Интенсивный курс физики

1.9.Связь между напряженностью поля

иразностью потенциалов

Влюбой точке однородного поля с напряженностью E на заряд q действует сила

F= qE.

При перемещении заряда из точки 1 в точку 2 вдоль силовой линии совершается работа

A = Fd,

где d – расстояние между этими точками. С учетом того, что F = qE,

A = qEd.

Вместе с тем эту работу можно выразить через разность потенциалов1 и 2 точек 1 и 2:

A q 1 2 .

Из сопоставления выражений работы следует, что модуль вектора напряженности и разность потенциалов в однородном электростатическом поле связаны соотношением

Знак «минус» означает, что вектор E направлен в сторону убывания потенциала.

Работа сил поля по перемещению заряда q из одной точки пространства в другую определяется интегрированием:

2

A q( 1 2 ) q d .

1

Во второй части равенства интегрирование ведется от точки 1 к точке 2 по любому пути, их соединяющему. Кроме того, по определению, ра-

20

бота равна скалярному произведению силы и вектора перемещения. Для неоднородного поля, в котором вектор кулоновской силы в разных точках различен по величине и направлению, для определения работы необходимо вычислить интеграл

2

A Fdr.

1

Так как F = qE, имеем

2

A q Edr,

1

и разность потенциалов

2

1 2 Edr.

1

Если точка 2 находится на бесконечности, то 2 0, и получаем

Edr.

1

Данная формула позволяет найти потенциал в любой точке, если известна напряженность во всем пространстве, для этого достаточно вычислить интеграл по любому пути из выбранной точки в бесконечность.

Из равенства, связывающего разность потенциалов 1 2 и E, следует обратная связь между напряженностью и потенциалом электрическогополя

E grad ,

где grad – вектор, направленный из точки с меньшим потенциалом в точку с большим потенциалом. В декартовой системе координат

grad x i y j z k

(i, j и k – единичныевекторы вдольосей координат X, Y и Z соответственно). Из свойства потенциальности электростатического поля вытекает, что работа сил поля по замкнутому контуру равна нулю. Поскольку φ1 = φ2,

имеем

A q( 1 2 ) q Edr 0,

21

поэтому можем записать

Edr 0.

Последнее равенство отражает суть второй основной теоремы электро-

статики – теоремы о циркуляции электрического поля, согласно которой циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль произвольного замкнутого контура равна нулю. Эта теорема является прямым следствием потенциальности электростатического поля.

1.10. Вычисление разности потенциалов некоторых электростатических полей

Связь между напряженностью поля и потенциалом позволяет по известной напряженности найти его потенциал в любой точке пространства или разность потенциалов между двумя его произвольными точками.

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии x1 и x2 от равномерно заряженной бесконечной плоскости, составляет

Разность потенциалов между двумя бесконечными параллельными разноименнозаряженнымиплоскостями, находящимисянарасстоянииd, равна

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра равномерно заряженной сферической поверхности радиусом R с общим зарядом q (r1 > R, r2 > R, r2 > r1), имеет вид

Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен потенциалу поверхности сферы.

22

Поле вне объемно заряженного шара радиусом R с общим зарядом q (r > R) совпадает с полем равномерно заряженной сферы, поэтому разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра шара (r1 > R, r2 > R, r2 > r1), совпадает с той же разностью из предыдущего случая.

Внутри шара на расстоянии r' от его центра (r' < R), разность потенци-

Для равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиусом R и линейной плотностью распределенного по его поверхности заряда вне цилиндра разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r1 и r2 от оси заряженного цилиндра (r1 > R, r2 > R, r2 > r1), равна

1.11. Диэлектрики и проводники в электростатическом поле

В зависимости от концентрации носителей свободных зарядов тела делятся на диэлектрики, проводники и полупроводники.

Диэлектрики (например, стекло, пластмассы) – тела, в которых практически отсутствуют свободные носители заряда, и поэтому они не проводят электрический ток.

Проводники – тела, в которых носители электрического заряда могут перемещаться по всему их объему. Проводники делятся на две группы: первого рода (металлы), в которых перенос зарядов (свободных электронов) не сопровождается химическими превращениями, и второго рода (например, расплавленные соли, растворы кислот) – в них перенос зарядов положительными и отрицательными ионами приводит к химическим изменениям.

Полупроводники характеризуются значениями электропроводности, промежуточными между электропроводностью металлов и диэлектриков. Характерной особенностью полупроводников, отличающей их от металлов, является уменьшение их сопротивления с увеличением температуры.

Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков. Как и всякое ве-

щество, диэлектрик состоит из атомов и молекул. Молекула в целом электрически нейтральна, так как положительный заряд всех ядер атомов моле-

23

кулы равен суммарному заряду электронов. Однако ее можно рассматривать как электрический диполь, если заменить положительные заряды ядер суммарным зарядом +q, находящимся в «центре тяжести» положительных зарядов молекулы, а заряд всех электронов – суммарным отрицательным зарядом –q, находящимся в «центре тяжести» отрицательных зарядов.

Диэлектрики, молекулы которых имеют симметричное строение, т. е. «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают (l = 0), называются неполярными. Под действием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещаются в противоположные стороны (положительные – по направлению поля, отрицательные – против его направления), и молекула приобретает дипольный момент p = ql.

Диэлектрики, молекулы которых имеют асимметричное строение, т. е. «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают (l > 0), называются полярными.

Полярные молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом p. При отсутствии внешнего поля дипольные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориентированы в пространстве хаотично, и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль него, и возникает отличный от нуля результирующий момент.

Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов c разным знаком. Их можно рассматривать как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток. При воздействии на ионный кристалл электрического поля происходит смещение подрешеток в противоположных направлениях, приводящее к возникновению дипольного момента всего кристалла.

Таким образом, действие внешнего электрического поля приводит к возникновению отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика, или, иными словами, к поляризации диэлектрика.

Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике. Во внеш-

нем электрическом поле диэлектрик поляризуется, т. е. приобретает отличный от нуля дипольный момент pV, равный сумме дипольных моментов pi молекул, составляющих диэлектрик:

pV pi.

i

Для количественного описания поляризации диэлектрика пользуются векторной величиной – поляризованностью, определяемой как дипольный момент единицы объема диэлектрика:

24

Для большого класса диэлектриков (за исключением сегнетоэлектриков) поляризованность P линейно зависит от напряженности поля E. Если диэлектрик изотропный и напряженность поля Е мала, то

P k 0E,

где k – диэлектрическая восприимчивость диэлектрика; k – величина без-

размерная, k > 0 и для большинства диэлектриков (твердых и жидких) составляет несколько единиц (для воды k = 80).

Пусть плоскопараллельная пластинка из диэлектрика находится в однородном внешнем электрическом поле Е0, которое создается двумя параллельными разноименно заряженными плоскостями с поверхностной плотностью зарядов σ. Пластинка расположена так, как показано на рис. 1.13.

+ – + –

Рис. 1.13

Под действием поля диэлектрик поляризуется, т. е. происходит смещение зарядов: положительные смещаются по полю, отрицательные – против поля. В результате на правой грани диэлектрика (см. рис. 1.13) возникает избыток положительного заряда с поверхностной плотностью + , на левой – избыток отрицательного заряда с поверхностной плотностью – . Эти заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называются связанными. Так как их поверхностная плотность меньше плотности зарядов , то не все поле Е0 компенсируется полем зарядов диэлектрика: на рис. 1.13 часть линий напряженности пройдет через диэлектрик, другая часть обрывается на связанных зарядах. Следовательно, поляризация диэлектрика приводит к уменьшению в нем поля по сравнению с внешним полем E0 = σ/ε0. Вне диэлектрика Е = Е0.

25

Cвязанные заряды создают дополнительное электрическое поле Е', которое направлено против внешнего поля Е0 и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика

E E0 E .

Как следует из рис. 1.13, поле Е' создается двумя заряженными бесконечными плоскостями, и его напряженность

E .0

Вычислим поверхностную плотность связанных зарядов . Как следует из определения поляризованности, полный дипольный момент пластинки диэлектрика

pV =PV = PSd,

где S – площадь пластинки; d – ее толщина. Вместе с тем полный дипольный момент равен произведению связанного заряда каждой грани диэлектрика q' = S на расстояние d между ними, т. е.

рV = ʹSd.

Таким образом,

PSd = ʹSd,

или

P,

т. е. поверхностная плотность связанных зарядов равна поляризованности диэлектрика Р.

Связь между напряженностью поля внутри диэлектрика E и напряженностью внешнего поля E0:

E E0 kE,

откуда следует, что напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

Безразмерная величина

1 k

26

называется диэлектрической проницаемостью среды. Диэлектрическая про-

ницаемость среды показывает, во сколько раз внешнее поле ослабляется диэлектриком.

