Методическое пособие 498

Имеется два подхода к моделированию пуассоновских процессов: 1) метод типа “ t ”; 2) метод дискретных событий (метод моделирования интервалов).

Метод типа “ t ”

В этом методе вся ось времени разбивается на одинаковые элементарные интервалы длительностью t . В каждом интервале может быть какое-то количество точек пуассоновского потока интенсивности λ, вероятность появления которых определяется формулой (8.4). Будем считать, что интервал t настолько мал, что вероятностями появления двух и более точек на нем можно пренебречь. Тогда вероятности непоявления точки P0 t или появления только

одной точки P1 t допускают аппроксимации:

P0 t exp t 1 t , P1 t texp t t . (8.7)

Из (8.7) следует, что моделирование пуассоновского потока сводится к формированию равномерно распределенного в интервале 0,1 числа α и сравнению его с вероятностью t . Если t , то на текущем интервале t к пуассоновскому потоку добавляем новую точку. В противном случае точка к потоку не добавляется. Таким образом, алгоритм моделирования массива Ni , состоящего из k элементов

значений процесса N t в моменты t ti , i 1,k , включает в себя следующие шаги:

1)положить t0 0, N0 0, i 0;

2)вычислить значение ti 1 ti t ;

3)сформировать равномерно распределенное число

4)если i t , то Ni 1 Ni 1, i i 1;

5)если i t , то i i 1;

6)если i k , то вернуться к шагу 1.

141

Качественный вид реализации пуассоновского процесса, полученного методом “ t ”, показан на рис. 8.3.

Рис. 8.3

Достоинства метода:

1)простота формирования потока;

2)поскольку явно не оговаривается, что интенсивность

λдолжна быть постоянна, то данный метод применим для моделирования нестационарных потоков;

3)является наиболее простым при моделировании пуассоновских полей.

Недостатки метода:

1)при реализации события t неясно, в каком месте интервала t необходимо добавить новую точку к потоку;

2)исключается случай, когда в интервале t может быть больше одной точки, хотя на практике такая ситуация возможна;

3)если интервал формирования потока T t , то процесс моделирования может существенно замедляться, а расход чисел становиться достаточно большим.

Метод дискретных событий (метод моделирования интервалов)

Здесь непосредственно моделируются те моменты времени, когда появляется новая точка в потоке. При этом используется тот факт, что интервалы времени между точками распределены по экспоненциальному закону. Последовательность шагов алгоритма моделирования значений пуассоновского процесса Ni N ti в моменты времени ti

изменения им своего значения имеет вид:

142

1)положить t0 0, N0 0, i 1;

2)сформировать очередное равномерно распределенное

число i 0,1 ;

3) вычислить значение очередного интервала i между событиями, например, по формуле (2.10);

4)сформировать очередные момент времени ti ti 1 i

изначение Ni Ni 1 1 пуассоновского процесса;

5)если ti не вышло за предел T, равный длительности

реализации процесса, то вернуться к шагу 2. Достоинства метода:

1)высокое быстродействие и экономичность;

2)простота моделирования процессов, особенно с постоянной во времени интенсивностью.

8.1.2.Моделирование кусочно-однородных пуассоновских случайных процессов

Пуассоновский случайный процесс называется кусочнооднородным, если его интенсивность t изменяется ступенчатым образом:

При моделировании кусочно-однородных пуассоновских случайных процессов возможны следующие подходы.

Первый подход. Если средние расстояния ср1 1 1 ,

интервалах времени 0,T1 и T1,T2 потоки можно считать приближенно статистически независимыми (т.е., можно пренебречь краевыми эффектами в окрестности точки t T1).

143

Тогда моделирование кусочно-однородного потока можно свести к моделированию однородного пуассоновского потока с интенсивностью 1 на интервале 0,T1 и однородного пуассоновского потока с интенсивностью 2 на интервале

T1,T2 одним из рассмотренных выше методов.

