Методическое пособие 582

Таким образом, из предположения о существовании производной f (z) следует выполнение равенств (1.38), то есть условия Коши-Римана необходимы для существования производной f (z).

1) Достаточность. Предположим теперь, что равенства

Так как функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы в точке M(x,y), то полное приращение этих функций в точке M(x,y) можно представить в виде

30

Отсюда следует, что правая часть равенства (1.42) имеет предел при z 0, следовательно, и левая часть имеет предел при z

31

0, причем этот предел не зависит от того, по какому пути z стремится к 0. Таким образом, доказано, что если в точке M(x,y)

Теорема доказана полностью.

В процессе доказательства теоремы получены две формулы (1.40) и (1.42) для производной от функции комплексного переменного

С помощью формул (1.38) можно получить еще две формулы

Если функция f(z) имеет производную во всех точках области D, то говорят, что функция f (z) дифференцируема в области D.

Для этого необходимо и достаточно, чтобы условия КошиРимана выполнялись во всех точках области D.

Пример. Проверить условия Коши-Римана для функции ez.

32

Так как ez= ex+iy = ex(cosy + isiny),

то u(x,y) = Reez = excosy, v(x,y) = Imez = exsiny,

поэтому

следовательно,

Условия Коши - Римана для функции ez выполнены во всех точках z. Таким образом, функция ez дифференцируема на всей плоскости комплексной переменной, причем

Точно так же доказывается дифференцируемость функций zn, cosz, sinz, chz, shz, Lnz, и справедливость формул

(zn)= n zn-1 , (cosz)= -sinz, (sinz)= cosz,

(chz)= shz, (shz)= chz, (Lnz)= 1/z.

Для функций комплексного переменного остаются в силе все правила дифференцирования функций действительного переменного. Доказательство этих правил вытекает из определения производной так же, как и для функций действительного переменного.

33

1.7. Аналитические и гармонические функции. Связь между ними

Функция f (z) = u(x,y)+iv(x,y) называется аналитической в точке z = x+iy, если она имеет производную в точке z и в некоторой окрестности этой точки. Функция f (z) называется аналити-

ческой в области D, если она аналитична в каждой точке этой области, иначе говоря, если во всех точках области D выполняются условия Коши – Римана

Функция u(x,y) называется гармонической в области D, если она имеет в области D непрерывные производные до второго порядка включительно и если

в области D, то функции u(x,y) и v(x,y) гармоничны в области D.

34

Предполагая, что функции u(x,y) и v(x,y) имеют в области D непрерывные частные производные до второго порядка включительно, продифференцируем первое из равенств (1.38) по переменной x, а второе - по y и сложим полученные равенства. Получим

Точно так же доказывается гармоничность функции v(x,y). Теорема 2. Если функция u(x,y) гармонична в односвязной области D, то существует аналитическая функция f (z) такая, что

Re f (z) = u(x,y).

Для доказательства этой теоремы достаточно найти функцию v(x,y) такую, чтобы для функции

f (z) = u(x,y)+iv(x,y) в области D выполнялись условия Коши-

Эти равенства можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений для определения функции v(x,y). Проинтегрируем первое из равенств (1.38) по переменной x в пределах от x0 до x. Получим

Полученное равенство продифференцируем по переменной y. Получим

35

Так как функция u(x,y) гармонична в области D, то

Таким образом,

С помощью формул (1.47) и (1.48) функция v(x,y), а следовательно, и функция f (z) , определяется с точностью до постоянного

слагаемого.

Теорема доказана.

36

Функции u(x,y) и v(x,y), для которых в области D выполняются условия Коши-Римана (1.38), называются взаимно сопряженными. Зная одну из них, вторая определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Пример. Дана гармоническая функция u(x,y) = x2-y2-x. Найти сопряженную ей функцию v(x,y) и аналитическую функцию f (z) = u(x,y)=iv(x,y) при дополнительном условии f(0) = 0.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой (1.48), полагая в этой формуле x0=0, y0=0. Так как

0

Следовательно,

f (z) = (x2-y2-x) + i(2xy–y+C) = (x+iy)2 - (x+iy) + iC = z2-z+iC.

Из условия f(0) = 0 следует, что C = 0.

Таким образом, v(x,y) = 2xy-y, f(z) = z2–z.

37

1.8. Геометрический смысл модуля и аргумента производной

предполагать, что функция z(t) имеет в точке t0 производную, отличную от 0: z (t0) = x (t0)+iy (t0) 0. Как известно, вектор z (t0) = x (t0)+iy (t0) направлен по касательной к кривой Г в точке z0.

Пусть w0 = f(z0) - образ точки z0, а L - образ кривой Г при отображении w = f (z) плоскости XOY на плоскость UOV (рис. 1.12). Уравнение кривой L имеет

Рис. 1.12

вид w = w(t) = f[z(t)]. По правилу дифференцирования сложной функ-

ветственно в точках z0 и w0 . Поэтому равенство (1.49) позволяет сделать следующий вывод.

Если аналитическая функция f (z) имеет в точке z0 произ-

водную f (z0) 0, то аргумент этой производной равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке z0 к любой кри-

38

вой, проходящей через эту точку, чтобы получить направление касательной в соответствующей точке w0 к образу данной кривой при отображении w = f (z) . Если = arg f (z0)>0, то поворот происходит

имеющие касательные в этой точке, то направление касательных к

Отображение, сохраняющее углы между линиями, называется конформным. Если при этом сохраняется и на-правление отсчета углов, то такое отображение называется конформным отображением первого рода.

Таким образом, отображение, осуществляемое аналитической функцией, является конформным отображением первого рода во всех точках, в которых производная от этой функции отлична от нуля.

Чтобы выяснить геометрический смысл модуля производной, заметим, что z равен расстоянию между точками z0 и z0+ z, а w равен расстоянию между точками w0 и w0+ w. Поэтому величина

w /z показывает, в каком отношении изменяется расстояние

39