Методическое пособие 582

Интеграл в правой части этого равенства, так же как интеграл в формулах прямого и обратного преобразования Фурье, понимается в смысле главного значения. Это означает, что

то функция F( p) является преобразованием Лапласа для функции f (t) , причем

Непосредственное вычисление интеграла, стоящего в правой части формулы (2.31) очень часто сопряжено с большими трудностями. Рассмотрим случаи, когда обратное преобразование Лапласа можно найти более простыми способами.

2.3.1. Применение вычетов для отыскания обратного преобразования Лапласа

На практике очень часто изображение Лапласа аналитично не только в полуплоскости Re p 0 , но и во всей плоскости

комплексного переменного p, кроме конечного числа особых точек. В этом случае справедлива следующая теорема:

100

Теорема. Если функция F( p) аналитична в плоскости комплексного переменного p кроме конечного числа особых точек

101

n

+F ( p)e pt dp )= Re s[F ( p)e pt , pk ] .

Так же можно доказать, что при t < 0 f (t) = 0.

2.3.2. Оригиналы рациональных изображений

Рассмотрим случай, когда изображение F( p) является правильной дробно-рациональной функцией переменного p:

где A(p) и B(p) многочлены, причем степень числителя меньше степени знаменателя.

Как известно из анализа, функцию (2.32) можно представить в виде суммы простейших дробно-рациональных функций,

то есть в виде суммы дробей вида

102

с помощью вычетов. Оригиналы рациональных изображений находятся как суммы оригиналов простейших дробнорациональных функций.

2.4 Теорема об умножении изображений. Интеграл Дюамеля

Пусть функции f (t) и g(t) являются оригиналами. Функция

t

h(t) = f ( )g(t )d

0

называется сверткой оригиналов и обозначается h(t) = f (t) * g(t) .

Операция свертывания оригиналов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности:

1.g(t) * f (t) = f (t) * g(t) ,

2.h(t) *[ f (t) * g(t) ] = [ h(t) * f (t) ]* g(t) .

103

Проверим, например, свойство коммутативности. Имеем

t

g(t) * f (t) = g( ) f (t )d .

0

Сделаем в этом интеграле замену переменной

t 1, d d 1 .

Получим

= f (τ1 )g(t τ1 )d 1 = f (t) * g(t) .

0

Свойства коммутативности и ассоциативности поз-воляют находить свертку трех и более оригиналов, причем порядок свер-

тываемых функций не играет роли. Легко проверяется, что свертка оригиналов также является оригиналом.

при свертывании оригиналов их изображения перемножаются. Доказательство. Пусть

Рис.2.10

Интеграл в правой части этого равенства является повторным интегралом по неограниченной области D в плоскости (t, ), определяемой неравенствами 0<t< , 0< <t (рис. 2.10).

Если в повторном интеграле изменить порядок интегрирования, то получим

104

0

Если воспользоваться коммутативностью свертки, то соотношения (2.34) и (2.35) принимают вид

Интеграл в правых частях соотношений (2.34)-(2.37) на-

0

а если g(0) = 0,

t

то F( p) G( p) g' (t) * f (t) = g' ( ) f (t )d .

0

2.5. Теоремы о разложении

Для отыскания прямого и обратного преобразования Лапласа очень часто используются следующие две теоремы, которые

приводятся здесь без доказательства.

106

Теорема 1. Если функция F( p) аналитична в области

p >R, удовлетворяет условию lim F( p) = 0 и разлагается в

p

Теорема 2. Если функция f (t) , рассматриваемая как функ-

ция комплексного переменного t, аналитична на всей комплексной плоскости, имеет конечный порядок роста при

t + и разлагается в степенной ряд

107

2.6.Применения преобразования Лапласа

2.6.1.Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами.

Применение интеграла Дюамеля

108

Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения

лами. Тогда, применяя преобразование Лапласа к левой и правой частям уравнения (2.38), получим

Отсюда с помощью обратного преобразования Лапласа находится искомое решение x(t).

Пример. Найти решение задачи Коши

Применяя преобразование Лапласа, получим

Отсюда следует, что

109