Контрольні питання

• Що таке момент інерції тіла?

• Яка роль моменту інерції в обертальному русі?

• Яка формула для кінетичної енергії тіла, що обертається навколо нерухомої осі, і як її вивести?

• Що називається моментом сили відносно нерухомої точки? відносно нерухомій осі? Як визначається напрям моменту сили?

• Виведіть і сформулюйте рівняння динаміки обертального руху твердого тіла.

• Що таке момент імпульсу матеріальної точки? твердого тіла? Як визначається напрям моменту імпульсу?

• В чому полягає фізична суть закону збереження моменту імпульсу? У яких системах він виконується? Приведіть приклади.

• Якою властивістю симетрії простору обумовлюється справедливість закону збереження моменту імпульсу?

• Зіставте основні рівняння динаміки поступального і обертального рухів, прокоментувавши їх аналогію.

• Що таке вільні осі (головні осі інерції)? Які з них є стійкими?

• Що таке гіроскоп? Які його основні властивості?

• Сформулюйте закон Гуку. Коли він справедливий?

• Дайте пояснення якісної діаграми напруги  (). Що таке межі пропорціональності, пружності і міцності?

• Який фізичний сенс модуля Юнга?

Задачі

1. З одного рівня похилої площини одночасно починають скачуватися без ковзання суцільний циліндр і куля однакових мас і однакових радіусів. Визначити: 1) відношення швидкостей циліндра і кулі на цьому рівні; 2} їх відношення в даний момент часу. [1) 14/15; 2) 14/15]

2. До обода однорідного суцільного диска радіусом R = 0,5 м прикладена постійна дотична сила F=100 H. При обертанні диска на нього діє момент сил тертя М = 2Н*м. Визначити масу т диска, якщо відомо, що його кутове прискорення до постійно і рівне 12 рад/с². [32 кг]

3. Через нерухомий блок у вигляді однорідного суцільного циліндра масою m= 1 кг перекинута невагома нитка, до кінців якої прикріплені тіла масами m₁=1 кг і m₂=2 кг Нехтуючи тертям в осі блоку, визначити: 1) прискорення вантажів; 2) відношення T₂/T₁ сил натягнення нитки. [ 1) 2,8 м/с²; 2) 1,11 ]

4. Швидкість обертання колеса, момент інерції якого 2 кг*м2, що обертається при гальмуванні равноуповільнено, за час t=1 мін зменшилася від n1=300 про/мін до n2=180 про/хв. Визначити: 1) кутове прискорення  колеса; 2) момент М сили гальмування; 3) роботу сили гальмування. [1) 0,21 рад/с²; 2) 0,42 Н*м; 3) 630 Дж]

5. Людина масою m = 80 кг, що стоїть на краю горизонтальної платформи масою М = 100 кг, що обертається за інерцією навколо нерухомої вертикальної осі з частотою n1 = 10 мин^-1, переходить до її центру. Вважаючи платформу круглим однорідним диском, а людини - точковою масою, визначити, з якою частотою n2 тоді обертатиметься платформа. [26 мин^{- 1}]

6. Визначити відносне подовження алюмінієвого стержня, якщо при його розтягуванні витрачена робота 621 Дж. Довжина стержня 2 м, площа поперечного перерізу 1 мм², модуль Юнга для алюмінію E = 69 ГПа. { l/l=[2a/ (ESl)]=0,03}

Глава 5. Тяжіння. Елементи теорії поля

§ 22. Закони Кеплера. Закон всесвітнього тяжіння

Ще в глибокій старовині було помічено, що на відміну від зірок, які незмінно зберігають своє взаємне розташування в просторі впродовж століть, планети описують серед зірок складні траєкторії. Для пояснення петлеподібного руху планет старогрецький учений К. Птоломей (II ст. н.е.), рахуючи Землю розташованого в центрі Всесвіту, припустив, що кожна з планет рухається по малому кругу (епіциклу), центр якого рівномірно рухається по великому кругу, в центрі якого знаходиться Земля. Ця концепція дістала назву птоломеевой геоцентричної системи світу і за підтримки католицької церкви панувала майже півтори тисячі років.

На початку XVI ст. польським астрономом Н. Коперником (1473-1543) обгрунтована геліоцентрична система (см § 5), згідно якої рухи небесних тіл пояснюються рухом Землі (а також інших планет) навколо Сонця і добовим обертанням Землі. Теорія і спостереження Коперника сприймалися як цікава вигадка.

На початок XVII століття більшість учених переконалися, проте, в справедливості геліоцентричної системи світу. И.Кеплер (1571 - 1630), обробивши і уточнивши результати численних спостережень датського астронома Т.Браге (1546-1601), виклав закони руху планет :

1. Планети рухаються по еліпсах, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

2. Радіус-вектор планети за рівні проміжки часу описує однакові площі.

3. Квадрати періодів звернення планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їх орбіт.

Згодом І. Ньютон, вивчаючи рух небесних тіл, на підставі законів Кеплера і основних законів динаміки відкрив загальний закон всесвітнього тяжіння: між будь-якими двома матеріальними точками діє сила взаємного тяжіння, прямо пропорційна твору мас цих точок (m1 і m2) і обернено пропорційна до квадрата відстані між ними(r²):

F=Gm₁m₂/r². (22.1)

Ця сила називається гравітаційною (чи силою всесвітнього тяжіння). Сили тяжіння завжди є силами тяжіння і спрямовані уздовж прямої, що проходить через взаємодіючі тіла. Коефіцієнт пропорціональності G називається гравітаційною постійною. Закон всесвітнього тяжіння встановлений для тіл, що приймаються за матеріальні точки, т. е. для таких тіл, розміри яких малі в порівнянні з відстанню між ними. Якщо ж розміри взаємодіючих тіл порівнянні з відстанню між ними, то ці тіла потрібно розбити на точкові елементи, підрахувати по формулі (22.1) сили тяжіння між усіма попарно узятими елементами, а потім геометрично їх скласти (проінтегрувати), що є досить складним математичним завданням.

Уперше експериментальний доказ закону всесвітнього тяжіння для земних тіл, а також числове визначення гравітаційної постійною G проведено англійським фізиком Г. Кавендишем (1731 -1810). Принципова схема досвіду Кавендиша, що застосував крутильні ваги показано на мал.37.

Легке коромисло А з двома однаковими кульками масою m = 729 г підвішено на пружній нитці В. На коромислі З укріплені на тій же висоті масивні кулі масою М=158 кг Повертаючи коромисло З навколо вертикальної осі, можна змінювати відстань між кулями з масами m і M. Під дією пари сил, прикладених до куль m з боку куль M, коромисло А обертається в горизонтальній площині, закручувавши нитку В до тих пір, поки момент сил пружності не урівноважить моменту сил тяжіння. Знаючи пружні властивості нитки, по виміряному куту повороту можна знайти виникаючі сили тяжіння, а оскільки маси куль відомі, то і вичислити значення G.

Значення G, приведеного в таблицях фундаментальних фізичних постійних, набуває рівним 6,6720*10^-11Н*м²/кг², тобто два точкові тіла масою по 1 кг кожне, що знаходяться на відстані 1 м один від одного, притягуються з силою 6,6720-10^-11Н. Дуже мала величина G показує, що сила гравітаційної взаємодії може бути значною тільки у разі великих мас.