Методическое пособие 498
.pdf
Пример 9.1. На рис. 9.2 представлены конкурирующие
системы s1 |
и s2 , составленные из одинаковых блоков B1, |
B2 , |
|||||
B3 , B4 и |
сравниваемые по критерию надежности с учетом |
||||||
случайных изменений внешней температуры ξ. События |
A1 и |
||||||
A2 означают соответственно факты безотказной работы s1 |
и s2 |
||||||
в течение заданного времени T. Вероятности безотказной |
|||||||
работы блоков Bi при заданной температуре x равны |
|
||||||
|
P Bi |
|
x exp i x T , |
i |
|
, |
|
|
|
1,4 |
|
||||
где интенсивности отказов i x представляют некоторые возрастающие функции температуры x.
Рис. 9.2
Проверим, являются ли функции P A1 x и
одинаково упорядоченными. Из рис. 9.2 следует, что
P A1 x 1 1 P B1 x 1 P B2 x
1 1 P B3 x 1 P B4 x ,
P A2 x 1 1 P B1 x 1 P B3 x
1 1 P B2 x 1 P B4 x .
собой
P A2 x
(9.5)
Нетрудно проверить, что соотношения (9.5) удовлетворяют условию одинаковой упорядоченности (9.4). Поэтому, используя при моделировании систем s1 и s2 одни и те же реализации x случайной температуры ξ, получим большую
161
точность сравнения вероятности P A1 и P A2 , чем при раздельном моделировании систем.
9.1.2. Метод пересчета
Приведенные выше способы оценки изменений показателя качества системы универсальны и могут быть использованы во всех моделях, независимо от того, характеризуют ли некоторый изменяемый параметр α детерминированной части моделируемой системы или распределение вероятностей w x, случайных возмущений
.
Вместе с тем, в последнем случае можно применить более экономичные методы оценки изменений, не требующие повторения моделирования при различных значениях параметра α. Рассмотрим оценки такого типа в предположении,
что вектор имеет постоянную, независящую от α размерность. Показатель качества для непрерывных и дискретных величин определим в виде [15]
Q |
|
x w x, dx , Q x P x, . (9.6) |
|
x |
В формулах (9.6) от параметра α зависят только w x, и
P x, , в то время как функция x , характеризующая
работу системы, не зависит от α и не меняется при исследовании различных вариантов системы. Запишем (9.6) в виде
|
|
|
w x, |
|
|
|
||||
Q x |
|
w x, |
|
w x, 1 |
dx |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(9.7) |
|
|
|
P |
x, |
|
|||||
Q x |
|
P |
|
|
|
|
P x, 1 . |
|||
x |
|
|
|
x, 1 |
|
|
||||
При 2 формулам (9.7) соответствуют несмещенные оценки
162
~ |
|
|
1 |
N |
|
|
|
w xi, 2 |
~ |
|
1 |
|
N |
|
|
|
|
P xi, 2 |
||||||||||||||||
Q 2 |
|
|
|
xi |
|
|
w x |
|
|
|
|
, |
|
Q 2 |
|
|
|
|
xi |
|
P x |
|
|
, (9.8) |
||||||||||
|
N |
|
i |
, |
N |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
||
где x |
– независимые реализации вектора . Из (9.8) следуют |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
оценки приращения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
~ |
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
1 |
|
|
N |
|
w |
, |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Q |
Q 2 |
|
Q 1 |
|
|
|
|
xi |
w |
x |
, |
1 , |
|
|
(9.9) |
||||||||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
~ |
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
1 |
|
N |
|
P |
x |
, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Q Q 2 Q 1 |
|
|
|
|
xi |
|
P x |
, |
|
1 . |
|
(9.10) |
|||||||||||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, изменение показателя качества работы системы Q может быть получено путем пересчета характеристик по формулам (9.9), (9.10). Поскольку основные затраты времени при моделировании связаны с вычислением значений xi , то метод пересчета весьма эффективен с точки зрения затрат машинного времени. Он позволяет вычислять приращения при любом наборе параметров 1 , 2 , …, M ,
фактически выполняя моделирование при одном значении 1 , в то время как другие способы испытаний требуют в этом случае M-кратного моделирования.
Пример 9.1. Необходимо сравнить работу системы, находящейся под случайным воздействием ξ, имеющим плотность вероятности
w x, exp x 2 
2 
2
при значениях |
1 |
0 |
и |
0 2 |
1. |
Функция |
x , |
||||
описывающая качество работы системы, имеет вид |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1, если 0, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
0, если 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дисперсия |
оценки |
приращений по |
формуле (9.9) |
равна |
|||||||
2 |
22 |
2N 1 1 , а дисперсия оценки по формуле (9.2) – |
|||||||||
н2 |
2 |
N |
|
. Таким образом, для малых приращений α |
|||||||
2 |
|||||||||||
оценка |
с |
помощью |
метода |
пересчета |
имеет (помимо |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
163 |
|
|
|
|
сокращения затрат машинного времени) дисперсию в 1,17
2 раза меньшую.
