§ 18. Момент сили. Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла

Моментом сили F відносно нерухомої точки Про називається фізична величина, визначувана векторним твором радіус-вектора г, проведеного з точки Про в точку А додатки сили, на силу F (мал. 25) :

M =[rF].

Тут М - псевдовектор, його напрям співпадає з напрямом поступальної ходи правого гвинта при його обертанні від г до F.

Модуль моменту сили M = Frsin= Fl (18.1)

де  - кут між г і F; r sin =l - найкоротша відстань між лінією дії сили і точкою Про - плече сили.

Моментом сили відносно нерухомої осі z називається скалярна величина Мz, рівна проекції на цю вісь вектор а М моменту сили, визначеного відносно довільної точки Про цю вісь 2 (рис.26). Значення моменту М_z не залежить від вибору положення точки Про на осі z.

Якщо вісь z співпадає з напрямом вектору М, то момент сили представляється у вигляді вектору, співпадаючого з віссю :

Мz =[rF]_z.

Знайдемо вираження для роботи при обертанні тіла (рис.27). Нехай сила F прикладена в точці В, що знаходиться від осі обертання на відстані r,  - кут між напрямом сили і радіусом-вектором r. Оскільки тіло абсолютно тверде, то робота цієї сили дорівнює роботі, витраченій на поворот усього тіла. При повороті тіла на нескінченно малий кут d точка прикладення В проходить шлях ds= rd, і робота дорівнює твору проекції сили на напрям зміщення на величину зміщення.

dA=Fsinrd. (18.2) Враховуючи (18.1), можна записати dA=M_zd,

де Frsin = Fl =M_z - момент сили відносно осі z. Таким чином, робота при обертанні тіла дорівнює твору моменту діючої сили на кут повороту.

Робота при обертанні тіла йде на збільшення його кінетичної енергії :

dA = dT, але

Враховуючи, що =d/dt, отримаємо

Рівняння (18.3) є рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі.

Можна показати, що якщо вісь обертання співпадає з головною віссю інерції (см §20), що проходить через центр мас, то має місце векторна рівність

де J - головний момент інерції тіла (момент інерції відносно головної осі).

§ 19. Момент імпульсу та закон його збереження

При порівнянні законів обертального і поступального рухів видима аналогія між ними, тільки в обертальному русі замість сили "виступає" її момент, роль маси грає момент інерції. Яка ж величина буде аналогом імпульсу тіла? Нею є момент імпульсу тіла відносно осі.

Моментом імпульсу (кількості руху) матеріальної точки А відносно нерухомої точки Про називається фізична величина, визначувана векторним виразом:

L = [rp| = [rmv],

де r - радіус-вектор, проведений з точки Про в точку A; p = mv - імпульс матеріальної точки (рис.28); L- псевдовектор, його напрям співпадає з напрямом поступальної ходи правого гвинта при його обертанні від r до p. Модуль вектору моменту імпульсу

L = rpsinalfa=mvrsinalfa=pl

де a - кут між векторами r і p, l - плече вектору р відносно точки О. Моментом імпульсу відносно нерухомої осі z називається скалярна величина L_z, рівна проекції на цю вісь вектору моменту імпульсу, визначеного відносно довільної точки Про цю вісь. Значення моменту імпульсу L_z не залежить від положення точки О на осі z

При обертанні абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі z кожна окрема точка тіла рухається по колу постійного радіусу r_i з деякою швидкістю v_i. швидкість v_i; і імпульс m_iv_i перпендикулярні цьому радіусу, тобто радіус є плечем вектору m_iv_i. Тому можемо записати, що момент імпульсу окремої частки

L_iz = т_iv_ir_i (19.1)

і спрямований по осі убік, визначувану правилом правого гвинта. Момент імпульсу твердого тіла відносно осі є сума моментів імпульсу окремих часток :

Використовуючи формулу (17.1) v_i = r_i, отримаємо

Тобто

L_z = J_z. (19.2)

Таким чином, момент імпульсу твердого тіла відносно осі дорівнює твору моменту інерції тіла відносно тієї ж осі на кутову швидкість.

Продиференціюємо рівняння (19.2) за часом:

Тобто

dL_z/dt= M_z

Цей вираз - ще одна форма рівняння (закону) динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі : похідна моменту імпульсу твердого тіла відносно осі дорівнює моменту сил відносно тієї ж осі.

Можна показати, що має місце векторна рівність

dL/dt= М. (19.3)

У замкнутій системі момент зовнішніх сил М=0 і dL/dt=0, звідки

L = const. (19.4)

Вираження (19.4) є законом збереження моменту імпульсу : момент імпульсу замкнутої системи зберігається, т. е. не змінюється з часом.

Закон збереження моменту імпульсу - фундаментальний закон природи, Він пов'язаний з властивістю симетрії простору - його ізотропною, т. е. з інваріантністю фізичних законів відносно вибору напряму осей координат системи відліку (відносно повороту замкнутої системи в просторі на будь-який кут).

Продемонструвати закон збереження моменту імпульсу можна за допомогою лави Жуковского. Нехай людина, що сидить на лаві, яка без тертя обертається навколо вертикальної осі, і що тримає у витягнутих руках гантелі (мал. 29), приведена в обертання з кутовою швидкістю 1. Якщо людина притисне гантелі до себе, то момент інерції системи зменшиться. Оскільки момент зовнішніх сил дорівнює нулю, момент імпульсу системи зберігається і кутова швидкість обертання 2 зростає. Аналогічно, гімнаст під час стрибка через голову підтискає до тулуба руки і ноги, щоб зменшити свій момент інерції і збільшити тим самим кутову швидкість обертання.

Зіставимо основні величини і рівняння, що визначають обертання тіла навколо нерухомої осі і його поступальну ходу (таблиця 2).