Интенсивный курс физики

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, электрических свойств среды и не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это обусловлено тем, что избыточные заряды распределяются на его внешней поверхности.

Единица электроемкости – фарад (Ф): 1 Ф – емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Электроемкость уединенного шара радиусом R. Если шар находит-

ся в однородной среде с диэлектрической проницаемостью , то потенциал его поверхности в раз меньше, чем в вакууме:

Используя формулу, определяющую емкость уединенного проводника, получаем емкость шара

C 4 0R.

Из этой формулы следует, что емкость 1 Ф – очень большая величина. Ее мог бы иметь уединенный шар радиусом R = C/(4 0) 9 106 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли. Поэтому на практике используются миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ) и пикофарад (пФ).

Из приведенной формулы также следует, что размерность электрической постоянной 0 можно определить как фарад на метр (Ф/м).

Конденсаторы. Из формулы электроемкости уединенного шара следует, что для того чтобы проводник обладал большой емкостью, он должен иметь большие размеры. Для практических целей необходимы малогабаритные устройства, способные при малых размерах накапливать большие заряды, т. е. обладать большой емкостью. Эти устройства получили название

конденсаторов.

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. Для того чтобы на емкость конденсатора не оказывали влияния окружающие тела, проводникам придают такую форму, при которой создаваемое зарядами поле сосредоточено в узком зазоре между обкладками.

Этому условию удовлетворяют:

1)две близко расположенные пластины;

2)два коаксиальных цилиндра;

3)две концентрические сферы.

Всвязи с этим конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.

30

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, свободные заряды на разных его обкладках равны по величине и противоположны по знаку.

Зарядом конденсатора называют положительный заряд одной из его обкладок. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда q конденсатора, к разности потенциалов 1 – 2 между его обкладками:

Емкость плоского конденсатора. Плоский конденсатор состоит из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +q и –q. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то электрическое поле между обкладками можно считать однородным. При наличии диэлектрика между обкладками разностьпотенциалов междуними

1 2 d0 ,

где – диэлектрическая проницаемость; σ = q/S.

Сравниваяэтовыражениесопределениемемкостиконденсатора, имеем

C d0S .

Емкость цилиндрического конденсатора. Цилиндрический конден-

сатор состоит из двух полых коаксиальных цилиндров с радиусами r1 и r2 (r2 > r1). Его электрическое поле радиально-симметрично и сосредоточено внутри конденсатора. Разность потенциалов между обкладками вычисляется по формуле поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра с линейной плотностью =q/l (l – длина обкладок). В результате получаем

Следовательно, емкость цилиндрического конденсатора

C 2 r20l . ln r1

Емкость сферического конденсатора. Сферический конденсатор име-

ет в качестве обкладок две концентрические сферы, разделенные слоем ди-

31

электрика. Для расчета его емкости используем формулу разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r1 и r2 (r2 > r1) от центра заряженной сферической поверхности:

Следовательно, емкость сферического конденсатора

C 4 0 r2r1r2r1 .

Из формул электроемкости следует, что емкость любого конденсатора прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками.

Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением – разностью потенциалов между обкладками, при которой происходит пробой – электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе, приводящий к его разрушению. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

Соединение конденсаторов. Для получения необходимой емкости конденсаторы соединяют в батареи параллельно и последовательно.

У параллельно соединенных конденсаторов (рис. 1.14) разность потенциалов между обкладками одинакова. Обозначим ее . Пусть емкости отдельных конденсаторов С1, С2, ..., Сn, тогда заряд каждого конденсатора

q1 C1 , q2 C2 ,

qn Cn .

Cn

A B

C2

C1

Рис. 1.14

32

Следовательно, заряд батареи конденсаторов

n

q qi (C1 C2 ... Cn ) .

i 1

Полная емкость батареи

C q .

Отсюда получаем, что

n

C Ci ,

i 1

т. е. при параллельном соединении емкость батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 1.15) заряды всех обкладок q равны по величине, а разность потенциалов на зажимах батареи

n

i ,

i 1

где для любого из рассматриваемых конденсаторов

i q .

Ci

Рис. 1.15

Вместе с тем из определения электроемкости следует, что

33

Отсюда получаем

т. е. при последовательном соединении конденсаторов величины, обратные емкостям, суммируются. Из этой формулы следует, что при последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости батареи.

1.13. Энергия заряженных тел. Энергия электрического поля

Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Так как электро-

статические силы взаимодействия консервативны (их работа по перемещению зарядов не зависит от траектории перемещения), система зарядов обладает потенциальной энергией. Пусть два неподвижных точечных заряда q1 и q2, находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией

W1 q1 12 , W2 q2 21,

где 12 и 21 — соответственно потенциалы, создаваемые зарядом q2 в точке нахождения заряда q1 и зарядом q1 в точке нахождения заряда q2. Для потенциалов полей точечных зарядов

поэтому W1 = W2 = W:

W q1 12 q2 21 12 q1 12 q2 21 .

Добавляя последовательно к системе из двух зарядов точечные заряды q3, q4, ..., убеждаемся в том, что энергия взаимодействия системы n точечных зарядов равна

W1 n qi i ,

2 i 1

где i – потенциал, создаваемый всеми зарядами в той точке поля, в которой находится заряд qi.

