Интенсивный курс физики

I

Рис. 3.3

N S

Рис. 3.5

гой конец, в который магнитные силовые линии входят, подобен южному по-

люсу S. Определить, какой конец катушки соответствует тому или иному по-

люсу, можно с помощью правила буравчика: северным полюсом N является тот конец катушки, на который должен смотреть наблюдатель, чтобы

ток в витках протекал против часовой стрелки, тогда противоположный конец соленоида будет соответствовать южному полюсу S (рис. 3.5).

3.2.Сила, действующая на проводник с током

вмагнитном поле. Сила Ампера

Опытным путем было установлено, что на отрезок прямого проводника

с током силой I и длиной l , помещенного в однородное магнитное поле с индукцией B, действует сила FA, модуль которой

61

FA IlBsin ,

где – угол между направлением тока и вектороминдукции B (рис. 3.6). Эта

сила получила название силы Ампера.

Направление силы Ампера FA определяется по правилу левой руки:

если ладонь левой руки расположить так, чтобы нормальная составляющая

вектора индукции B входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца напра-

вить по току, то отогнутый большой палец укажет направление силы Ам-

пера (рис. 3.7).

В

В

F

Рис. 3.7

Сила Ампера dFA, действующая на бесконечно малый элемент провод-

ника dl, соответственно имеет вид

dFA IBdl sin .

Объединяя это выражение с правилом выбора направления силы (пра-

вилом левой руки), получаем векторное равенство dFA I[dl,B],

62

где dl – вектор, направление которого совпадает с направлением тока в проводнике, а модуль равен длине элемента проводника dl. Квадратные скобки означают векторное произведение.

Напомним математическое определение векторного произведения: век-

тор c, являющийся векторным произведением векторов a и b, имеет длину, равную absin ( a и b – длина векторов a и b соответственно, – угол между ними), а его направление определяется по правилу правого винта (правилу буравчика): вращая вектор a в направлении вектора b по кратчайшему пути, получаем направление вектора c.

С помощью закона Ампера модуль вектора индукции в данной точке

магнитного поля можно определить как максимальную силу Ампера FAmax ,

действующую на проводник единичной длины, по которому течет ток единичный силы:

F max

B AIl .

Максимальная сила достигается тогда, когда проводник расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции.

Таким образом, физический смысл магнитной индукции B заключается в следующем: магнитная индукция поля в данной точке численно равна силе, действующей со стороны поля на проводник единичной длины с еди-

ничной силой тока, расположенный перпендикулярно силовым линиям поля.

Единицейизмеренияиндукции служиттесла (Тл): 1 Тл = 1 Н/(1 м·1 А).

3.3. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца

На заряженную частицу, движущуюся со скоростью v под углом к

силовым линиям однородного магнитного поля с индукцией В, со стороны поля действует сила, модуль которой

FЛ qvBsin .

Эта сила называется силой Лоренца. Сила FЛ перпендикулярна векторам B и v , а ее направление определяется по правилу левой руки: левую руку следует расположить так, чтобы нормальная составляющая вектора B

магнитной индукции входила в ладонь, вытянутые пальцы были направлены по движению положительного заряда, тогда большой палец, отогнутый

на 90 , будет показывать направление силы Лоренца. Направление силы Лоренца, действующей на движущийся отрицательный заряд, имеет противоположное значение.

63

В векторном виде формулу силы Лоренца можно записать следующим образом:

FЛ q[v,B].

Выражение силы Лоренца позволяет найти ряд закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле. Направление этой силы и вы-

зываемого ею отклонения заряженной частицы в поле зависят от знака за-

ряда q данной частицы. На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитных полях.

Для вывода общих закономерностей будем считать, что магнитное поле однородно и на частицы электрические поля не действуют. Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v вдоль линий магнитной индукции, то угол между векторами v и B равен нулю или . Тогда

сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное поле на частицу не действует, и она

движется равномерно и прямолинейно.

Если заряженная частица влетает в магнитное поле со скоростью v ,

перпендикулярной вектору B, то сила Лоренца перпендикулярна v и является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона эта си-

ла создает центростремительное ускорение a v2 / r, где r – радиус траектории (окружности). Этот радиус определяется из второго закона Ньютона

qvB mrv2 .

В результате получаем

r mq vB .

Время T, за которое заряженная частица совершает один полный обо-

рот (период обращения),

T 2vr .

