Методическое пособие 590

измерения необходимы для получения результата измерения с данной точностью.

Исключенная систематическая погрешность результата измерения – систематическая погрешность, которая остается неустраненной из результата измерения.

Прямые многократные измерения могут быть равноточные и неравноточные. Наибольшее распространение получили равноточные измерения, которые проводятся средствами измерений одинаковой точности по одной и той же методике при неизменных внешних условиях. При равноточных измерениях среднеквадратические отклонения результатов всех рядов измерений равны между собой.

Перед проведением статистической обработки результатов наблюдений необходимо удостовериться в том, что данные из обрабатываемой выборки статистически подконтрольны, группируются вокруг одного и того же центра и имеют одинаковую дисперсию. Устойчивость результатов наблюдений иногда оценивают интуитивно, благодаря длительности наблюдений. Однако существуют математические методы проверки однородности.

Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в

котором находится ее истинное значение.

При статистической обработке группы результатов наблюдений следует выполнить следующие процедуры.

1.Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений.

2.Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения.

3.Вычислить оценку среднеквадратического отклонения результата наблюдения.

70

4.Вычислить оценку среднеквадратического отклонения результата

измерения.

5.Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону распределения.

6.Вычислить доверительные границы случайной погрешности результата измерения.

7.Вычислить границы неисключенной систематической погрешности результата измерения.

8.Вычислить доверительные границы погрешности результата

измерения.

Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат

нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости от

q 10% до q 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны и конкретной методике выполнения измерений.

Для определения доверительных границ погрешности результата измерения принимают доверительную вероятность P 0.95. В тех случаях,

когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности P 0.95, допускается указывать границы для доверительной вероятности P 0.99. В особых случаях, например, при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, для безопасности допускается вместо P 0.99 принимать более высокую доверительную вероятность, например, P 0.999, P 0.9999 и т.д.

Обработка результата измерения и оценка его среднеквадратического отклонения проводится следующим образом.

Определяются способы обнаружения грубых погрешностей, которые должны быть указаны в методике выполнения измерений. Если результаты наблюдений можно считать принадлежащими к нормальному закону распределения, то грубые погрешности исключают в соответствии с указаниями нормативно-технической документацией.

71

За результат измерения принимают среднее арифметическое результатов

допускается исключать после вычисления среднего арифметического неисправленных результатов наблюдений.

Среднеквадратическое отклонение результата наблюдения оценивают

согласно нормативно-технической документации. Среднеквадратическое

наблюдений.

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения в соответствии с ГОСТ 8.207–76 устанавливают для результатов наблюдений,

принадлежащих нормальному закону распределения. Если это условие не выполняется, методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.

При числе результатов наблюдений n 50 для проверки принадлежности их к нормальному закону распределения по нормативно-технической документации предпочтительным является один из критериев, например,

критерий 2 Пирсона.

При числе результатов наблюдении 50 n 15 для проверки принадлежности их к нормальному закону распределения предпочтительным является составной критерий, приведенный ниже.

72

При числе результатов наблюдений n 15 принадлежность к нормальному закону распределения не проверяют. При этом нахождение доверительных границ случайной погрешности результата измерения по методике, предусмотренной ГОСТ 8.207–76, возможно в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения находят по формуле

(6.2)

где tp – квантиль распределения Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятности P и числа результатов наблюдении n или числа степеней свободы r n 1 находят по табл. 6.1 и если n 12, то по табл. 6.2.

Таблица 6.1

Значение функции распределения Стьюдента, вычисленные в зависимости от аргумента tp и числа испытаний n

73

Окончание табл. 6.2

функции распределения Стьюдента отвечают доверительной вероятности

Окончание табл. 6.2

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения определяются на основании методики, предложенной в ГОСТ 2.807-76, и включают несколько этапов. На первом этапе анализируют погрешности, которые составляют неисключенную систематическую погрешность, и к этим погрешностям можно отнести следующее:

1. Неисключенная систематическая погрешность метода измерения. В

этом случае в самом методе может содержаться ошибка. Например,

75

неправильно спланирован процесс измерения, нарушены причинно-

следственные связи.

2. Неисключенная систематическая погрешность средств измерений. Эта погрешность обусловлена, например, некачественными средствами измерений,

или используются приборы, не прошедшие метрологический контроль.

3. Неисключенная систематическая погрешность, обусловленная субъективными причинами. Этими причинами могут быть небольшой опыт диагноста при работе со средствами измерений или плохое самочувствие

диагноста, его невнимательность, рассеянность.

Далее, в качестве границ составляющих неисключенной систематической погрешности принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если случайные

составляющие погрешности пренебрежимо малы.

Неисключенные систематические погрешности результата измерения могут суммироваться, и с учётом погрешности поправок они рассматриваются как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределения случайных величин их функции плотности распределения принимают за

равномерные.

Границы неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляют путем суммирования неисключенных систематических погрешностей средств измерений, таких как погрешности метода, погрешности средств измерения и погрешности субъективной природы. При равномерном распределении неисключенных систематических погрешностей эти границы

можно вычислить по формуле

определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности P 0.95 коэффициент k 1.1. При доверительной вероятности

76

Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.

Важным этапом в статистической обработке результата измерения является определение границ ( ) этой погрешности. Можно выделить три варианта определения размера границ .

Номограмма для определения коэффициента k . m – количество суммируемых неисключенных погрешностей

1. Рассматривают величины, определённые по формулам (6.1) и (6.4), и находят их отношение. Если

77

~ 0.8, (6.6)

S A

то неисключенными систематическими погрешностями пренебрегают, так как по сравнению со случайными погрешностями они малы, и принимают, что граница погрешности измерения будет

2. Рассматривают величины и ~ , и если

S A

~ 8, (6.8)

S A

то случайной погрешностью пренебрегают, так как она мала по сравнению с систематической погрешностью, и принимают границу погрешности измерения

. (6.9) 3. В случае если неравенства (6.6) и (6.8) не выполняются и имеет место

соотношение вида

то границу погрешности результата измерения находят путем учёта случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины, и границу погрешностей результата измерения вычисляют по формуле

неисключенной систематической погрешностями; Sz – оценка суммарного

среднеквадратического отклонения результата измерения. Величину суммарного среднеквадратического отклонения результата измерения определяют по формуле

Коэффициент K вычисляют по эмпирической формуле

78

Форма записи результата измерения представляется в форме

~

A ; P, (6.14)

в которой числовые значения результата измерения должны оканчиваться цифрой того разряда, что и значение погрешности .

Проверка нормальности функции плотности распределения

результата наблюдений. Применение вышеизложенной методики статистической обработки результата наблюдений может быть реализовано только в том случае, если проведённые измерения подчиняются нормальному закону распределения. Метод проверки зависит от количества выполненных измерений.

Если количество измерений n 50, то используется следующая методика.

Результаты наблюдений всегда представляют собой ряд значений, носящих случайный характер. Поэтому сначала эти значения располагают в порядке возрастания в виде ряда

x1 x2 x3 xi xn 1 xn .

Полученный ряд называют ранжированным, а различные значения xi –

вариантами, где i 1,2, ,n. Одна и та же варианта в ранжированном ряду может встретиться несколько раз. Число наблюдений с одинаковым значением варианты называют частотой и обозначают vk . Если значение x1 наблюдалось v1 раз, x2 наблюдалось v2 раз, x3 – v3 раз и т. д., то образуется ряд частот

(6.15)

Для удобства получения статистических характеристик из ряда (6.15)

группируют значения по интервалам, образуя интервальный ряд. Интервальный ряд может быть построен как для дискретных, так и для непрерывных

79