Соотношения (9.8) лежат в основе еще так называемого форсирования случайных событий.
9.1.3. Форсирование случайных воздействий
Форсирование случайных воздействий применяется при оценке вероятности редкого события, например, ложной тревоги или пропуска цели, срыва автоматического сопровождения, отказа аппаратуры и т.п. Непосредственная оценка ν вероятности p, имеет относительную среднеквадратичную погрешность
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
D |
|
p |
|
1 p np , |
(9.11) |
|
возрастающую с уменьшением |
p. |
Так оценка вероятности |
|||||
p 10 6 с погрешностью 10% |
требует проведения |
108 |
|||||
испытаний, что может быть весьма затруднительно.
При форсировании воздействий осуществляется переход от модели с малой вероятностью p p A исследуемого события A к модели с большей вероятностью этого события посредством изменения соответствующих распределений. Оценка вероятности в преобразованной модели имеет меньшую относительную погрешность, чем погрешность
исходной малой вероятности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Обычно |
осуществляется |
переход |
|
от |
непрерывного |
|||||||||||
w x, 1 или дискретного |
p x, 1 распределения с параметром |
||||||||||||||||
1 к распределению w x, 2 |
( p x, 2 ) |
с параметром 2 и |
|||||||||||||||
оценка вероятности путем пересчета |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
~ |
|
1 |
N |
|
w xi, 1 |
|
|
~ |
|
1 |
N |
|
|
p xi, 1 |
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
, |
|
|
|
xi |
|
|
|
|
, (9.12) |
||
N |
N |
|
|||||||||||||||
|
|
i 1 |
|
w xi, 2 |
|
|
|
i 1 |
|
|
p xi, 2 |
|
|||||
где xi – выборка, наблюдаемая в i-ом испытании (воздействии)
в новых условиях, а функция x 1, если событие A имело место при воздействии, и x 0 в противном случае.
164
Эффективность оценок (9.12) зависит от выбора w x, 2
( p x, 2 ). Такие трансформации физически интерпретируются как изменение уровня сигнала, интенсивности шумов и т.д.
Пример 9.2. Пусть плотность вероятности процесса 1 на выходе квадратичного детектора имеет вид w x, 1 1 exp 1x , x 0. Необходимо оценить вероятность того, что 1 превысит порог h.
Решение. При 1h 1 искомая вероятность очень мала. Согласно идее форсирования воздействий сформируем процесс
2 |
с плотностью вероятности w x, 2 2 exp 2x , 2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
и оценим вероятность превышения по формуле |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
|
|
1 |
exp 1 2 xi , |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
(9.13) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где xi 1 при 2 |
|
h и xi |
0 |
при 2 h. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дисперсия оценки (9.13) определится как |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
~ |
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
D |
D |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
exp |
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
D |
2 |
exp |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N 22 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
exp 2 |
|
|
|
|
h exp 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
h . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
N |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Зависимость относительной погрешности 2 p |
|
ND ~ |
p от |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
истинного значения вероятности приведена на рис. 9.3. Здесь
же |
построена |
зависимость |
1 p |
n 2 |
p |
с |
использованием |
формулы (9.11). |
Полагалось, что |
1 |
0,5, |
||
2 0,1.
Из рис. 9.3 следует, что оценка вероятности p 10 6 с погрешностью 10% требует около 700 форсированных
165
испытаний против 108 при обычном оценивании.
Рис. 9.3 9.2. Контрольные вопросы
1.Какова основная цель использования метода зависимых испытаний при моделировании?
2.Каковы условия применения метода зависимых испытаний при моделировании. Являются ли они необходимыми или достаточными?
3.Приведите примеры применения метода зависимых испытаний при моделировании систем?
4.В чем состоит сущность метода пересчета?
5.Каким образом на основе метода пересчета могут быть найдены экспериментальные характеристики системы при изменении значений ее параметров?
6.Какие показатели эффективности моделирования позволяет повысить применение метода пересчета? Приведите примеры.
7.В каких случаях применяется форсирование случайных воздействий?
8.Какие показатели эффективности моделирования позволяет повысить применение форсирования случайных воздействий? Приведите примеры.
166
9.3. Задачи
1.Разработать алгоритм экспериментального
определения |
вероятности |
P 4 , где ξ – |
гауссовская |
|
случайная |
величина |
с |
параметрами |
~ N 0, 2 , |
минимизирующий затраты машинного времени.
2. Разработать алгоритм экспериментального определения вероятности P n h , где n – случайная величина, описывающаяся законом распределения n , при
различных значениях n и h, минимизирующий затраты машинного времени.
3.Разработать алгоритм моделирования первого достижения порога h винеровским случайным процессом с различными дисперсиями, минимизирующий затраты машинного времени.
4.Разработать алгоритм моделирования релеевских замираний гармонического радиосигнала при их различной интенсивности, минимизирующий затраты машинного времени.