Учитывая выражение радиуса окружности, получаем

т. е. период обращения частицы в однородном магнитном поле определяется только величиной удельного заряда (q/m) частицы и магнитной индукцией поля, но не зависит от ее скорости.

64

Если скорость v заряженной частицы направлена под углом к векто-

ру B (рис. 3.8), то ее движение можно представить в виде суперпозиции:

1)равномерного прямолинейного движения вдоль линий магнитной

индукции со скоростью v|| vcos ;

2)равномерного движения со скоростью v vsin α по окружности в плоскости, перпендикулярной B.

Z

B

q vǁǁ

F

Y

Рис. 3.8

Радиус окружности определяется так же, как для частицы, движущейся перпендикулярно силовым линиям (в формуле для r следует заменить v на v vsin ) . Сложение обоих движений дает движение по спирали, ось ко-

торой параллельна B (см. рис. 3.8), а шаг

h v||T vT cos .

Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака за-

ряда частицы.

На заряженную частицу, движущуюся одновременно в магнитном и электрическом полях, действует сила, которую называют обобщенной силой Лоренца:

F qE q v,B ,

где qE – сила, действующая на частицу со стороны электрического поля.

65

3.4. Закон Био–Савара–Лапласа

Рассмотрим элемент проводника dl , по которому течет ток I (рис. 3.9).

Радиус-вектор, проведенный от dl в точку наблюдения, обозначен на рисунке r.

dl

r

dВ

Рис. 3.9

Закон Био–Савара–Лапласа утверждает, что индукция магнитного по-

ля dB, создаваемая в точке наблюдения элементом проводника dl с током I,

определяется следующим выражением:

dB 4 0 I[drl3,r].

По определению векторного произведения, направление dB перпенди-

кулярно и вектору dl, и радиус-вектору r, т. е. перпендикулярно плоскости, в

которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции

(см. рис. 3.9).

Согласно определению векторного произведения двух векторов модуль

вектора dB задается выражением

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого не-

сколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитной индукции складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

66

n

B Bi.

i 1

Расчет индукции магнитного поля с помощью закона Био–Савара–Лап- ласа в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био–Савара–Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет достаточно просто рассчитать конкретные поля.

3.5. Расчет магнитных полей с помощью закона Био–Савара–Лапласа

Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 3.10). В произвольной точке А, расположенной на расстоянии R от оси проводника, векторы dB от всех элементов тока направлены одинаково: перпендикулярно плоскости чертежа по направлению к наблюдателю. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выбе-

рем угол (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные

величины.

F

dl D

C rd

r

d

R

I

dB, B

Рис. 3.10

Из рис. 3.10 следует, что

67

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив данные выражения в формулу закона Био–Савара–Лапласа, получим, что магнитная индукция, создаваемая элементом проводника, равна

dB 0I sin d . 4 R

Так как угол для всех элементов прямого тока изменяется от нуля до, согласно принципу суперпозиции

Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока

B 0 2I .

4 R

Магнитное поле в центре кругового витка с током. Все элементы

проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направ-

ления – вдоль нормали к плоскости витка, и поэтому сложение векторов dB

можно заменить сложением их модулей (рис. 3.11).

dl

R

dB, B

I

Рис. 3.11

Так как все элементы dl витка перпендикулярны радиус-вектору R (в законе Био–Савара–Лапласса sin = 1), а их расстояние до центра кругово-

го тока одинаково и равно R, имеем

dB 4 0 RI2 dl.

Применяя принцип суперпозиции, т. е. интегрируя это выражение по всем элементам dl, принадлежащим витку, получаем

68

Таким образом, магнитная индукция поля в центре кругового витка с

током

B 0I .

2R

3.6. Взаимодействие параллельных токов

Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с токами I1 и I2 (направления токов указаны на рис. 3.12), расстояние между которыми равно R. Каждый проводник создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Найдем, с какой силой действует магнитное поле тока I1 на элемент dl второго проводника с током I2.

B2

Рис. 3.12

Ток I1 создает магнитное поле, линии магнитной индукции которого –

концентрические окружности. Направление вектора B1 определяется пра-

вилом правого винта, его модуль

B 0 2I1 .

4 R

Направление силы Ампера dF1, с которой поле B1 действует на элемент dl второго тока, определяется по правилу левой руки (см. рис. 3.12). Так как

угол между элементами тока I2 и вектором B1 прямой, модуль силы dF1 I2B1dl.

69