Методическое пособие 582

расстояние между точками при отображении увеличивается и проис-

кому направлению точка z0+ z стремится к точке z0, то коэффициент растяжения в данной точке одинаков во всех направлениях.

В качестве примера рассмотрим отображение, осу-

где k 0, b - постоянные комплексные числа.

Так как w = k >0, то отображение (1.50) конформно во всех точках комплексной плоскости. Рассмотрим все возможные случаи, при этом для большей наглядности будем считать плоскость w совмещенной с плоскостью z.

1. Пусть k = 1, то есть w = z + b. Так как сложение комплексных чисел равносильно сложению соответствующих векторов, то при отображении w = z + b точка w получается из точки z сдвигом на один и тот же вектор, соответствующий комплексному числу b

(рис. 1.14).

Рис. 1.14

В этом случае линейная функция (1.50) осуществляет параллельный перенос плоскости z на один и тот же вектор.

2. Пусть b = 0, k = 1, argk = , то есть w = ei z.

40

Так как при умножении комплексных чисел их модули

Первое из этих равенств показывает, что точки w и z находятся на одном и том же луче, выходящем из начала координат, а из второго следует, что w / z = r = const (рис. 1.16).

Следовательно, в этом случае функция w = rz осуществляет преобразование подобия (гомотетию) с центром подобия в начале координат. Если же k = -r<0, то функция w= -rz, кроме преобразования по-

4.Общий случай линейного преобразования w= kz+b сводится

крассмотренным выше простейшим преобразованиям. Действи-

тельно, если k= r, argk = , то w = rei z + b и переход от точки z к точке w осуществляется путем последовательного применения следующих операций: 1) поворота вектора z около начала координат на угол ; 2) преобразования подобия с центром подобия в начале координат и коэффициентом подобия r; 3) параллельного переноса на вектор, соответствующий комплексному числу b.

41

1.9. Интеграл от функции комплексного переменного

Пусть в плоскости комплексного переменного z дана замкнутая или незамкнутая кривая L, которую будем предполагать гладкой или кусочно-гладкой (это значит, что во всех точках кривой, кроме конечного числа, можно провести касательную).

Пусть A- начальная точка, а B –конечная точка кривой L. Тем самым на кривой L устанавливается положительное направление обхода, которое отметим стрелкой (Рис.1.17).

Предположим, что в точках кривой L задана непрерывная функция f (z) .

Разобьем кривую L на n частей точками

z0 = A, z1, z2, ..., zn = B, и

Внутри или на одном из концов каждой элементарной дуги вы-

Определение. Если существует предел интегральной суммы (1.51), когда длина наибольшей из элементарных дуг стремится к 0, и если этот предел не зависит ни от способа разбиения кривой L на части, ни от выбора точек к в каждой

части, то этот предел называется интегралом от функции f (z) по

AB

кривой, и через f (z)dz в случае замкнутой кривой.

C

42

Таким образом, по определению

Для интеграла от функции комплексного переменного справедливы следующие свойства:

где k - действительная или комплексная постоянная.

если в интеграле направление интегрирования изменить на противоположное, то интеграл изменит знак,

где l длина кривой L.

Доказательство этих свойств проводится так же, как доказательство соответствующих свойств для определенных или криволинейных интегралов. Докажем, например, свойство 5).

Пусть f (z) M. Тогда

43

x = x(t), y = y(t), причем точке A отвечает значение параметра t=t0,

44

а точке B - значение параметра t=T. Будем предполагать, что функции x(t) и y(t) непрерывно дифференцируемы на отрезке [t0,T]. Комплексно параметрическое уравнение кривой L имеет вид z = z(t), где z(t) = x(t)+iy(t).

Тогда, используя формулу для вычисления криволинейных интегралов и равенство (1.54), получим

T

+ i {v[x(t),y(t)]x(t) + u[x(t),y(t)]y(t)}dt =

t0

T

={[u(x(t),y(t)]+iv[x(t),y(t)]}[x(t)+iy(t)]dt

t0

или

C

тром в точке z0 радиуса R.

Комплексно параметрическое уравнение окружности C имеет вид z = z0+Reit . Поэтому

45

Таким образом

1.10. Теорема Коши для простого и сложного контура

C

Доказательство. Пусть функция f (z) =u(x,y)+iv(x,y) анали-

тична в области D. Тогда во всех точках этой области выполняются условия Коши – Римана

В силу (1.54)

46

Интегралом от функции f (z) по сложному контуру Г назы-

вается сумма интегралов от этой функции по всем граничным контурам, причем интегрирование по всем контурам проводится в одном и том же (положительном или отрицательном) направлении:

Если направление интегрирования по внутренним контурам изменить на противоположное, то равенство (1.57) примет вид

где интегрирование по всем контурам проводится по часовой стрелке.

Доказательство. Простоты ради рассмотрим случай, когда область D ограничена внешним контуром C0 и одним внутренним контуром C1 (рис.1.20). Разобьем область D на две

односвязные области D1 и D2 так, как это показано на рис. 1.20. Че-

По теореме Коши для простого контура имеем

f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz +

L1 AmB BM MnN

+ f (z)dz = 0,

NA

48

MB

Если сложить почленно полученные равенства, то интегралы по линиям AN и BM взаимно уничтожатся, и в результате получим

f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz =

AmB BpA MnN NqM

контуру, расположенному в области D, равен нулю, то этот интеграл по любой кривой, расположенной внутри области D, не зависит от вида этой кривой, а зависит только от положения начальной и конечной точек этой кривой. Теорема Коши для простого контура гласит, что если функция f (z) аналитична в односвязной области

D, то интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равен нулю, и, следовательно, интеграл по любой кривой, соединяющей две точки области D, не зависит от вида кривой, а зависит только от положения этих точек. Поэтому при обозначении интеграла нет необходимости указывать вид кривой, а достаточно указать начальную и конечную точки интегрирования, употребляя обозначение

z2

f (z)dz .

z1

Легко доказать, что в этом случае справедлива формула Ньютона - Лейбница

49