Методическое пособие 498

определяются согласно (5.29). Тогда при 0,01 получаем

L 200.

Оценка величины L для различных корреляционных функций и шагов дискретизации приведена в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Отметим достоинства и недостатки метода скользящего суммирования. Достоинства:

1) он является универсальным, т.е. позволяет сформировать процесс с любой заданной корреляционной функцией, при этом погрешность 1 , связанную с ограничением числа коэффициентов, можно сделать сколь угодно малой;

2) не является достаточно критичным к свойству гауссовости исходных случайных чисел, поскольку при суммировании происходит дополнительная нормализация получающегося отсчета случайного процесса.

Недостаток: относительно невысокое быстродействие алгоритма, особенно при моделировании недифференцируемых случайных процессов.

101

5.5. Контрольные вопросы

1.Каковы особенности формирования на ЭВМ дифференцируемых и недифференцируемых случайных процессов?

2.Из каких соображений выбирается шаг дискретизации при формировании отсчетов моделируемого случайного процесса на ЭВМ?

3.Перечислите методы формирования гауссовских случайных процессов на ЭВМ. Дайте их краткую характеристику. Укажите условия целесообразности их применения.

4.Каким образом формируются отсчеты моделируемого случайного процесса в методе скользящего суммирования?

5.Укажите способы расчета весовых коэффициентов при формировании отсчетов моделируемого случайного процесса в методе скользящего суммирования. Приведите основные соотношения.

6.В каких случаях целесообразно применять тот или иной способ расчета весовых коэффициентов в методе скользящего суммирования?

7.Из каких соображений выбирается число весовых коэффициентов в методе скользящего суммирования?

8.Укажите достоинства и недостатки метода скользящего суммирования.

5.6. Задачи

1. Сформировать гауссовский процесс на выходе фильтра с импульсной характеристикой

h t h0 exp t22 4t2 2 .

2. Сформировать гауссовский процесс на выходе фильтра с импульсной характеристикой

h t h0 exp t sin 0t , t 0.

3. Сформировать процесс с корреляционной функцией

102

R exp 1 .

4.Сформировать процесс с корреляционной функцией

R exp 2 02 .

5.Сформировать процесс с корреляционной функцией

R sin (процесс с полосовым спектром).

белый шум с единичной спектральной плотностью.

7.Сформировать процесс с корреляционной функцией

R 2 1 02 2 .

8.Сформировать процесс с корреляционной функцией

R 1 кор , кор .

9. Сформировать двумерный нормальный случайный вектор 1, 2 с вектором математических ожиданий 0,0 и

теоретическим значением этой вероятности.

10. Сформировать двумерный нормальный случайный вектор 1, 2 с вектором математических ожиданий 1,1 и

теоретическим значением этой вероятности.

103

формирующего фильтра H z A z B z и преобразуется к

виду (5.21), из которого получаются весовые коэффициенты

ak , bm .

Пример 6.1. Сформировать случайный процесс с нормированной корреляционной функцией R exp .

где exp . Отсюда Gx z 1 2 1 z 1 z 1 . Факторизуем функцию Gx z

Gx z 1 2 1 z 1 2 1 z 1

и находим

H z 1 2 1 z 1 .

Из этого выражения следует, что a0 1 2 , b1 . Таким образом,

преобразования, вычисляем обобщенную спектральную

105

При моделировании для определенности можно выбрать, например,

Данная модель рекурсивной фильтрации удобная для формирования процессов с отношением 0 50 100. Если

0 , то целесообразнее использовать квадратурный метод формирования процессов.

Рекурсивный фильтр может быть получен на основе метода факторизации в случае дробно-рациональной

затруднительна. Некоторые алгоритмы моделирования гауссовских случайных процессов с использованием рекуррентного метода и их параметры приведены в табл. 6.1.

106

Таблица 6.1

107

Процессы авторегрессии-скользящего среднего типа (6.3), (6.5) имеют переходной начальный участок. Действительно, для получения x 0 в общем случае необходимо задание отсчетов

x 1 , x 2 , , 0 , 1, . (6.7)

Для того чтобы не было переходного процесса в начале реализации x t (x j ) случайные величины (6.7) с помощью (5.23), (5.24) формируют как коррелированный вектор y с заданной корреляционной матрицей R. Для алгоритма 1 и алгоритмов 2-5 из табл. 6.2 эта процедура будет выглядеть следующим образом:

Очевидно, в первом случае вектор y y1, y2 вырождается в два независимых стандартных гауссовских числа.

Достоинства метода:

1) высокое быстродействие (действительно, как, например, следует из (6.3), текущий отсчет процесса с экспоненциальной корреляционной функцией получается из предыдущего отсчета с весом ρ и нового отсчета шума с весом

1 2 , в то же время для формирования аналогичного отсчета x j методом скользящего суммирования требовалось порядка 200 коэффициентов);

2) точность (в отличие от метода скользящего суммирования не требуется искусственно ограничивать число коэффициентов фильтра).

108

Таблица 6.2

109

Недостатки метода:

1)применим только для формирования случайных процессов с дробно-рациональным спектром;

2)весьма чувствителен к качеству датчика исходных гауссовских случайных чисел;

3)в силу использования для формирования отсчетов случайного процесса физически реализуемого фильтра при нулевых начальных условиях имеется переходной процесс (см.

рисунок) на интервале порядка 2 3 кор . Здесь кор – время корреляции процесса x t . Частично последний недостаток можно преодолеть, если в (5.19) выбирать не нулевые, а случайные начальные условия.

6.2. Метод ортогональных (канонических) разложений

В данном методе используется разложение случайного процесса в ряд по системе ортогональных функций (5.22), гдеk t удовлетворяют условию

T

k t l t dt kl ,

0

kl – символ Кронекера. Поскольку среднее значение процесса x t принимается равным нулю, то и среднее значение

случайных чисел в (5.22) k 0. Выбор системы функций

k t может обуславливаться различными обстоятельствами.

110