34

Энергия заряженного уединенного проводника. Рассмотрим уеди-

ненный незаряженный проводник емкостью С. Вычислим работу, которую необходимо совершить, чтобы увеличить его потенциал от нуля до некоторо-

го заданного значения . Работа внешних сил над системой равна изменению энергии этой системы

A W2 W1.

Поскольку энергия незаряженного проводника равна нулю, энергия заряженного проводника равна работе, совершенной внешними силами для его зарядки.

Будем постепенно увеличивать потенциал проводника, перенося на него из бесконечно удаленной точки малые порции заряда dq. При этом будет совершаться элементарная работа

dA dq,

где – потенциал проводника в данный момент. То, что потенциал меняет-

ся, следует из определения емкости C = q/ . В каждый момент времени заряд q проводника определяется равенством

q C .

Вычисляя дифференциал от правой и левой частей этого равенства, находим

dq Cd .

Подставляя dq в выражение элементарной работы, получаем dA C d .

Полная работа, необходимая для зарядки тела от нулевого потенциала до величины , является суммой таких бесконечно малых работ dA, т. е.

A dA C d .

0

Выполняя интегрирование, находим

A C 2 / 2.

Так как совершаемая работа расходуется на увеличение энергии проводника, ее можно считать мерей его электрической энергии:

A = W,

35

и, следовательно, энергия заряженного уединенного проводника

W C 2 q q2 . 2 2 2C

Этот результат можно получить путем следующего рассуждения. Потенциал проводника во всех точках одинаков, а его поверхность является эк-

випотенциальной. Полагая потенциал проводника равным , из уравнения энергии взаимодействия системы точечных зарядов находим

n

где q qi – заряд проводника.

i 1

Энергия заряженного конденсатора. Конденсатор – заряженный про-

водник, поэтому его энергия

W C( )2 q( ) q2 , 2 2 2C

где q – заряд конденсатора; С – его емкость; – разность потенциалов между обкладками.

Энергия электростатического поля. Преобразуем формулу, выража-

ющую энергию конденсатора через заряды и потенциалы, используя выражения емкости плоского конденсатора (C = 0S/d) и разности потенциалов между его обкладками ( = Ed). Получаем

W 02E2 Sd 02E2 V ,

где V= Sd – объем конденсатора. Из формулы следует, что энергия конденсатора выражается через напряженность Е электростатического поля.

Объемная плотность энергии электростатического поля w равна энергии поля, приходящейся на единицу объема:

w dWdV .

Плотность энергии между обкладками плоского конденсатора w 02E2 .

36

Это выражение справедливо для любых конфигураций электрического поля.

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в объеме V. Для этого необходимо вычислить интеграл

Таким образом, энергию заряженного конденсатора можно выразить как через заряд на его обкладках, так и через напряженность электрического поля между ними. В связи с этим возникает вопрос о локализации электростатической энергии и носителе этой энергии – зарядах или поле.

Теория и эксперимент показывают, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяются в виде электромагнитных волн, переносящих энергию. Это свидетельствует о том, что энергия локализована в поле и носителем ее является поле.

37

2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

2.1. Электрический ток. Сила и плотность тока

Электрическим током называется упорядоченное движение электрических заряженных тел или частиц. Ток в проводнике, обусловленный движением свободных зарядов под действием электрического поля, называется током проводимости. Ток проводимости в металлах создается упорядоченным движением свободных электронов, в электролитах – движением ионов, в газах – положительными ионами и свободными электронами, в полупроводниках – электронами проводимости и «дырками». За направление тока принимается направление движения положительных зарядов.

Силой тока I называется скалярная физическая величина, численно равная электрическому заряду, проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени:

I dqdt .

Электрический ток, сила и направление которого не изменяются (изменяются) со временем, называется постоянным (переменным). Сила постоянного тока

I qt ,

где q – заряд, прошедший за время t через поперечное сечение проводника. Сила тока в системе СИ измеряется в амперах (А): 1 А = 1 Кл/1 с. Сила тока в металлическом проводнике зависит от значения заряда но-

сителя (в металлических проводниках такими носителями являются электроны с зарядом е каждый), его концентрации n, средней скорости u упорядоченного движения носителей и площади поперечного сечения S. Действительно, число носителей в элементе проводника длиной l и площадью сечения S (рис. 2.1)

N = nV,

где V – объем элемента проводника (V lS ), а их общий заряд q enlS.

При средней скорости направленного движения носителей заряда u все они проходят через сечение S за промежуток времени t = l/u. Таким образом, сила тока

I qt enuS.

38

Связанные Проводник электроны

u

S

j

Рис. 2.1

Распределение переносимого заряда по поперечному сечению проводника и направление тока характеризуются вектором плотности тока j. Плотностью тока – это физическая величина, равная отношению силы тока dI, проходящего через элемент площади dS , перпендикулярный направ-

лению тока:

j dI . dS

Плотность тока – это вектор, ориентированный по направлению тока, т. е. направление вектора j совпадает с направлением упорядоченного движения положительных зарядов. Единица измерения плотности тока – ампер на метр в квадрате (А/м2).

Для металлических проводников

j neu.

В общем случае сила тока, проходящего через произвольный элемент поверхности dS, равна

dI jdS cos ,

где α – угол между вектором j и нормалью n к плоскости dS.

При известной плотности тока j сила тока через произвольную поверхность S определяется интегрированием:

I j cos dS.

S

39