Методическое пособие 498

подчиняющихся одному из следующих распределений: а) нормальному; б) экспоненциальному; в) пуассоновскому; г) биномиальному; д) релеевскому.

Вычислить выборочные моменты x , s2 , m2 , m3 , m4 .

Определить выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса3 , 4 . Вычислить теоретические моменты распределений и

сравнить их с экспериментальными. Определить доверительные границы оценок параметров для значений доверительных вероятностей P0 0,9;0,95.

3. Сформировать выборку объемом N 50 400 случайных величин, подчиняющихся одному из следующих распределений: а) нормальному; б) экспоненциальному; в) пуассоновскому; г) биномиальному; д) релеевскому.

Построить эмпирическую функцию распределения. Исследовать ее эволюцию от объема N. Сопоставить с теоретической функцией распределения.

4. При помощи вероятностной бумаги определить, к какому типу распределения – нормальному или Коши – принадлежит функция распределения со следующими экспериментальными значениями

5. При помощи вероятностной бумаги определить, к какому типу распределения – нормальному или релеевскому – принадлежит функция распределения со следующими экспериментальными значениями

81

решек. На основе критерия согласия хи-квадрат Пирсона установить, можно ли считать монету симметричной.

7. Сформировать выборку объемом N 103 2 103 случайных чисел, распределенных по релеевскому и биномиальному закону. Для непрерывной случайной величины построить гистограмму и полигон накопленных частот. Для дискретной случайной величины построить распределение вероятностей и полигон накопленных частот. По критерию согласия хи-квадрат Пирсона проверить гипотезу о соответствии теоретического и эмпирического распределений.

82

5. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ГАУССОВСКИХ

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. МЕТОД СКОЛЬЗЯЩЕГО СУММИРОВАНИЯ

5.1. Общие положения

Базовой моделью стационарного гауссовского случайного процесса является стандартный гауссовский случайный процесс x t с нулевым математическим ожиданием

(средним значением) m 0, единичной дисперсией 2 1 и заданной нормированной корреляционной функцией (коэффициентом корреляции) R t2 t1 :

X t x t m

позволяет получить стационарный гауссовский случайный процесс с заданным математическим ожиданием m и

дисперсией 2. Линейное преобразование

X t t x t m t

позволяет сформировать нестационарный случайный процесс с характеристиками

X t m t , X t1 m t1 X t2 m t2 t1 t2 R t2 t1 .

Рассмотрим вначале формирование на ЭВМ стационарных гауссовских случайных процессов с характеристиками (5.1). Особенности формирования случайного процесса зависят от типа случайного процесса. В

83

задачах моделирования принято выделять три типа случайных процессов: а) плавно меняющийся (дифференцируемый) процесс, б) плавно меняющийся осциллирующий (квазигармонический) процесс, в) неплавно меняющийся (недифференцируемый) процесс. Качественный вид реализаций указанных типов случайных процессов и соответствующих им корреляционных функций (коэффициентов корреляции) показан на рис. 5.1а-5.1в соответственно.

а)

б)

в)

Рис. 5.1

84

Случайный процесс называют дифференцируемым, если существует вторая производная R его корреляционной функции в точке 0 [10]. Если же R 0 не существует или равна бесконечности, то такой процесс называют недифференцируемым. Дифференцируемость процесса можно определить по виду его спектральной плотности. Действительно, согласно теореме Винера-Хинчина корреляционная функция R и спектральная G связаны между собой парой преобразований Фурье:

G R exp j d ,

то процесс x t называют недифференцируемым. При записи условий (5.4), (5.5) учитывалось, что спектральная плотность случайного процесса всегда является четной функцией частоты.

Разложим корреляционную функцию дифференцируемого случайного процесса в ряд Тейлора:

R R 0 R 0 R 0 2 2 .

Поскольку R достигает максимума в точке 0: R 0 1,

85

Таким образом, при малых значениях τ (в окрестности точки0) корреляционная функция любого дифференцируемого процесса аппроксимируется параболой.

Если процесс x t является недифференцируемым, то

т.е. в малой окрестности точки 0 корреляционная функция недифференцируемого случайного процесса допускает треугольную аппроксимацию. Величина , как и R 0 в (5.7), определяет корреляционно-спектральные характеристики процесса x t и связана прямо пропорциональной зависимостью с эффективной шириной его спектра и обратно пропорциональной зависимостью с его временем корреляции

[10,15].

5.2. Выбор шага дискретизации случайного процесса

Непрерывные процессы в ЭВМ реализуются в виде коррелированной дискретной последовательности случайных чисел. Поэтому при моделировании необходимо оценить погрешность, возникающую при замене непрерывного

уровню, зависящим от разрядности ЭВМ. Так как разрядность ЭВМ велика, то ошибкой квантования по уровню можно пренебречь.

86

Тогда из (5.9) получаем max 21 R t ti 12 .

Пусть имеется два отсчета случайного процесса (рис. 2.2). Очевидно, при малом t максимальное отличие непрерывной реализации x t от x ti , x ti 1 на интервале

ti,ti 1 будет в центре между отсчетами, что соответствует

Рис. 5.2

Нетрудно оценить погрешность ε для дифференцируемых и недифференцируемых случайных процессов x t , учитывая малость t . Если процесс x t дифференцируем, то с учетом (5.7) выражение (5.10) преобразуется к виду

Здесь, следуя [10], в качестве времени корреляции кор принята длительность треугольной аппроксимации (5.8) функции R на уровне 0,5: кор 1.

87

Зададимся некоторой погрешностью дискретизации, например, 0,05. Тогда для дифференцируемого процесса

недифференцируемых случайных процессов более трудоемкая задача, чем дифференцируемых.

Анализ показывает, что шаг дискретизации (5.13) для формирования дифференцируемых случайных процессов является удовлетворительным со всех точек зрения. При формировании недифференцируемых случайных процессов для

5.3.Методы формирования гауссовских случайных процессов на ЭВМ

Все алгоритмы формирования реализаций гауссовских случайных процессов могут быть отнесены к одному из следующих методов моделирования:

88

процесса x t , а j – номер отсчета. Кроме того, конечное число коэффициентов цифрового фильтра H z также влияет на

соответствие статистических характеристик процессов x t и x j .

Известны два способа математического описания аналоговой фильтрации «полосового» белого шума u t :

1) интегралом Дюамеля

2)рекуррентный метод

90