31. Вывод закона Ома в теории электропроводимости

Друде считал, что сразу после очередного соударения электрона с ионом кристаллической решетки скорость упорядоченного движения электрона равна нулю. Предположим, что напряженность поля не изменяется. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение равное

и к концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет значения

( 18.2)

где t - среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. Друде не учитывал распределение электронов по скоростям и приписывал всем электронам одинаковое значение средней скорости . В этом приближении , где - среднее значение длины свободного пробега, - скорость теплового движения электронов. Подставим это значение t в формулу (18.2)

Скорость изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно половине максимального

Подставив это выражение в

получим

Плотность тока оказалась пропорциональной напряженности поля. Следовательно, мы

получили закон Ома. Согласно коэффициент пропорциональности между j и Е представляет собой проводимость

(18.3)

Если бы электроны не сталкивались с ионами решетки, длина свободного пробега, а, следовательно, и проводимость были бы бесконечно велики. Таким образом, электрическое сопротивление металлов обусловлено соударениями свободных электронов с ионами.

32. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме Дифференциальная форма

Чтобы перейти к дифференциальной форме закона, проанализируем утверждение Джоуля-Ленца применительно к электронной теории.

Приращение энергии электрона ΔW за счѐт работы электрических сил поля равно разности энергий электрона в конце пробега (m/2)*(u=υmax)2и в начале пробега (mu2)/2 , то есть

Здесь u – скорость хаотического движение (векторная величина), а υmax – максимальная скорость электрического заряда в данный момент времени. Поскольку установлено, что скорость хаотического движения с одинаковой вероятностью совпадает с максимальной (по направлению и в противоположном направлении), то выражение 2*u*υmax в среднем равно нулю. Тогда полная энергия, выделяющаяся при столкновениях электронов с атомами, образующими узлы кристаллической решѐтки, составляет:

Это и есть закон Джоуля-Ленца, записанный в дифференциальной форме. Здесь γ – согласующий коэффициент, E – напряжѐнность поля.

33. Затруднения классической теории проводимости металлов

Как было показано выше, отношение Произведенные Лоренцем,

уточненные расчеты с учетом классического распределения по скоростям привели к замене в теоретической формуле множителя 3 на 2 и к резкому увеличению расхождения теории с опытом. Второе затруднение классической электронной теории возникло при сопоставлении с опытом формул для теплоемкостей. Согласно

электронной теории теплоемкость единицы объема электронного газа равна , где n - концентрация свободных электронов. Теплоемкость, отнесенная к одному

. Рассмотрим один кг - атом одновалентного металла. Он состоит

из ионов, колеблющихся около своих положений равновесия,

и свободных электронов. Колебательная теплоемкость твердого тела по закону

Дюлонга и Пти равна , теплоемкость электронного газа

Следовательно, по электронной теории теплоемкость одновалентных металлов должна

составлять . Однако опыт показывает, что теплоемкость

металлов так же, как теплоемкость твердых диэлектриков, в соответствии с законом Дюлонга и Пти близка к 3R. Таким образом, обнаружилось неожиданное и непонятное явление практического отсутствия теплоемкости у электронного газа.

Третьим затруднением классической электронной теории металлов явилась невозможность правильно объяснить с ее помощью температурную зависимость сопротивления. Опыт показывает, что сопротивление металлических проводников линейно возрастает с температурой по закону

т.е. проводимость обратно пропорциональна абсолютной температуре в первой степени:

Согласно классической теории, проводимость обратно пропорциональна . Наконец, возникли трудности при оценке средней длины свободного пробега электронов в металле. Для того чтобы, пользуясь формулой (18.3), получить такие значения удельной электрической проводимости металла, которые не расходились бы с опытными, приходится принимать среднюю длину свободного пробега электронов в сотни раз большей, чем период решетки металла. Иными словами, приходится предположить, что электрон проходит без соударений с ионами решетки сотни межузельных расстояний. Такое предположение непонятно в рамках классической электронной теории Друде -Лоренца.

Приведенные выше противоречия указывают на то, что классическая электронная теория, представляя электрон как материальную точку, подчиняющуюся законам классической механики, не учитывала некоторых специфических свойств самого электрона, которые еще не были известны к началу XX века. Эти свойства были установлены позднее при изучении строения атома, и в 1924 г. была создана новая, так называемая квантовая или волновая механика движения электронов.