Методическое пособие 582

Лемма Жордана приводится здесь без доказательства. Лемма Жордана используется для вычисления некоторых несобственных интегралов.

Пусть CR - дуга окружности z= R, расположенная в верхней полуплоскости Imz > 0 и пусть C – контур, состоящий из от-

резка [-R, R] и дуги CR (рис. 1.30).

Рис. 1.29 Рис. 1.30

По основной теореме о вычетах

80

Поэтому

Приравнивая в этом равенстве действительную и мнимую части, получим

В теории преобразования Лапласа лемма Жордана применяется в другой формулировке. Пусть CR - дуга окружности p= R, расположенная в полуплоскости Rep< a (Рис.1.31).

Лемма. Если функция F(p) аналитична в полуплоскости Rep< a кроме конечного числа особых точек, ни одна из которых

не расположена на прямой Rep= a , и если lim F ( p) 0 , то при

p

любом t > 0

lim e pt F( p)dp 0 .

R

CR

81

Вторая формулировка леммы получается из первой, если в ней сделать замену переменной iz = p. При такой замене плоскость комплексного переменного p получается из плоскости переменного z поворотом на угол /2 вокруг начала координат.

Рис.1.31

82

2.ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

2.1.Оригинал и изображение Лапласа

Комплексная функция f (t) = 1(t)+i 2(t) называется оригиналом, если для нее выполнены условия:

1. Функция f (t) непрерывна и имеет производные до неко-

торого порядка на всей числовой оси t (- <t< ) кроме отдельных точек, в которых функция или ее производные имеют разрывы первого рода, причем на каждом отрезке конечной длины таких точек конечное число.

2. f (t) = 0, если t < 0.

3.Функция f (t) при t + может расти не быстрее некоторой показательной функции. Это означает, что для каждой функ-

ции f (t) можно указать постоянные M и такие, что

сел , для которых выполняется неравенство (2.1), называется по-

порядок роста равен 0. Нулевой порядок роста имеют также и степенные функции tn (n>0), так как для любой степенной функции tn

83

Простейшим примером оригинала является так называемая единичная функция Хевисайда (рис. 2.1).

(t)=

1, если t 0, 0, если t 0.

Если для функции f (t) выполнены условия1 и 3 и не выполняется условие 2, то для функции (t) f (t)

выполнены все три условия, предъявляемые к оригиналам, так как

при t < 0. Поэтому в операционном исчислении рассматривают-

84

Теорема. Если оригинал (t) имеет порядок роста 0, то его изображение F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Rep = > 0, причем F(p) 0, если Rep = + . (рис. 2.3)

По определению

85

Покажем, что интеграл, стоящий в правой части этого равенства, сходится для всех

p = +i , если > 0.

2.2.Свойства преобразования Лапласа

2.2.1.Линейность преобразования Лапласа

86

p

что совпадает с результатом (2.6).

2.2.3. Теорема о смещении изображения

Теорема 3. Если f (t) F( p) , то для любого постоянного комплексного числа a

2.2.4. Дифференцирование оригинала

Теорема 4. Если функции f (t) и f ' (t) – оригиналы и если f (t) F( p) , то

89