Методическое пособие 781

Система звеньев, образующая между собой кинематиче-

ские пары, называется кинематической цепью.

Все кинематические цепи делят на плоские и пространственные. В плоской кинематической цепи при закреплении одного из звеньев все остальные совершают движение в одной неподвижной плоскости или в параллельных ей плоскостях. В пространственной кинематической цепи звенья совершают движение в непараллельных плоскостях.

Кинематические цепи можно разделить на замкнутые и незамкнутые. Кинематическая цепь, которая не образует замкнутого контура, называется незамкнутой. Кинематическая цепь, которая образует один или несколько замкнутых контуров, называется замкнутой (рис. 4.8).

Кинематические цепи могут быть простые и сложные.

незамкнутая цепь (пространственная)

замкнутая цепь (плоская)

замкнутая цепь (пространственная)

Рис. 4.8

4.1.2. Структура и кинематика плоских механизмов

При кинематическом анализе и синтезе механизмов всегда необходима его кинематическая модель, такой моделью является кинематическая (структурная) схема механизма. Зная условные обозначения звеньев и кинематических пар, можно составить кинематическую (структурную) схему любого ме-

41

ханизма. Сделаем это на примере модели двигателя. Составим кинематическую схему (рис. 4.9). Это кинематическая схема плоского механизма.

Рисунок 4.9

Если необходима схема пространственного механизма, то чаще всего приходится делать соответствующие проекции на две или три плоскости. Схема механизма должна выпол-

4.1.3. Структурная формула кинематической цепи общего вида

Если на звено не наложено никаких условий связи, то оно в пространстве имеет шесть степеней свободы. N звеньев, не соединенных кинематическими парами, имеет 6N степеней свободы или 6n независимых движений.

Соединим N звеньев парами I, II, III, IV, V классов. Пусть количество пар:

I класса = Р1;

II класса = Р2;

III класса = Р3;

42

IV класса = Р4;

V класса = Р5.

Известно, что в зависимости от класса кинематической пары на относительное движение звеньев налагается определенное число условий связи, т.е. ограничений движения. Общее число условий связи, налагаемое всеми парами, будет равно

5P5 + 4Р4 + 3Р3 + 2P2 +P1.

Число же степеней свободы кинематической цепи

Н = 6N – (5P5 + 4Р4 + 3Р3 + 2P2 +P1).

Если одно звено этой цепи обратим в стойку, тогда число степеней свободы всей цепи уменьшится на шесть, т.е. Н – 6 = W – число степеней свободы кинематической цепи относительно стойки.

W = 6N – 6 – (5P5 + 4Р4 + 3Р3 + 2P2 +P1);

W = 6(N – 1) – (5P5 + 4Р4 + 3Р3 + 2P2 +P1); W = 6n – (5P5 + 4Р4 + 3Р3 + 2P2 +P1),

где W – число степеней свободы кинематической цепи относительно стойки, N – число звеньев, n – число подвижных звеньев. Это выражение было выведено в 1897 году Сомовым и несколько изменено Малышевым в 1923 году, получило на-

звание формула Сомова-Малышева для пространственной цепи.

Пусть имеется пространственная кинематическая цепь из трёх звеньев, имеющая две кинематические пары 5-го класса и по одной 3-го и 4-го классов. Тогда степень свободы такой цепи W определяется следующим образом (рисунок 4.10).

Таким образом, рассматриваемая кинематическая цепь имеет степень свободы относительно стойки равную единице (одно независимое движение).

Механизм представляет собой кинематическую цепь, звенья которой совершают вполне определенные движения.

43

Как же связана определенность движения звеньев механизма со степенью свободы?

3

1

D

А

n=3; P5=2; P4=1; P3=1;

W = 6n – 5P5 + 4Р4 + 3Р3 + 2P2 +P1; W = 6 3–5 2 – 4 1 – 3 1=1

Рис. 4.10

Если степень свободы W=1, это значит, что одному звену механизма можем предписать определенный закон движения, т.е. задать одну обобщенную координату, все остальные звенья будут совершать определенные движения.

Обобщенные координаты механизма – это не зависимые друг от друга координаты, определяющие положение всех звеньев механизма относительно стойки.

Звено, которому предписан определенный закон движения (задана обобщенная координата), называется начальным звеном. Часто начальное звено является входным. Число степеней свободы определяет количество начальных звеньев или обобщенных координат.

4.1.4. Структурная формула плоских механизмов

Для пространственного механизма степени свободы возможно определить по формуле Сомова-Малышева. Если же на движение звеньев механизма наложены общие условия связи, т.е. дополнительные требования, то это сказывается на

44

характере движения звеньев и, следовательно, изменится структурная формула подвижности механизма.

