Линейная алгебра в экономике. Пашуева И.М., Шелкова А.Н

Решение матричных уравнений.

Матричным уравнением называется уравнение, в котором роль неизвестной играет некоторая матрица X. Простейшими примерами таких уравнений могут служить уравнения AX=C, XB=C, AXB=C, где X и C – прямоугольные матрицы равных размеров, A и B – квадратные матрицы соответствующих размеров. Если предположить, что det A 0 и det B 0, то эти уравнения имеют единственные решения.

3.5. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы

Определение. Количество элементов вектор-строки (столбца)

называется длиной (высотой) вектор-строки (столбца).

Определение. Столбец (строка) q называется линейной ком-

Теорема. Если столбец (строка) a есть линейная комбинация столбцов (строк) a1, a2, , as, то он (она) является также линейной комбинацией любой системы столбцов (строк), содержащей a1, a2, , as.

42

10и 11 свойства определителя n-го порядка.

10.Если в определителе строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то он равен нулю.

11.Значение определителя не изменится, если к любой его строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию других строк (столбцов).

Определение. Столбцы (строки) матрицы p1, p2, , pm называются линейно зависимыми, если существуют числа 1, 2,

m

, m, не равные одновременно нулю, т.е. i 0, такие,

i 1

что линейная комбинация столбцов (строк) матрицы равна

m

нулевому столбцу (строке): ipi 0. Если линейная ком- i 1

бинация столбцов (строк) равна нулевому столбцу (строке) тогда и только тогда, когда i 0, i 1, m, то столбцы

(строки) p1, p2, , pm называются линейно независимыми.

Теорема. Для того, чтобы система из s>1 столбцов (строк) была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них был линейной комбинацией остальных.

3.6. Ранг матрицы. Базисный минор

Рассмотрим некоторую, не обязательно квадратную,

матрицу А. Выберем какие-нибудь s номеров строк i1, i2, , is и s номеров столбцов j1, j2, , js, причём i1<i2< <is и j1<j2< <js.

Определение. Минором порядка s матрицы А называется детерминант матрицы порядка s, образованный элементами, расположенными на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число

43

Определение. В матрице А размеров m n минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка r+1 равны нулю или миноров порядка r+1 вообще нет, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Определение. Строки и столбцы, на пересечении которых расположен базисный минор, называются базисными стро-

ками и столбцами.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы и обозначается rang A .

Свойства ранга матрицы и базисного минора.

1.Ранг матрицы А размеров m n не превосходит меньшего из её размеров.

2.rangA=0 тогда и только тогда, когда A .

3.Для квадратной матрицы А порядка n rangA= n тогда и только тогда, когда А – невырожденная.

4.Базисные строки (столбцы) матрицы А линейно независимы.

5.Теорема о базисном миноре. В произвольной матрице каждый столбец (строка) является линейной комбинацией базисных столбцов (строк).

6.Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы А равен мак-

симальному числу линейно независимых столбцов (строк) в этой матрице.

7.rangA rangB rang A B rangA rangB.

8.rangA rangB n rang AB min rangA, rangB ,

где n – число столбцов матрицы А или строк матрицы B.

44

9.rang(ATA)=rang A.

10.rang(AB)= rang A, если B – квадратная матрица и

det B 0.

Элементарные преобразования матриц.

1.Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2.Умножение всех элементов строки (столбца) на число, не равное нулю.

3.Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4.Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5.Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.

Определение. Матрицы А и B называются эквивалентными (АB), если матрица B получена из матрицы А в результате элементарных преобразований.

3.7. Нахождение ранга матрицы Алгоритм Гаусса вычисления ранга матрицы.

1.Если все aij, i 1, m, j 1, n, то rangA = 0.

2.Выбираем элемент матрицы aij 0. Помещаем его в ле-

вый верхний угол матрицы и делим первую строку матрицы на aij. С помощью элементарных преобразований обращаем все элементы первой строки в нули:

Если в части матрицы, выделенной синим цветом, все aij 0, то rangA = 1.

45

3.Если хотя бы один элемент в области, выделенной синим цветом, отличен от нуля, алгоритм повторяем. Перестановкой строк и столбцов матрицы выбранный элемент

a'ij 0 помещаем на место второго элемента второй

строки; делим всю вторую строку матрицы на этот элемент; элементы второй строки, начиная с третьего, обращаем в нули. Получим матрицу вида:

Если в части этой матрицы, выделенной синим цветом, a"ij 0, то rang A = 2.

4. Если хотя бы один элемент a"ij 0 в этой области, то ал-

горитм повторяем.

После r шагов получим матрицу ранга r вида:

Пример. Определить ранг и базисный минор матрицы:

46

Решение. Выполним следующие преобразования: первую, третью и четвертую строки поделим на 2, затем поменяем местами первый и второй столбцы:

Из третьего столбца вычтем первый, потом из него же вычтем второй, умноженный на два:

Очевидно, что ранг последней (а, значит, и исходной) матрицы равен 2.

Для того, чтобы определить базисный минор в исходной матрице, нам необходимо выделить базисные строки и столбцы. Для последней матрицы базисный минор выделен синим цветом. Проходя все действия в обратном порядке, определим базисный минор исходной матрицы.

Метод окаймляющих миноров.

Определение. Минор M1 называется окаймляющим для минора М, если М получается из M1 вычёркиванием одной крайней строки (первой или последней) и одного крайнего столбца.

Теорема. Если в матрице А размеров m n имеется минор порядка r, не равный нулю, а все его окаймляющие миноры порядка r+1 равны нулю, то rang A =r.

Пример. Для предыдущего примера:

47

Выбираем миноры третьего порядка, в которые входят строки и столбы, дающие предыдущий минор. Таких миноров всего два:

Так как оба этих минора равны нулю, то ранг матрицы равен 2 (то есть порядку минора M2).

Вопросы для повторения.

1.Матрицы, их виды. Равенство матриц. Транспонирование матриц.

2.Перестановка n-ого порядка, беспорядок (инверсия) в ней.

3.Определитель n-ого порядка. Определители второго и третьего порядков, мнемонические правила.

4.Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Теорема Лапласа (теорема разложения)

иследствия из неё.

5.Свойства определителя n-ого порядка. Метод накопления нулей вычисления определителя.

6.Линейные операции над матрицами, их свойства. Скалярная матрица.

7.Возведение матриц в натуральную степень и её свойства. Многочлены от матриц. Корень матричного многочлена

ианнулирующий многочлен матрицы.

8.Вырожденность матрицы. Обратная матрица и её свойства. Вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений.

9.Линейная зависимость строк и столбцов матрицы.

48

10.Ранг матрицы, базисный минор, их свойства. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Метод окаймляющих миноров и алгоритм Гаусса вычисления ранга матрицы.

Задачи для самостоятельного решения.

X=(4 2), Y 1 . Найти: XB; AY; XY; XAY; YX.2

49