
Интенсивный курс физики
.pdf
FA BA
N
S A S C N FC BC
Рис. 3.1
Силовые линии магнитного поля в отличие от линий напряженности электрического поля замкнуты.
Силовые линии магнитного поля прямого тока (рис. 3.2) представляют собой концентрические окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных проводнику, центры которыхнаходятся на проводнике стоком.
Направление вектора индукции B определяется по правилу правого
винта (правило буравчика): если буравчик с правой резьбой ввинчивать по
направлению тока, то направление движения рукоятки буравчика совпадает с направлением вектора индукции B.
B I
B
B
B
Рис. 3.2
Если магнитное поле создается витком с током или соленоидом, прави-
ло буравчика формулируется следующим образом: если буравчик с правой
резьбой вращать по направлению тока, идущего по витку, то направление по-
ступательного движения буравчика совпадают с направлением вектора ин-
дукции B (рис. 3.3).
Магнитное поле соленоида подобно магнитному полю полосового по-
стоянного магнита (рис. 3.4). Конец катушки, из которого выходят магнитные силовыелинии, подобенсеверномуполюсуN постоянногомагнита. Дру-
60

I
Рис. 3.3
N S
|
Рис. 3.4 |
I |
I |
|
|
N |
S |
|
I |
|
I |
Рис. 3.5
гой конец, в который магнитные силовые линии входят, подобен южному по-
люсу S. Определить, какой конец катушки соответствует тому или иному по-
люсу, можно с помощью правила буравчика: северным полюсом N является тот конец катушки, на который должен смотреть наблюдатель, чтобы
ток в витках протекал против часовой стрелки, тогда противоположный конец соленоида будет соответствовать южному полюсу S (рис. 3.5).
3.2.Сила, действующая на проводник с током
вмагнитном поле. Сила Ампера
Опытным путем было установлено, что на отрезок прямого проводника
с током силой I и длиной l , помещенного в однородное магнитное поле с индукцией B, действует сила FA, модуль которой
61

FA IlBsin ,
где – угол между направлением тока и вектороминдукции B (рис. 3.6). Эта
сила получила название силы Ампера.
В |
В |
|
I |
|
α |
|
В |
|
F |
|
Рис. 3.6 |
Направление силы Ампера FA определяется по правилу левой руки:
если ладонь левой руки расположить так, чтобы нормальная составляющая
вектора индукции B входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца напра-
вить по току, то отогнутый большой палец укажет направление силы Ам-
пера (рис. 3.7).
В
В
I |
В |
F
Рис. 3.7
Сила Ампера dFA, действующая на бесконечно малый элемент провод-
ника dl, соответственно имеет вид
dFA IBdl sin .
Объединяя это выражение с правилом выбора направления силы (пра-
вилом левой руки), получаем векторное равенство dFA I[dl,B],
62

где dl – вектор, направление которого совпадает с направлением тока в проводнике, а модуль равен длине элемента проводника dl. Квадратные скобки означают векторное произведение.
Напомним математическое определение векторного произведения: век-
тор c, являющийся векторным произведением векторов a и b, имеет длину, равную absin ( a и b – длина векторов a и b соответственно, – угол между ними), а его направление определяется по правилу правого винта (правилу буравчика): вращая вектор a в направлении вектора b по кратчайшему пути, получаем направление вектора c.
С помощью закона Ампера модуль вектора индукции в данной точке
магнитного поля можно определить как максимальную силу Ампера FAmax ,
действующую на проводник единичной длины, по которому течет ток единичный силы:
F max
B AIl .
Максимальная сила достигается тогда, когда проводник расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции.
Таким образом, физический смысл магнитной индукции B заключается в следующем: магнитная индукция поля в данной точке численно равна силе, действующей со стороны поля на проводник единичной длины с еди-
ничной силой тока, расположенный перпендикулярно силовым линиям поля.
Единицейизмеренияиндукции служиттесла (Тл): 1 Тл = 1 Н/(1 м·1 А).
3.3. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца
На заряженную частицу, движущуюся со скоростью v под углом к
силовым линиям однородного магнитного поля с индукцией В, со стороны поля действует сила, модуль которой
FЛ qvBsin .
Эта сила называется силой Лоренца. Сила FЛ перпендикулярна векторам B и v , а ее направление определяется по правилу левой руки: левую руку следует расположить так, чтобы нормальная составляющая вектора B
магнитной индукции входила в ладонь, вытянутые пальцы были направлены по движению положительного заряда, тогда большой палец, отогнутый
на 90 , будет показывать направление силы Лоренца. Направление силы Лоренца, действующей на движущийся отрицательный заряд, имеет противоположное значение.
63

В векторном виде формулу силы Лоренца можно записать следующим образом:
FЛ q[v,B].
Выражение силы Лоренца позволяет найти ряд закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле. Направление этой силы и вы-
зываемого ею отклонения заряженной частицы в поле зависят от знака за-
ряда q данной частицы. На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитных полях.
Для вывода общих закономерностей будем считать, что магнитное поле однородно и на частицы электрические поля не действуют. Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v вдоль линий магнитной индукции, то угол между векторами v и B равен нулю или . Тогда
сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное поле на частицу не действует, и она
движется равномерно и прямолинейно.
Если заряженная частица влетает в магнитное поле со скоростью v ,
перпендикулярной вектору B, то сила Лоренца перпендикулярна v и является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона эта си-
ла создает центростремительное ускорение a v2 / r, где r – радиус траектории (окружности). Этот радиус определяется из второго закона Ньютона
qvB mrv2 .
В результате получаем
r mq vB .
Время T, за которое заряженная частица совершает один полный обо-
рот (период обращения),
T 2vr .
Учитывая выражение радиуса окружности, получаем
T |
2 |
m |
|
2 |
|
, |
|
B |
Bq / |
m |
|||||
|
q |
|
|
т. е. период обращения частицы в однородном магнитном поле определяется только величиной удельного заряда (q/m) частицы и магнитной индукцией поля, но не зависит от ее скорости.
64

