2.2. Четырехзондовый метод измерения удельного сопротивления

Четырехзондовый метод измерения удельного сопротивления полупроводников является самым распространенным. Этот метод был предложен в 1954 г. Л.Б. Вальдесом и основан на физических процессах, обусловленных явлением растекания тока в точке контакта металлического острия с полупроводником. Основное преимущество четырехзондового метода состоит в том, что не требуется создания омических контактов к образцу и возможно измерение удельного сопротивления образцов самой разнообразной формы и размеров. Условием его применимости с точки зрения формы образца является наличие плоской поверхности, линейные размеры которой превосходят линейные размеры системы зондов.

Сущность четырехзондового метода измерения удельного сопротивления заключается в следующем. На плоской поверхности образца вдоль одной линии размещаются четыре металлических зонда (рис. 2.1). Через два внешних зонда (1 и 4) пропускают ток I , а между двумя внутренними зондами (2 и 3) измеряют разность потенциалов U. По измеренным значениям разности потенциалов между зондами 2 и 3, тока, протекающего через зонды 1 и 4, можно определить удельное сопротивление  образца

, (2.2)

где s - расстояние между зондами, то есть s₁ = s₂ = s₃ = s.

Рис. 2.1. Схема четырехзондового метода измерения

удельного сопротивления: 1 - вольтметр;

2 - источник питания

При измерениях удельного сопротивления четырехзондовым методом необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

измерения проводятся на плоской поверхности однородного изотропного образца;

инжекция неосновных носителей заряда в объем образца отсутствует из-за достаточно высокой скорости рекомбинации, что достигается соответствующей обработкой поверхности образца;

поверхностная утечка тока отсутствует;

зонды имеют контакты с поверхностью образца в точках, расположенных вдоль прямой линии;

диаметр контакта зонда мал по сравнению с расстоянием между зондами.

Для получения аналитической связи между удельным сопротивлением  с током I и напряжением U необходимо решить задачу, связанную с протеканием тока через отдельный точечный зонд, находящийся в контакте с плоской поверхностью полупроводникового образца полубесконечного объема (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Модель точечного зонда

на полубесконечной плоскости

С учетом сферической симметрии задачи уравнение Лапласа будет иметь вид

, (2.3)

при условии, что потенциал в точке r = 0 положителен (U > 0) и стремится к нулю (U  0) при очень больших r (r  ).

Интегрирование уравнения (2.3) с учетом указанных граничных условий дает следующее решение U(r) = - С/r, где константу интегрирования С можно определить из условия для напряженности электрического поля Е при некотором значении r = r₀:

, (2.4)

где j = I/(2r₀²) - плотность тока, протекающего через полусферу радиусом r₀ (рис. 2.2).

Окончательно получим

. (2.5)

Учет реальных, а не точечных размеров контакта показывает, что решение (2.5) верно, если диаметр контакта зонда мал (обычно в 10 раз меньше) по сравнению с расстоянием между зондами.

Для того чтобы получить выражение для разности потенциалов между зондами U₂₃, надо определить потенциал в точках 2 и 3. Потенциалы в точках контактов внутренних зондов вычисляются сложением потенциалов от обоих токовых зондов с учетом их знака, определяемого направлением тока – отрицательного для тока, вытекающего из образца (зонд 4), и положительного для тока, втекающего в образец (зонд 1). Таким образом, потенциалы зондов 2 и 3 соответственно равны:

(2.6)

тогда разность потенциалов равна

. (2.7)

Соотношение (2.7) позволяет определить удельное сопротивление образца

. (2.8)

При равенстве расстояния между зондами s₁=s₂=s₃=s удельное сопротивление образца конечных размеров определяется выражением

,

о чем говорилось ранее. Эта зависимость получена в предположении, что образец однороден и изотропен. Реальные образцы обладают некоторой неоднородностью в распределении удельного сопротивления по объему, которая может быть обусловлена неравномерностью распределения примесей, существованием электропроводности в приповерхностном слое, анизотропией свойств кристалла и другими причинами. Теоретический анализ показал, что для применения четырехзондового метода достаточно, чтобы образец был однороден в области линейными размерами около 5s; измеренное значение удельной проводимости соответствует значению удельной проводимости приповерхностного слоя толщиной не более s.

Чувствительность четырехзондового метода по напряжению, как видно из (2.7), прямо пропорциональна величине протекающего тока и обратно пропорциональна эквивалентному расстоянию между зондами

. (2.9)

Поскольку увеличение протекающего через образец тока ограничено допустимым нагревом образца, повысить чувствительность можно, уменьшая эквивалентное расстояние между зондами за счет увеличения расстояния s₂ между измерительными зондами. В случае s₁ = s₃ << s₂ чувствительность в измерениях удельного сопротивления увеличивается вдвое. Такое повышение чувствительности метода может оказаться особенно полезным при измерении низкоомных полупроводников ( < 10^-3 Омм).