Интенсивный курс физики

Рис. 3.26

При изменении I1 вконтуре 2 индуцируется ЭДС Eis2, которая по закону электромагнитной индукции Фарадея равна

Eis2 dФdt21 L21 dIdt1 .

Ток I2 в контуре 2 создает свой магнитный поток (пунктирные линии на рис. 3.26). Пусть Ф12 – часть этого потока, пронизывающего контур 1. Тогда

Ф12 L12 I2 ,

где L12 – коэффициент пропорциональности.

При изменении I2 в контуре 1 индуцируется ЭДС Eis1:

Eis1 dФdt12 L12 dIdt2 .

Возникновение ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты L21 и L12 называются взаимнойиндуктивностьюконтуров. Расчетыиэкспериментпоказывают, что

L12 L21.

Коэффициенты L12 и L21 зависят от размеров, геометрической формы и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей среды. Единица взаимной индуктивности – генри (Гн).

90

4. ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

4.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме

Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, находящихся в переменном магнитном поле, указывает на то, что электрическое

имагнитное поля являются частями единого электромагнитного поля. Основываясь на этой гипотезе, Максвелл обобщил опытные законы электромагнетизма, а именно, теорему Остроградского–Гаусса на электрическое поле, закон полного тока для магнитного поля и закон электромагнитной индукции

ив результате пришел к созданию единой теории электромагнитного поля. Математически эта теория представляется в виде системы уравнений, которые получили название уравнений Максвелла.

Данные уравнения записываются в дифференциальной и интегральной форме. С помощью уравнений, записанных в дифференциальной форме, находится связь между величинами (напряженностью электрического и магнитного полей, плотностью тока и т. д.), характеризующими поле в каждой его точке. Уравнения, записанные в интегральной форме, устанавливают связь между характеристиками поля в его произвольных, конечных областях (объем, поверхность, замкнутый контур). Переход от одной формы записи уравнений Максвелла к другой осуществляется с помощью соответствующих теорем векторного анализа.

Первое уравнение Максвелла. Это уравнение является обобщением закона Фарадея на электромагнитную индукцию. Согласно этому закону ЭДС индукции в замкнутом контуре L

Ei ddtФ,

где ddtФ – скорость изменения магнитного потока через поверхность S,

ограниченную контуром L. При неподвижном контуре магнитный потокBdS зависит от времени только через вектор индукции В. Поэтому

S

Так как циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру равна ЭДС индукции в этом контуре:

Ei Edl,

L

91

сравнение двух последних формул дает

ЭторавенствоестьпервоеуравнениеМаксвеллавинтегральнойформе.

Ток смещения. Второеуравнение Максвелла. ИззаконаФарадеясле-

дует, что переменное магнитное поле вызывает появление электрического поля, приводящего, в свою очередь, к возникновению тока в проводнике. Согласно уравнению Максвелла должно существовать и обратное явление, т. е. меняющееся электрическое поле должно приводить к появлению в пространстве магнитного поля. Для количественного описания этого явления Максвелл ввел понятие тока смещения Iсм, вектор плотности jсм которого определяется скоростью изменения вектора электрического смещения D:

jсм Dt .

Полный ток Iполн равен сумме тока проводимости

I jdS

S

и тока смещения

Iсм jсмdS D dS,

S S dt

поэтому плотность полного тока также равна соответствующей сумме:

jполн j dtD.

С учетом тока смещения закон полного тока для электромагнитного поля (теорема о циркуляции вектора Н) записывается следующим образом:

Это равенство – второе уравнение Максвелла в интегральной форме. Оно подтверждает, что магнитные поля возбуждаются либо электри-

ческими токами, либо переменными электрическими полями.

Третье уравнение Максвелла есть обобщение теоремы Гаусса для электростатического поля в диэлектрической среде на переменные поля:

DdS dV.

S V

92

Здесь ρ – плотность заряда; S – произвольная замкнутая поверхность, ограничивающая объем V.

Четвертое уравнение Максвелла – это теорема Гаусса для магнитно-

го поля:

BdS 0.

S

4.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Переход от интегральной формы записи уравнений Максвелла к дифференциальной осуществляется с помощью двух теорем векторного анализа – теоремы Гаусса и теоремы Стокса.

Теорема Гаусса связывает поток некоторого вектора A = iAx + jAy + kAz (i, j и k – единичные векторы, направленные вдоль осей координат X, Y и Z соответственно) через произвольную замкнутую поверхность S с интегралом от дивергенции вектора A по объему V, ограниченному поверхностью S:

AdS divAdV ,

S V

где по определению

divA Ax Ay Az .

x y z

Теорема Стокса связывает циркуляцию вектора A по некоторому произвольному замкнутому контуру L с интегралом от ротора этого вектора по поверхности S, ограниченной контуром L:

Adl rotAdS,

L S

где по определению

С использованием этих теорем уравнения Максвелла в интегральной форме записываются в дифференциальной форме следующим образом:

93

первое и второе уравнения –

rot E Bt , rot H j Dt ,

третье и четвертое уравнения –

divD , divB 0.

Вуравнениях Максвелла величины D, E, B и H связаны между собой.

Визотропных средах (кроме сегнетоэлектриков и ферромагнетиков) эта связь следующая:

D 0E, B 0H, j E.

Последнее из этих уравнений – закон Ома в дифференциальной форме. В отличие от законов классической физики (законов Ньютона), инвариантных относительнопреобразованийГалилеяпри переходеотодной инерциальной системы к другой, уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца, что, в конечном итоге, привело к созданию специальной теории относительности. Кроме того, из этих уравнений следует

вывод о существовании электромагнитных волн.

94

ЛИТЕРАТУРА

1.Детлаф, А. А. Курс физики: учеб. пособие для втузов / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высшая школа, 2005. – 720 с.

2.Зисман, Г. А. Курс общей физики: учеб. пособие: в 3 т. Т. 2. Электричество и магнетизм / Г. А. Зисман, О. М. Тодес. – СПб.: Лань, 2007. – 352 с.

3.Савельев, И. В. Курс общей физики: учеб. пособие для втузов: в 3 т. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волновая физика. Оптика / И. В. Савельев. – СПб.: Лань, 2012. – 336 с.

4.Сивухин, Д. В. Курс физики: в 5 т. Т. 3. Электричество / Д. В. Сивухин. – М.: Фиматлит/МФТИ, 2004. – 654 с.

5.Трофимова, Т. И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т. И. Трофимова. – М.: Высшая школа, 2006. – 558 с.

6.Физика: учеб. пособие для абитуриентов / Е. Н. Бодунов, Ю. А. Кытин, В. И. Никитченко, А. М. Петухов, Р. А. Романова. – СПб.: ПГУПС, 2012. – 188 с.

7.Физика. Электричество и магнетизм: учеб. пособие для учащихся факультета довузовской подготовки / Ю. А. Кытин, В. И. Никитченко, А. М. Петухов, Р. А. Рома-

нова. – СПб.: ПГУПС, 2007. – 43 с.

8.Фиргант, Е. В. Руководство к решению задач по курсу общей физики: учеб. пособие / Е. В. Фиргант. – СПб.: Лань, 2009. – 352 с.

9.Чертов, А. Г. Задачник по физике: учеб. пособие для втузов / А. Г. Чертов, А. А. Воробьев. – М.: Физматлит, 2009. – 640 с.

95

96

97