Методическое пособие 498

В качестве альтернативного варианта формирования равномерно распределенного в интервале 0,1 случайного числа α с помощью двух независимых стандартных гауссовских чисел 1, 2 согласно (2.27) имеем

12 arctg 2 1 .

2.4.Типовые программные датчики случайных чисел

В программе MathCAD представлены датчики случайных чисел с различными распределениями вероятностей. На рис. 1.3 показана программа формирования равновероятных случайных чисел. Кроме того, имеются датчики с другими распределениями вероятностей.

На рис. 2.13 показаны примеры реализаций случайных чисел с различными законами распределения вероятностей в программе MathCAD (всего имеется несколько десятков вариантов).

На рис. 2.14 приведена программа формирования гауссовских случайных чисел в системе Delphi, а на рис. 2.15 - результаты ее работы. Для генерации случайных чисел с произвольным распределением вероятностей можно использовать рассмотренные выше методы.

Как видно, в типовых математических программах имеется возможность формирования случайных чисел с различными распределениями вероятностей.

41

Рис. 2.13

42

unit Unit1; interface uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

ExtCtrls, TeeProcs, TeEngine, Chart, StdCtrls, Math, Series; type

TForm1 = class(TForm) Button1: TButton;

Chart1: TChart; Series1: TLineSeries; procedure Button1Click(Sender: TObject); private

{Private declarations } public

{Public declarations } end;

var

Form1: TForm1; implementation {$R *.DFM}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); var x : array[0..19] of extended; i : integer;

begin

for i:=0 to 19 do begin

x[i]:=RandG(0,1); {фйормирование гауссовских случайных чисел} end;

With Chart1, Series1 do begin

Clear; LeftAxis.Minimum:=0;

for i:=0 to 19 do Add( x[i], IntToStr(i)); {вывод случайных чисел} end;

end;

end.

Рис. 2.14

43

8. Распределение Вейбулла:

w x cxc 1bc exp xb c , 0 x ; b 0,8, c 0,5;3.

9. Логистический закон распределения:

F x 1 1 exp x 1 th x 2 2,

0,25;1, 0,5; 2.

46

3.РАЗЫГРЫВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ, МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

3.1. Разыгрывание случайных событий

Пусть необходимо смоделировать некоторое событие A, вероятность появления которого P A p, 0 p 1. Событию

A статистически эквивалентно событие p , где α –

равномерно распределенное случайное число в интервале 0,1 .

1)вырабатывается значение случайной величины α;

2)производится сравнение значения α с величиной p;

3)если p, то имеет место событие A, а если p, то

событие A не имеет места.

Рассмотрим теперь задачу разыгрывания полной группы несовместных событий. Пусть A1, A2, …, An образуют полную группу несовместных событий, причем P Ai pi ,

n

pi 1.

i 1

Разобьем весь интервал 0,1 на n подынтервалов

zi 1,zi , i 1,n, длины которых равны соответственно p1, p2, …, pn . Тогда события Ai и zi 1,zi будут статистически эквивалентны. Действительно:

P zi 1,zi zzii 1dx pi P Ai .

48

Отсюда следует алгоритм разыгрывания полной группы несовместных событий:

1) вырабатывается значение случайной величины α;

2) значение α сравнивается с величиной z1 p1. Если

3) значение α сравнивается с величиной z2. Если z2,

то имеет место событие A2, иначе формируется z3 z2 p3. И

т.д., до тех пор, пока не достигнем zn 1;

моделирования значение α обязательно попадет в какой-то подынтервал. Следовательно, обязательно реализуется одно из возможных событий Ak .

Пример 3.1. При падении нейтрона на ядро возможны три исхода: поглощение (1), упругое рассеяние (2) и реакция

равномерно распределенного случайного числа 0,1 мы

49

3.2. Моделирование дискретных случайных величин

Рассмотрим формирование наиболее распространенных дискретных распределений.

1) Дискретное равномерное распределение.

Данному распределению подчиняется случайная величина ξ, представляющая из себя число, выбранное наудачу из M целых чисел (M 2), принадлежащих интервалуa,a M 1 . Здесь a – целое число, определяющее левую границу области возможных значений случайной величины ξ. Алгоритм формирования может быть записан как

a M ,

где α – равномерно распределенное в интервале 0,1 случайное число.

2) Распределение Бернулли.

Данному распределению подчиняется реализация случайного события β в однократном испытании: 1 с

вероятностью p и 0 с вероятностью 1 p. Алгоритм

формирования случайной величины с распределением Бернулли на основе равномерно распределенного случайного числа 0,1 имеет вид

1, если p,

0,если p.

3) Биномиальное распределение.

Данному распределению подчиняется случайная величина ξ, представляющая из себя число успехов в серии из n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p и вероятностью неудачи 1 p в каждом испытании,

P k Cknpk 1 p n k, k 0,n.

Алгоритм формирования случайной величины ξ может быть реализован с помощью имитации серии из n испытаний

50