5.Разработать алгоритм моделирования оптимального измерителя времени прихода (амплитуды, длительности) прямоугольного видеоимпульса на фоне белого шума. Использовать метод зависимых испытаний по всем возможным параметрам.
6.Разработать алгоритм моделирования оптимального измерителя времени прихода (амплитуды, начальной фазы, длительности) прямоугольного радиоимпульса на фоне белого шума. Использовать метод зависимых испытаний по всем возможным параметрам.
7.Разработать алгоритм моделирования оптимального обнаружителя прямоугольного видеоимпульса с неизвестным временем прихода времени прихода (амплитудой, длительностью) на фоне белого шума. Использовать метод зависимых испытаний по всем возможным параметрам.
8.Разработать алгоритм моделирования оптимального
167
обнаружителя прямоугольного радиоимпульса с неизвестным временем прихода времени прихода (амплитудой, начальной фазой, длительностью) на фоне белого шума. Использовать метод зависимых испытаний по всем возможным параметрам.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приведенный материал ориентирован на углубленное изучение методов статистического имитационного моделирования технических систем и протекающих в них случайных процессов в ходе подготовки магистров по направлению 11.04.01 «Радиотехника» в рамках магистерской программы «Радиотехнические средства обработки и защиты информации в каналах связи» по дисциплине «Техническая диагностика и скрытность».
В пособии особое внимание уделено эффективным процедурам формирования случайных чисел с заданными статистическими свойствами. Использование приведенных материалов позволит проектировать статистические имитационные модели технических систем и протекающих в них случайных процессов с минимальными вычислительными затратами при необходимой точности результатов моделирования.
168
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения[Текст] / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - М.: Высш.
шк., 2000. - 483 с.
2.Гладков Л.Л. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / Л.Л. Гладков, Г.А. Гладкова. Минск,
РИПО, 2013. – 238 с.
3.Бочаров П. П. Теория вероятностей. Математическая статистика [Текст] / П.П. Бочаров, А.В. Печинкин. - М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 296 с.
4.Каневский З.М. Основы теории скрытности. Учебное пособие [Текст] / З.М. Каневский, В.П. Литвиненко, Г.В. Макаров Г.В., Д.А. Максимов. - Воронеж, Изд-во ВГТУ, 2006.
–202 с.
5.Литвиненко В.П. Энергетическая скрытность сигналов и защищенность радиолиний. Учебное пособие [Текст] / В.П. Литвиненко. - Воронеж, Изд-во ВГТУ, 2009. – 166 с.
6.Бакалов В.П. Цифровое моделирование случайных процессов [Текст] / В.П. Бакалов. -М.: Сайнс-пресс, 2002. -88 с.
7.Бахвалов Н.С. Численные методы [Текст] / Н.С. Бахвалов. – М.: Наука, 2000. – 630 с.
8.Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям [Текст] / Р.Н. Вадзинский. – СПб.: Наука, 2001. – 295 с.
9.Кнут Д. Искусство программирования. Т. 1-3 [Текст] /
Д. Кнут. – М.: Вильямс, 2006, 2007, 2007. – 720, 832, 824 с.
10.Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн.1 [Текст] / Б.Р. Левин. – М.: Сов. Радио, 1969. – 752 с.
11.Иванов М.А. Теория, применение и оценка качества генераторов псевдослучайных последовательностей. [Текст] / М.А. Иванов И.В. Чугунков. – М.: Кудиц-Образ,, 2003. – 240 с.
12.Прикладная теория случайных процессов и полей [Текст] / К.К. Васильев, Я.П. Драган, В.А. Казаков В.А. и др.;
169
Под ред. Васильева К.К., Омельченко В.А. – Ульяновск:
УлГТУ, 1995. – 256 с.
13.Прохоров С.А. Моделирование и анализ случайных процессов. Лабораторный практикум [Текст] / С.А. Прохоров. – Уральск: Самар. гос. аэрокосм. ун-т., 2001. – 191 с.
14.Советов Б.Я. Моделирование систем: Учеб. для вузов [Текст] / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. – М.: Высшая школа, 2009. – 343 с.
15.Трифонов А.П. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами [Текст] / А.П. Трифонов, Е.П. Нечаев, В.И. Парфенов. – Воронеж: ВГУ, 1991.
–246 с.
16.Ермаков С.М. Статистическое моделирование. Часть 1. Моделирование распределений. [Текст] / С.М. Ермаков. – СПб.: НИИММ СПбГУ, 2006. – 63 с.
17.Шелухин О.И. Моделирование информационных систем: Учеб. Пособие [Текст] / О.И. Шелухин, А.М. Тенякшев, А.В. Осин. – М.: Радиотехника, 2005. – 368 с.
18.Боровков А.А. Математическая статистика. [Текст] / А.А. Боровков. – СПб.: Лань, 2010. – 704 с.
170