Методическое пособие 781

a11 ,a12 ,........,a1n

Aa21 ,a22 ,........,a2n .

........................

an1 ,an2 ,........,ann

Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n. Уравнения (0.1 – 0.3) запишем в матричной форме. Коэффициенты правой части дают матрицу порядка (2 3). Удобнее использовать матрицы квадратные, поэтому к каждым

двум уравнениям добавим тождество 1, получим квадратные матрицы третьего порядка.

Составим матрицу перехода из системы х3у3 в систему

х2у2.

Запишем матрицу перехода Т21.

Левые части уравнений (0.1 – 0.3) с добавлением тождества 1 дают столбцевые матрицы третьего порядка:

61

Чтобы найти значение rE2 ,rE1 ,rE0 необходимо:

Подставим уравнения (4.4) и (4.5) в уравнение (4.6), получим

rE0 T10 T21 T32 rE3 .

Это уравнение позволяет определить положение точки Е3 в системе координат х0у0. Для этого необходимо перемножить матрицы T10 и Т21, а затем (T10Т21)T32 и столбцевую rE3 .

62

Матрицу (4.7) умножаем на матрицу T32 и столбцевую матрицу rE3 :

xE3 rE3 yE3 .

1

Получим:

Уравнения (4.8) можно было бы получить, решая уравнения (4.1), (4.2) и (4.3), но вычисления заняли бы больше времени. Матричная форма записи и решения уравнений удобнее. Для решения таких уравнений существуют стандартные программы, используемые на ЭВМ.

Уравнение (4.8), определяющее положение точки E3 относительно х0у0, можно получить и иным способом, а именно

– составить уравнение проекции контура 010203E3 в системе

х0у0.

Однако метод проекций получается сложнее метода преобразования координат для пространственных механизмов.

4.2.1.3. Определение положений, скоростей и ускорений звеньев пространственных механизмов

При кинематическом анализе механизмов по заданному закону движения ведущих звеньев определяем положение, скорость и ускорение ведомых звеньев механизма. Ведомые звенья являются исполнительными в машине, поэтому знание вышеназванных параметров совершенно необходимо при эксплуатации машин и механизмов.

63

Обозначим координату точки С по оси у0 через 3, а по

оси z0 через 0. Текущее значение перемещения точки С будет определяться одной переменной координатой x0C по оси х0.

Выберем еще две подвижные системы координат. Одну свяжем с кривошипом, вторую с шатуном. С шатуном свяжем систему x2y2z2, где x2 направим по шатуну ВС, z2 – по оси пальца шатуна, y2 перпендикулярно плоскости x2Вz2. Такой выбор системы координат позволяет определить положение точки С в системе x2y2z2 одной координатой, а именно:

Чтобы выразить перемещение ползуна х0С через обобщенную координату 10, подвижную систему x1y1z1 свяжем с кривошипом АВ так: ось z будет параллельна оси z0, ось y1 окажется в 1 плоскости x0Аy0, а x1 направим по кривошипу

АВ.

Углы между осями x2 и x1 обозначим через 21, а между z2 и z1 – через 21. Последовательным переходом из системы

x2y2z2 в систему x1y1z1 и в систему x0y0z0 решаем задачу нахождения положения ползуна в неподвижной системе координат.

Опишем положение ползуна в системе x1y1z1.

Найденные координаты точки С в системе x1y1z1 спроектируем на оси неподвижной системы x0y0z0.

65

Для определения скорости и ускорения перемещения ползуна необходимо систему уравнений (4.12) продифференцировать по времени.

Первое дифференцирование системы (4.12) дает возможность получить систему линейных уравнений для определения скорости перемещения ползуна.

Из третьего и второго уравнения полученной системы (4.14) находим 21 и 21, подставив их в первое уравнение, получим возможность определить скорость перемещения ползу-

67

4.2.1.4.Графическое определение положений звеньев механизма и построение траектории

Для решения поставленной задачи должны быть заданы кинематическая схема механизма и закон движения ведущего (начального) звена.

Для определения положений звеньев механизма кинематическая схема выполняется в масштабе. Для этого выбирает-

ся масштабный коэффициент (м/мм), который показывает, сколько метров натуры содержится в одном мм чертежа.

Пусть задана схема механизма 2-го класса (рис. 4.30).

Известны размеры звеньев механизма AB, BC, CD, AD и закон движения ведущего звена. Механизм имеет ведущее звено АВ.

Рис. 4.30

Построение начинается с определения положения неподвижных точек механизма А и D ( AD). Затем описываем ок-

ружность радиусом AB и вторую – радиусом CD (рис. 4.31). Выбрав положение звена АВ, определяемое значением

обобщенной координаты 1, находим методом засечек положение остальных звеньев ВС и СD.

Точно также можно найти ряд других положений механизма. Будем считать 1=const, тогда откладывая равные углы от положения кривошипа АВ, найдем положение механизма АВ1С1D и т.д. Затем строим траекторию точки S, лежащей на звене ВС.

68

C’

Рис. 4.31

При построении положений звеньев механизма (при одном положении звена АВ) звенья ВС и СD могут занимать два положения ВС и СD или ВС и CD. Это разные механизмы, здесь проявляет себя свойство – условие сборки.

В нашем случае допустим только первый вариант ВСD, т.к. при этом сохраняется требуемое направление угловой скорости звена СD – по часовой стрелке.

Второй вариант – В1С1D – это уже другой механизм, т.к. СD вращается против часовой стрелки.

4.2.1.5. Определение скоростей и ускорений точек звеньев методом планов

В такой задаче исходными данными являются кинематическая схема механизма (рис. 4.32), закон движения ведущего звена, размеры звеньев механизма.

Дано: 1 =const, размеры AB, BC, CD, AD, BK, KC.

Определить скорость точки К.

Схема механизма выполняется в масштабе.

Приступим к построению плана скоростей (рис. 4.33, а).

69

70