shell is assumed variable along formative. In a maximum transition calculation formulas coincide with known from literature.

Keywords: barrel shell, stability, rigidity.

Оболочные конструкции, обладая высокими эксплуатационными, весовыми и эстетическими качествами при обеспечении экологической безопасности, имеют один существенный недостаток: способность к локальной и общей потере устойчивости. Поэтому, наряду с расчётами изделия на прочность и колебания, наиболее важным является их расчёт на устойчивость. Наиболее часто в технике применяют оболочки, подкреплённые силовым набором: стрингерами, нервюрами, лонжеронами и шпангоутами, а в местах приложения погонных локальных нагрузок, утолщается и собственно оболочка.

Врамках теории [1] ниже рассмотрена цилиндрическая оболочка, подкреплённая стрингерами и шпангоутами регулярной структуры. Такие оболочки принято называть кон- структивно-ортотропными. Область их применения в основном – авиационная и ракетнокосмическая техника.

Всоответствии с [2] задачу об устойчивости этой оболочки, нагруженной в плоскости симметрии погонной кольцевой нагрузкой интенсивности q, решим аналитически. В целях повышения несущей способности конструкции, в плоскости действия нагрузки q предполагается наличие силового шпангоута с изгибной жёсткостью EI. Здесь и ниже обозначения и

рисунок приняты из [2], но толщина h1 срединной усиленной секции собственно оболочки на длине -ℓ≤x≤ℓ, предполагается симметричной относительно срединной поверхности, что дает возможность исключить ранее принятую гипотезу о допустимости её разрыва вследствие

©Булатов С.Н., 2009

82

Из теории дифференциальных уравнений известно, что два решения, соответствующих уравнению (10), записываются через круговые и гиперболические функции

приходим к системе четырёх алгебраических уравнений, решение которой возможно совместно с уравнениями, вытекающими из граничных условий при x=0. Из (14) следует, что радиальные прогибы, углы поворота, нормальные и касательные усилия в сечениях x=±ℓ, равны между собой.

В плоскости симметрии конструкции при x=0 отсутствует депланация сечения, или

Вторым граничным условием в плоскости действия погонной нагрузки q является уравнение смешанной вариационной задачи

что после подстановки входящих величин, даёт дополнительно алгебраическое уравнение вида

Удовлетворяя (19), нетрудно получить ещё два алгебраических уравнения и с уравнением (17) имеем систему трёх однородных алгебраических уравнений. Её определитель равен нулю в случае нейтрального равновесия оболочки, то есть, когда форма поперечных сечений слегка изогнута. Опуская сравнительно простые, но громоздкие выкладки, получим

искомую формулу для определения величины критической нагрузки qkp , приложенной в плоскости силового шпангоута при x=±L

где A - коэффициент, учитывающий геометрию оболочки и условия её опирания в концевых сечениях. Первое слагаемое правой части – нагрузка, воспринимаемая силовым шпангоутом, второе – собственно оболочкой.

84

Следует отметить, что при любых граничных концевых условиях, структура формулы (20) сохраняется; изменяется лишь содержание коэффициента A. Так, например, для жёстко заделанной по концам оболочки граничные условия имеют вид

что равносильно отсутствию радиальных прогибов и углов поворота концевых сечений. Для оболочки со свободными краями концевые граничные условия соответствуют ра-

венствам

то есть нормальные и касательные усилия должны быть равны нулю.

Достоверность полученных результатов подтверждается предельным переходом к оболочкам постоянной толщины известным из литературы [1]:

полученную Л.Н. Балабухом и В.М. Марченко [3] на основе интегрального уравнения Фредгольма с симметричным ядром (EI=0)

что для защемлённых и шарнирно-опёртых оболочек при прочных равных условиях, коэффициент A →1 с увеличением h . Для оболочек со свободными краями при отсутствии диафрагм 0<A≤1. Графики A=A( ) и K2L 0,6;0,9;1,8 при h =1,9 показывают рост A с увеличением параметра и для случая жёсткой заделки A= 4,25 при =0,5 и K2 L 0,6 .

Выводы. В работе предложен подход к решению задач устойчивости цилиндрических конструктивно-ортотропных оболочек, опирающийся на известный энергетический метод, представляющий собой синтез сопротивления материалов, строительной механики и вариационного исчисления. Решённая этим методом задача, касается одного из важнейших вопросов – устойчивости оболочек переменной жёсткости. Последние, являясь следствием тенденции к снижению массы, рациональному распределению материала и повышению эксплуатационных качеств конструкции, исследованы недостаточно. Есть основания полагать, что задачи термоупругости, колебаний и напряженно-деформированного состояния этих оболочек, могут быть решены рассмотренным здесь подходом. Достоверность полученных ре-

85

зультатов опирается на предельный переход к формулам, известным из литературы и сравнительный анализ численных расчётов.

