2.2.2. Поправочные коэффициенты четырехзондового метода измерения удельного сопротивления

Выражения (2.2) и (2.10) пригодны для определения удельного электрического сопротивления образца полубесконечного объема, то есть образца, линейные размеры которого много больше расстояния между зондами s. Этот критерий применимости формул по существу является полуколичественным, так как не указывает точного соотношения между размерами образца и величиной s. В ряде случаев приходится измерять удельное сопротивление образцов ограниченных размеров, которые контактируют с изолирующей или проводящей средой.

В случае контакта с изолирующей средой при условии, что расстояние между зондами сравнимо с расстоянием от крайнего зонда до границы образца или с толщиной образца, при использовании вышеприведенных формул будут получаться завышенные значения удельного сопротивления. Это происходит вследствие того, что ток растекается в меньшем объеме и сила тока в образце понижается по сравнению с расчетной. При контакте образца с проводящей средой должны получаться заниженные значения удельного сопротивления. Шунтирование образца проводящей средой вблизи зондов приводит к увеличению силы тока по сравнению с расчетной. Поэтому при измерениях удельного сопротивления образцов конечных размеров в формулы (2.2) и (2.10) нужно вводить поправочные коэффициенты.

Эти коэффициенты можно рассчитать, пользуясь методом зеркальных изображений, широко применяемым в электростатике. Пусть имеем полубесконечный образец, который контактирует с плоской проводящей средой; зонды расположены вдоль линии, перпендикулярной этой границе на расстоянии l от крайнего зонда (рис. 2.5). На продолжении линии расположения зондов симметрично относительно проводящей границы расположим два мнимых источника тока в точках 5 и 6. Условие на проводящей границе (U = 0) будет выполнено, если в точку 5 будет помещен положительный источник тока (+ I), а в точку 6 – отрицательный (- I). Вычисление потенциалов в точках 2 и 3 с учетом четырех источников тока позволяет определить искомое удельное сопротивление образца:

(2.11)

тогда разность потенциалов равна

.(2.12)

Рис. 2.5. Система источников изображения для образца

полубесконечного объема с проводящей границей

Вычисление разности потенциалов позволяет определить удельное сопротивление образца

, (2.13)

где

(2.14)

функция поправок для образца, контактирующего с проводящей средой, зависящая только от отношения (l/s).

Как следует из формулы (2.14), при l = 0, то есть в случае, когда зонд стоит на проводящей границе, f₁(l/s) = 2; при l/s  3 поправочная функция f₁(l/s) практически не отличается от единицы и поэтому может не учитываться.

С помощью метода зеркальных изображений можно вычислить функцию поправок f₂(l/s) для случая изолирующей границы. При этом следует учитывать, что нормальная составляющая тока (и электрического поля) на такой границе равна нулю j_n = 0. Функция поправок, если линия зондов перпендикулярна изолирующей границе, зависит только от отношения (l/s) и равна

. (2.15)

Аналогично находятся функции поправок при параллельном расположении зондов вдоль изолирующей границы f₃(l/s) и вдоль проводящей границы f₄(l/s):

- при параллельном расположении зондов относительно изолирующей границы

; (2.16)

- при параллельном расположении зондов относительно проводящей границы

. (2.17)

Итак, анализ поправок, полученных для образца полубесконечного объема с изолирующей или проводящей границей, при параллельном и перпендикулярном расположении линии зондов относительно границы показывает, что во всех случаях функция поправок пренебрежимо мала, если l  3s.