Электрическое смещение. Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля Е обратно пропорциональна диэлектрической проницаемости , следовательно, вектор напряженности поля E, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение. Для учета этого фактора в электростатике вводится величина, называемая вектором электрического смещения D. Для электрически изотропной среды вектор D, по определению, равен

D 0E.

Единица измерения электрического смещения – кулон на метр в квадрате (Кл/м2).

Электростатическое поле в диэлектрике описывается вектором напряженности поля E, зависящим от свойств диэлектрика. Вектором D описывается электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами.

Поскольку связанные заряды диэлектрика могут вызвать перераспределение свободных зарядов, вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Как и поле E, поле D изображается с помощью линий электрического смещения. Их направление и густота определяются точно так же, как и для линий напряженности.

Силовые линии вектора E могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах – свободных и связанных, линии вектора D – только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят, не прерываясь.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике. По аналогии с потоком вектора E поток вектора электрического смещения D через произвольную замкнутую поверхность S определяется как

ФD DndS,

S

где Dn – проекция вектора D на нормаль n к площадке dS.

Источниками поля E в среде являются как свободные, так и связанные заряды, источниками поля D – только свободные заряды. Для поля в диэлектрике (с учетом определения D 0E ) теорема Гаусса записывается

следующим образом:

27

n

ФD DndS qicв,

S i 1

k

где qiсв – алгебраическая сумма свободных зарядов внутри замкнутой

i 1

поверхности S.

Таким образом, поток вектора электрического смещения в диэлектрике через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов.

Проводники в электростатическом поле. В проводниках имеются свободные носители заряда. В металлических проводниках, например, такими его носителями являются свободные электроны.

При помещении металлического проводника в электрическое поле свободные электроны смещаются в направлении, противоположном направлению поля. При этом на одном конце проводника образуется избыток отрицательных зарядов, а на противоположном конце – избыток положительных. Разделение зарядов происходит до тех пор, пока не установится такое распределение зарядов, при котором во всех точках внутри проводника напряженность электрического поля не станет равной нулю (E = 0).

Явление разделения положительных и отрицательных зарядов в проводнике, помещенном в электростатическое поле, называется электроста-

тической индукцией.

Так как поле внутри проводника отсутствует, потенциал во всех точках внутри него постоянен ( = const), т. е. поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной. При этом вектор напряженности поля у внешней поверхности проводника направлен перпендикулярно каждой точке его поверхности. Если бы это было не так, то под действием составляющей E, направленной по касательной к поверхности, заряды начали бы перемещаться по поверхности проводника, что противоречило бы равновесному распределению зарядов.

Если проводнику сообщить некоторый заряд q, то нескомпенсированные заряды расположатся только на поверхности проводника. Это следует из теоремы Гаусса, согласно которой заряд q, находящийся внутри проводника в некотором объеме, ограниченном произвольной замкнутой поверхностью S, равен

q DndS 0,

S

так как во всех точках внутри поверхности D = 0.

Вне проводника (вблизи любой точки его поверхности), как показывает простой расчет с использованием теоремы Гаусса,

28

D

или

E ,

0

где σ – поверхностная плотность зарядов на проводнике в данной точке его

поверхности; – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Таким образом, напряженность электростатического поля у поверхности проводника определяется поверхностной плотностью зарядов.

Поскольку в состоянии равновесия некомпенсированные заряды внутри проводника отсутствуют, создание внутри него полости не повлияет на расположение зарядов на его поверхности, а значит, на электростатическое поле. Следовательно, внутри полости E = 0. На этом явлении основана электростатическая защита – экранирование тел, например, измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Вместо сплошного проводника для защиты может быть использована густая металлическая сетка. Она является эффективной защитой не только от постоянных, но и от переменных электрических полей.

1.12. Электроемкость

При изменении заряда проводника электрический потенциал его поверхности также изменяется: с увеличением заряда увеличивается потенциал. Способность проводника накапливать электрический заряд характери-

зуется электроемкостью.

Электроемкость уединенного проводника. Уединенный проводник– проводник, удаленный от других проводников, тел и зарядов на такое расстояние, что на него не влияют их электрические поля. Результаты экспериментов показывают, что потенциал любого проводника прямо пропорционален его заряду. Для уединенного проводника можно записать

Cq .

Коэффициент

C q

характеризует способность проводника накапливать заряд и называется его

электроемкостью (или просто емкостью).

29