Библиографический список

1.Кан С.Н. Строительная механика оболочек. - М.: Машиностроение, 1966. -508с.

2.Булатов С.Н. Устойчивость ступенчатой цилиндрической оболочки под действием радиальных давлений и осевых усилий. – М.: Строительная механика и расчет сооружений.

–М., 1970, №3.

3.Балабух Л.Н., Марченко В.М. Устойчивость тонкой оболочки, нагруженной местными усилиями. Труды ЦАГИ, 1952.

References

1.Caen S.N. Building mechanics of shells - Moscow: Machinery construction (Mashinostroenie), 1966. - 508p.

2.Bulatov S.N. Stability of stepped barrel shell under radial pressure and axial thrusts. - Moscow: Building mechanics and analysis of structure, 1970, №3

3.Balabukh L.N., Marchenko V.M. Stability of thin shell loaded with local load. - Researches of TsAGI, 1952

С.Н. Булатов

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДЛИННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ЖЁСТКОСТИ

Исследована устойчивость длинной конструктивно ортотропной цилиндрической оболочки переменной толщины при локальном нагружении боковым давлением. Получены достаточно простые расчетные зависимости для определения несущей способности тонкостенной конструкции.

Ключевые слова: цилиндрические оболочки, боковое давление, несущая способность.

S.N. Bulatov

ABOUT ONE GOING NEAR RESEARCH OF CYLINDRICAL SHELLS

OF VARIABLE INFLEXIBILITY

Stability long structurally orthotropic a cylindrical cover of a variable thickness is investigated at local loading by lateral pressure. Simple enough settlement dependences for definition of bearing ability of a thin-walled design are received.

Keywords: barrel shells, side pressure, load-carrying ability.

В работе предложен один из возможных подходов к определению критической радиальной нагрузки, приложенной к боковой поверхности конструктивно-ортотропной оболоч-

© Булатов С.Н., 2009

86

ки переменной толщины. Оболочка предполагается достаточно длинной, геометрически совершенной. Получены расчётные формулы и их частные случаи, известные из литературы. Последнее служит достаточным основанием для их практического применения в стройиндустрии, общем и химическом машиностроении, авиационной и ракетно-космической технике.

На рис. 1 приведена расчётная схема и геометрические размеры оболочки, нагруженной равномерно распределённым по поясу толщины h1 и длинны 2 , радиальным давлением интенсивности P. При P=Pкр конструкция разрушается – теряет устойчивость с образованием регулярно расположенных по окружности волн. Задача по определению Pкр решается энергетическим методом.

Рис. 1. Расчетная схема оболочки, нагруженной равномерно распределенным по поясу радиальным давлением

Следуя [1], потенциальную энергию деформации длинной оболочки запишем в виде

где потенциальная энергия деформации первой Г1 и Г2 второй секций на единицу длины со-

Здесь и ниже обозначения приняты по [2]. Функциональная неизвестная (x) не

терпит разрыв в силу симметричного расположения h1 относительно срединной поверхности оболочки (рис.1). В плоскости симметрии хоу предполагается отсутствие силового шпангоута (EI=0) и депланации контура поперечного сечения. Так что угол поворота при х=0

дольные U, окружные V и радиальные W перемещения на краях длинной оболочки равны нулю. Поэтому Pкр не зависит от краевых граничных условий. С учётом (2) ÷ (5) выражение потенциальной энергии деформации (1) получает вид

87

2 e 2k cos 2k sin 2k 2 .

Для изотропной оболочки переменной толщины t1 t2 t

Рассмотрим случай нагружения длинной оболочки погонной кольцевой нагрузкой q в плоскости симметрии xoy при отсутствии силового шпангоута (рис. 2).

Рис. 2. Длинная оболочка, нагруженная погонной кольцевой нагрузкой

Условие равенства работ внутренних и внешних сил для оболочки со ступенчатым изменением толщины записывается в виде

L

где первые два слагаемых – потенциальная энергия деформации нагруженного кольцевого пояса ширины 2 и концевых секций оболочки, T-работа внешних сил для координаты x=0:

88

Функцию деформации после потери устойчивости оболочки, удовлетворяющую граничному условию (4), примем в форме (5). Выполняя интегрирование в (16), получим расчётную формулу

Из формулы (17) вытекает ряд частных случаев. Например, для изотропной оболочки постоянной толщины имеем расчётную формулу

Подстановка (19) в (18) с учётом n=2 для длинных оболочек приводится к известной [3] формуле

Рис. 3. Расчетная схема к решению задачи устойчивости, когда толщина оболочки изменяется вдоль образующей по линейному закону

Решим теперь задачу устойчивости оболочки, представленной на рис.3, когда толщина оболочки h=h(x) изменяется вдоль образующей по линейному закону. Условие равенства работ представимы в виде

89