Если скорость v заряженной частицы направлена под углом к векто-
ру B (рис. 3.8), то ее движение можно представить в виде суперпозиции:
1)равномерного прямолинейного движения вдоль линий магнитной
индукции со скоростью v|| vcos ;
2)равномерного движения со скоростью v vsin α по окружности в плоскости, перпендикулярной B.
Z
|
v |
h |
|
v |
X |
||
|
|||
|
|
B
q vǁǁ
F
Y
Рис. 3.8
Радиус окружности определяется так же, как для частицы, движущейся перпендикулярно силовым линиям (в формуле для r следует заменить v на v vsin ) . Сложение обоих движений дает движение по спирали, ось ко-
торой параллельна B (см. рис. 3.8), а шаг
h v||T vT cos .
Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака за-
ряда частицы.
На заряженную частицу, движущуюся одновременно в магнитном и электрическом полях, действует сила, которую называют обобщенной силой Лоренца:
F qE q v,B ,
где qE – сила, действующая на частицу со стороны электрического поля.
65

3.4. Закон Био–Савара–Лапласа
Рассмотрим элемент проводника dl , по которому течет ток I (рис. 3.9).
Радиус-вектор, проведенный от dl в точку наблюдения, обозначен на рисунке r.
dl
r
dВ
Рис. 3.9
Закон Био–Савара–Лапласа утверждает, что индукция магнитного по-
ля dB, создаваемая в точке наблюдения элементом проводника dl с током I,
определяется следующим выражением:
dB 4 0 I[drl3,r].
По определению векторного произведения, направление dB перпенди-
кулярно и вектору dl, и радиус-вектору r, т. е. перпендикулярно плоскости, в
которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции
(см. рис. 3.9).
Согласно определению векторного произведения двух векторов модуль
вектора dB задается выражением
dB |
0 |
|
Idl sin |
, |
|
4 |
|
r2 |
|
где – угол между векторами dl |
и r. |
|
|
|
Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого не-
сколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитной индукции складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:
66

n
B Bi.
i 1
Расчет индукции магнитного поля с помощью закона Био–Савара–Лап- ласа в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био–Савара–Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет достаточно просто рассчитать конкретные поля.
3.5. Расчет магнитных полей с помощью закона Био–Савара–Лапласа
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 3.10). В произвольной точке А, расположенной на расстоянии R от оси проводника, векторы dB от всех элементов тока направлены одинаково: перпендикулярно плоскости чертежа по направлению к наблюдателю. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выбе-
рем угол (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные
величины.
F
dl D
C rd
r
d
R
I
dB, B
Рис. 3.10
Из рис. 3.10 следует, что
r |
R |
, |
dl |
rd |
|
sin |
sin |
||||
|
|
|
67

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив данные выражения в формулу закона Био–Савара–Лапласа, получим, что магнитная индукция, создаваемая элементом проводника, равна
dB 0I sin d . 4 R
Так как угол для всех элементов прямого тока изменяется от нуля до, согласно принципу суперпозиции
B dB |
|
I |
|
0 |
|
2I |
. |
0 |
sin d |
|
R |
||||
|
4 R 0 |
4 |
|
|
Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока
B 0 2I .
4 R
Магнитное поле в центре кругового витка с током. Все элементы
проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направ-
ления – вдоль нормали к плоскости витка, и поэтому сложение векторов dB
можно заменить сложением их модулей (рис. 3.11).
dl
R
dB, B
I
Рис. 3.11
Так как все элементы dl витка перпендикулярны радиус-вектору R (в законе Био–Савара–Лапласса sin = 1), а их расстояние до центра кругово-
го тока одинаково и равно R, имеем
dB 4 0 RI2 dl.
Применяя принцип суперпозиции, т. е. интегрируя это выражение по всем элементам dl, принадлежащим витку, получаем
68

|
I |
2 R |
I |
|
|
I |
|
||
B dB |
0 |
|
dl |
0 |
|
2 R |
0 |
|
. |
4 R |
2 |
4 R |
2 |
2R |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
Таким образом, магнитная индукция поля в центре кругового витка с
током
B 0I .
2R
3.6. Взаимодействие параллельных токов
Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с токами I1 и I2 (направления токов указаны на рис. 3.12), расстояние между которыми равно R. Каждый проводник создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Найдем, с какой силой действует магнитное поле тока I1 на элемент dl второго проводника с током I2.
|
|
|
B1 |
I1 |
dF2 |
dF1 |
I2 |
R |
|
||
|
|
|
B2
Рис. 3.12
Ток I1 создает магнитное поле, линии магнитной индукции которого –
концентрические окружности. Направление вектора B1 определяется пра-
вилом правого винта, его модуль
B 0 2I1 .
4 R
Направление силы Ампера dF1, с которой поле B1 действует на элемент dl второго тока, определяется по правилу левой руки (см. рис. 3.12). Так как
угол между элементами тока I2 и вектором B1 прямой, модуль силы dF1 I2B1dl.
69