Рассмотрим механизм пространственного четырехзвенника (рис. 4.11).

z

А

n=3; P5=2; P4=1; P3=1;

W = 6n – 5P5 + 4Р4 + 3Р3 + 2P2 +P1; W = 6 3 – 5 2 – 4 1 – 3 1=1

Рис. 4.11

Задана одна обобщенная координата, имеем одно начальное или ведущее звено. Теперь поставим дополнительные требования – оси всех вращательных пар должны быть параллельны оси X (рис. 4.12).

Данное условие приведет к тому, что механизм обратится в плоский. Здесь невозможны три движения – вращение вокруг осей Y и Z и перемещение по X. Возможно вращение вокруг X и перемещение по Z и Y.

45

y

x

Рис. 4.12

Это обстоятельство влечет за собой изменение и структурной формулы:

W = (6 – 3) n – (5 – 3) P5 – (4 – 3) Р4 = 3n – 2P5 – Р4.

Полученное выражение, определяющее степень свободы плоского механизма, выведено Чебышевым в 1869 году.

Применим его к рассматриваемому механизму:

n=3, P5= 4, Р4=0, W = 3 3 – 2 4=1.

Из приведённых формул следует, что необходимо также одно начальное звено. Выберем в качестве его звено АВ.

В соответствии с формулой Чебышева плоские механизмы могут содержать только пары 5-го и 4-го классов.

4.1.5. Пассивные связи и лишние степени свободы

Основное, что определяет движение механизма – это число степеней свободы и число условий связи. Но существуют степени свободы и условия связи, которые не влияют на характер движения звеньев. Такие степени свободы являются лишними, а условия связи – избыточными.

Рассмотрим механизм (рис. 4.13). Степень подвижности этой кинематической цепи W = 0. В действительности же это механизм. Звено BE создает избыточные связи, ставится оно в

46

механизме исходя из конструктивных соображений; если же его удалить, характер движения остальных звеньев не изменится.

Степень подвижности кулачкового механизма (рис. 4.14) равна W = 2. Нужны два ведущих звена? Нет. Одну лишнюю подвижность дает ролик (звено 3), он вращается вокруг своей оси и поднимается вместе с толкателем. Если профиль кулачка выполнить по эквидистантной кривой, то механизм примет вид, представленный на рис. 4.15.

n=4; P5=6; W = 3 4 – 2 6=0

Рис. 4.13

47

1

1

Следовательно, ролик, поставленный для уменьшения трения, дает лишнюю подвижность.

Пассивные связи и лишние степени свободы могут быть выявлены при изучении кинематики механизмов. Так, если определение перемещений и скоростей можно произвести без участия отдельных звеньев, значит, они вносят либо избыточные связи, либо лишние степени свободы.

4.1.6. Замена в плоских механизмах высших кинематических пар низшими

В соответствии со структурной формулой Чебышева в плоские механизмы входят пары 5-го и 4-го классов. Часто пары IV класса могут быть высшими.

Отдельные методы теории механизмов и машин требует замены высших пар звеньями, входящими только в низшие кинематические пары. При замене должны удовлетворяться следующие условия:

1) степень свободы должна остаться прежней;

48

2) характер движения звеньев не должен изменяться. Рассмотрим механизм из двух подвижных звеньев n = 2

(рисунок 4.16).

Рис. 4.16

Здесь две пары 5-го класса А и В и одна пара 4-го класса

– высшая (точка контакта звеньев 1 и 2). Степень свободы данного механизма

W = 3 2 – 2 2 – 1 = 1.

Покажем, что этот механизм может быть заменен шарнирным четырехзвенником (рис. 4.17).

Всякая высшая пара заменяется одним фиктивным звеном и двумя низшими кинематическими парами. Оба предъявляемые к нему требования выполняются. О1О2 – фиктивное звено; AO1 О2 B – заменяющий механизм.

49

O

1

O

2

Величина фиктивного звена равна расстоянию между центрами кривизны элементов высшей пары.

4.1.7. Классификация плоских механизмов

Механизмы можно классифицировать по различным признакам:

1.Механизмы, в состав которых входят только низшие пары и, наоборот, высшие.

2.По конструктивным признакам: шарнирно-рычажные, зубчатые, кулачковые и др.

3.По характеру воспроизводимого движения: передающие вращательное, поступательное движения.

Можно привести ещё ряд классификаций. Однако наиболее общей из всех является классификация по АссуруАртоболевскому.

Прежде чем перейти к классификации, познакомимся с принципом образования механизмов. Впервые он был сформулирован в 1914 году ученым Петербургского политехнического института Д.В. Ассуром и состоит в следующем: механизм создается путем последовательного наложения кинематических цепей, обладающих определенными структурными свойствами.

50