Если же Ti i 1, i 1,2, то переходная зона занимает

весь интервал, и надо использовать более точные методы моделирования.

Второй подход. Заданный кусочно-однородный процесс s t может быть представлен как сумма двух однородных

T1,T2 . Тогда моделирование кусочно-однородного процесса s t сводится к моделированию двух однородных случайных процессов s1 t , s2 t и их последующей конкатенации (объединению). Графически данная процедура показана на рис. 8.4.

Третий подход. Кусочно-однородный процесс может рассматриваться, как однородный процесс с интенсивностью2 , каждая точка которого на интервале 0,T1 может быть исключена из потока с вероятностью γ. Вероятность γ согласно

осуществляется с помощью генерирования равномерно распределенной случайной величины 0,1 : если , то текущая точка исключается; если же , то текущая точка остается в потоке.

Более точное непосредственное моделирование кусочнооднородного пуассоновского процесса с учетом переходной зоны в окрестности точки t T1 может быть осуществлено следующим образом.

144

С помощью (8.11), (8.12) легко получить функции распределения положений скачков процесса с интенсивностью

(8.9):

На основе метода обратных функций из (8.13) получаем рекуррентную формулу для вычисления моментов ti скачков процесса на основе последовательности независимых равномерно распределенных случайных чисел i 0,1 :

Используя (8.14), можно предложить следующий алгоритм формирования значений Ni пуассоновского процесса с интенсивностью (8.9) на интервале 0,T в моменты времени

ti :

1)положить t0 0, N0 0, i 1;

2)выработать очередное равномерно распределенное

случайное число i 0,1 ;

3) вычислить очередное значение ti по формуле (8.13),

Ni Ni 1 1;

4) если ti T2 , то вернуться к шагу 2.

На рис. 8.5 приведен пример моделирования пуассоновского процесса с кусочно-постоянной интенсивностью.

146

пуассоновского процесса. Неоднородные пуассоновские потоки часто возникают в задачах наблюдения слабого полезного сигнала на фоне шума (рис. 8.6).

Рис. 8.6

При моделировании неоднородных пуассоновских процессов, как правило, используют один из двух следующих методов.

Метод преобразования шкалы времени

Неоднородный пуассоновский процесс с

148

интенсивностью t можно получить из однородного с помощью преобразования шкалы времени. С этой целью введем новую шкалу времени u. Эта шкала связана со шкалой t преобразованием

следующим образом:

1)вычислить длину реализации U вспомогательного пуассоновского процесса по формуле (8.18);

2)сформировать последовательность моментов скачков

ui , i 1,2,3, (ui U ) однородного пуассоновского процесса с

единичной интенсивностью; 3) с помощью (8.17), (8.19) аналитически или численно

сформировать по величинам ui значения моментов скачков ti , i 1,2,3, заданного процесса N t .

Предложенный алгоритм допускает рекуррентное

149

представление. Для этого достаточно организовать вычисление очередного момента скачка ti заданного процесса непосредственно после вычисления момента скачка ui

вспомогательного процесса. При этом необходимо, чтобы обратная функция имела явный вид на всем отрезке моделирования реализации.

Метод деформации шкалы времени оказывается особенно эффективным при моделировании пуассоновских процессов со ступенчатым изменением интенсивности.

Пример 8.1. Сформировать неоднородный пуассоновский процесс с интенсивностью t aexp bt на интервале 0,T .

Решение. Согласно (8.17), (8.18) находим

t

u t aexp b d a 1 exp bt ,

b

0

Ua 1 exp bT . b

Далее определяем функцию f u , обратную функции u ab 1 exp bt :

t 1b ln 1 bua f u .

Формируем моменты появления точек однородного

U J 1 uJ U .

Затем согласно (8.19) формируем моменты появления

Вид реализации пуассоновского потока и процесса при a 50, b 2 показан на рис. 8.7а и 8.7б соответственно.

150