§21. Деформації твердого тіла

Розглядаючи механіку твердого тіла, ми користувалися поняттям абсолютно твердого тіла. Проте в природі абсолютно твердих тіл немає, оскільки усі реальні тіла під дією сил змінюють свою форму і розміри, тобто деформуються.

Деформація називається пружною, якщо після припинення дії зовнішніх сил тіло приймає первинні розміри і форму. Деформації, які зберігаються в тілі після припинення дії зовнішніх сил, називаються пластичними (чи залишковими).

Деформації реального тіла завжди пластичні, оскільки вони після припинення дії зовнішніх сил ніколи повністю не зникають. Проте якщо залишкові деформації малі, то ними можна нехтувати і розглядати пружні деформації, що ми і робитимемо. У теорії пружності доводиться, що усі види деформацій (розтягування або стискування, зрушення, вигин, кручення) можуть бути зведені до деформацій розтягування або стискування і зрушення, що одночасно відбуваються.

Розглянемо однорідний стержень завдовжки l і площею поперечного перерізу S (мал. 34), до кінців якого прикладені спрямовані уздовж його осі сили F₁ і F₂ (F₁=F₂=F), внаслідок чого довжина стержня міняється на величину l. Природно, що при розтягуванні l позитивно, а при стискуванні – негативно.

Сила, що діє на одиницю площі поперечного перерізу, називається напругою:

=F/S. (21.1)

Якщо сила спрямована по нормалі до поверхні, напруга називається нормальною, якщо ж по дотичній до поверхні - тангенціальним.

Кількісною мірою, що характеризує міру деформації, що випробовується тілом, являється його відносна деформація. Так, відносна зміна довжини стержня (подовжня деформація)

=l/l, (21.2) відносне поперечне розтягування (стискування)

' = d/d, де d -- діаметр стержня.

Деформації  і ' завжди мають різні знаки (при розтягуванні l позитивно, a Ad негативно, при стискуванні l негативно, a Ad позитивно). З досвіду витікає взаємозв'язок  і ':

'=-, де  - позитивний коефіцієнт, залежний від властивостей матеріалу, називається коефіцієнтом Пуассона .

Англійський фізик Р. Гук (1635- 1703) експериментально встановив, що для малих деформацій відносне подовження  і напруга  прямо пропорційні один одному:

 = E, (21.3)

де коефіцієнт пропорціональності Е називається модулем Юнга . З вираження (21.3) видно, що модуль Юнга визначається напругою, що викликає відносне подовження, рівне одиниці. З формул (21.2), (21.3) і (21.1) витікає, що

де k - коефіцієнт пружності. Вираження (21.4) також задає закон Гуку, згідно з яким подовження стержня при пружній деформації силі, що пропорційно діє на стержень. Деформації твердих тіл підкоряються закону Гуку до відомої межі. Зв'язок між деформацією і напругою представляється у вигляді діаграми напруги, яку ми якісно розглянемо для металевого зразка (мал. 35).

З малюнка видно, що лінійна залежність  (), встановлена Гуком, виконується лише в дуже вузьких межах до так званої межі пропорціональності (п). При подальшому збільшенні напруги деформація ще пружна (хоча залежність  () вже не лінійна) і до межі пружності (у) залишкові деформації не виникають. За межею пружності в тілі виникають залишкові деформації і графік, що описує повернення тіла в первинний стан після припинення дії сили, зобразиться не кривій В, а паралельною їй - CF. Напруга, при якій з'являється помітна залишкова деформація (~=0,2 називається межею плинності (т), - точка З на кривій. У області CD деформація зростає без збільшення напруги, т. е. тіло як би "тече". Ця область називається областю плинності (або областю пластичних деформацій). Матеріали, для яких область плинності значна, називаються в'язкими, для яких же вона практично відсутня - крихкими. При подальшому розтягуванні (за точку D) відбувається руйнування тіла. Максимальна напруга, що виникає в тілі до руйнування, називається межею міцності (p).

Діаграма напруги для реальних твердих тіл залежить від різних чинників. Одно і те ж тверде тіло може при короткочасній дії сил проявляти себе як крихке, а при тривалих, але слабких силах є текучим.

Вичислимо потенційну енергію упругорастянутого (стислого) стержня, яка дорівнює роботі, що здійснюється зовнішніми силами при деформації :

де х - абсолютне подовження стержня, що змінюється в процесі деформації від 0 до l. Згідно із законом Гуку (21.4), F=kx=ESx/l. Тому

Тобто потенційна енергія упругорастянутого стержня пропорційна квадрату деформації (l)².

Деформацію зрушення найпростіше здійснити, якщо узяти брусок, що має форму прямокутного паралелепіпеда, і прикласти до нього силу F_tau (рис.36), дотичну до його поверхні (нижня частина бруска закріплена нерухомо). Відносна деформація зрушення визначається з формули

tg = s/h,

де s - абсолютне зрушення паралельних шарів тіла один відносно одного; h - відстань між шарами (для малих кутів tg).