Методическое пособие 590

гипотеза, согласно которой можно построить теоретический ряд распределения

где pi – теоретическая величина вероятности появления возможного значения

xi .

Для проверки правдоподобия гипотезы необходимо определить величину расхождения между pi* и pi . В качестве меры расхождения берётся сумма квадратов разности pi* pi и тогда можно записать

i 1

где ci n – коэффициент, введённый Пирсоном для исключения зависимости pi

величины расхождения от закона распределения случайной величины X и

числа опытов ni . Расхождение R Пирсон обозначил 2 и формула (2.1) примет вид

(2.2) получит окончательное выражение для определения экспериментального значения критерия Пирсона

Для определения теоретического значения критерия Пирсона воспользуемся табл. 2.1, в которой представлены значения 2 в зависимости от

30

числа степеней свободы k и уровня значимости . Число степеней свободы

определяется соотношением

данных к теоретическому виду вероятностного закона проверяется по следующему условию:

Окончание табл. 2.1

Пример выбора и определения соответствия выбранной функции

плотности распределения статистическим данным

Задание. Определить по виду полигона относительных частот функцию плотности распределения наиболее соответствующую данной статистике. Проверить с помощью критерия Пирсона соответствие выбранной функции распределения статистическим данным. Полигон относительных частот определить из практического задания № 1.

Решение

Заполним табл. 2.2 следующим образом. Значения для колонок 2, 3, 4 берутся из табл. 1.3. Колонка 5 заполняется на основании формулы

32

и функцию плотности нормального закона распределения случайной величины

(рис. 2.1).

Рис. 2.1. Полигон относительных частот дискретного интервального вариационного ряда и функция плотности нормального закона распределения случайной величины

Осталось проверить правдоподобие выбранной гипотезы. В формулу (2.3)

подставим значения из колонок 3 и 9 табл. 2.2 для вычисления критерия 2

Пирсона.

Для определения теоретического значения T2 воспользуемся табл. 2.1. В

нашем случае при уровне значимости 0.05 и числе степеней свободы k r s 8 3 5 критерий Пирсона будет T2 11.

34

Следовательно, выполняется условие 2* 9.11 T2 11 , и гипотеза о

принадлежности опытных данных к рассматриваемому теоретическому вероятностному закону не отвергается.

Оформление отчета

Отчет составляется по установленной форме и должен содержать следующие пункты:

цель работы;

краткую теоретическую часть с расчётными формулами;

условие задания;

решение с пояснениями и формулами, написанными в буквенном и численном виде;

вывод.

35

Практическая работа № 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАЧЕСТВА ПАРТИИ ИЗДЕЛИЙ ПО МЕТОДУ

ОДНОКРАТНОЙ ВЫБОРКИ

Цель работы – изучить методику определения качества большого количества однотипных изделий, составляющих партию. Приобрести навыки организации процесса выборки и вычисления вероятностей при разлучных её объёмах.

Краткие теоретические положения

Вопрос качества партии изделий всегда требует проверки. Но не всегда есть возможность проверить в партии каждое изделие. Эта невозможность связана либо, с большим объёмом партии, либо, с большой стоимостью метрологических контрольно-измерительных операций, либо, измерительные операции требуют разрушения изделия, и в этом случае невозможно провести стопроцентный контроль.

При проверке качества партии изделий предполагается принятие гипотезы о том, что качество партии изделий не ниже установленного уровня. При этом конечным результатом проверки является принятие одного из двух решений: принять партию изделий, считая качество изделий удовлетворительным, или забраковать проверяемую партию изделий как некачественную. При этом возможны два вида ошибок:

– ошибка I-го рода определяет вероятность того, что хорошая партия бракуется, поставщик в этом случае рискует не реализовать партию изделий;

– ошибка II-го рода определяет вероятность того, что плохая партия принимается, рискует в этом случае заказчик приобрести не качественную партию изделий.

36

Одним из методов проверки качества является метод однократной выборки, достоинство которого заключается в том, что он легко планируется и

осуществляется.

Метод однократной выборки заключается в том, что из контролируемой

принять исходя из следующих данных:

N – количество изделий в контролируемой партии; n – количество изделий в выборке;

d – количество бракованных изделий в выборке;

D0 – минимально допустимое число дефектных изделий в контролируемой партии;

D1 – максимально допустимое число дефектных изделий в контролируемой партии;

– риск поставщика;

– риск заказчика.

Определяются для оценки качества изделий в контролируемой партии нормативные значения:

A0 – приемочное число;

A1 – браковочное число.

Нормативные значения A0 и A1 могут быть определены из следующих соотношений:

37

получаемых по формулам (3.2) и (3.3), в которых определяется вероятность

появления дискретной случайной величины, распределенной по

гипергеометрическому закону. Поэтому должны выполняться следующие условия:

Практическое использование формул (3.2) и (3.3) ограничено значениями выборки и N 100. При N 100 вычисление сочетаний в формулах (3.2) и (3.3)

весьма затруднительно. Для приближенного вычисления n! в случае очень

n n

больших чисел n можно воспользоваться формулой Стирлинга n! 2 n.

e

использовать биномиальный закон распределения, в соответствии с которым

38