Вопрос 9 Деление двоичных чисел в прямых кодах.
Деление чисел в двоичной системе производится аналогично делению десятичных чисел.
Достаточно рассмотреть деление двух целых двоичных чисел, так как делимое и делитель всегда могут быть приведены к такому виду путем перенесения запятой в делимом и делителе на одинаковое число разрядов и дописывания нулей в недостающие справа разряды.
Деление двоичных целых чисел может выполняться с помощью хорошо известного алгоритма деления в столбик. Для выполнения деления 111011101 на 11011 можно записать:
То есть частное равно
,
остаток —
Деление чисел с фиксированной запятой
Деление несколько более сложная операция, чем умножение, но базируется на тех же принципах. Основу составляет общепринятый способ деления с помощью операций вычитания или сложения и сдвига
Задача сводится к вычислению частного Q и остатка S:
, S = Z - QD, S < D, где Z – делимое, D – делитель.
Деление выражается как последовательность вычитаний делителя (Дт) сначала из делимого (Дм), а затем из образующихся в процессе деления частичных остатков (ЧО). Делимое Z(z2n-lz2n-2 … z1z0) обычно представляется двойным словом (2n разрядов), делитель D(dn-1dn-2 … d1d0), частное Q(qn-1qn-2 … q1q0) и остаток S(sn-1sn-2 … s1s0) имеют разрядность n.
Частное от деления 2n-разрядного числа на n-разрядное может содержать более чем n разрядов. В этом случае возникает переполнение, из-за чего перед выполнением деления необходима проверка условия.
Переполнения не будет, если число, содержащееся в старших n разрядах делимого, меньше делителя.
Перед выполнением деления с фиксированной запятой производится пробное вычитание делителя из старших n разрядов делимого. Если получающийся при этом остаток отрицательный, деление возможно, если же остаток от пробного вычитания положительный, то результат по абсолютной величине переполняет разрядную сетку. В этом случае должен формироваться признак переполнения и деление прекращается.
Помимо этого требования, перед началом операции необходимо исключить возможность ситуации деления на 0.
Реализовать деление можно двумя основными способами:
– с неподвижным делимым и сдвигаемым вправо делителем;
– с неподвижным делителем и сдвигаемым влево делимым.
Недостатком первого способа является потребность иметь в устройстве деления сумматор двойной длины. Второй способ позволяет строить делитель с сумматором одинарной длины. Поэтому для реализации операции деления используется второй способ с неподвижным делителем.
В ЭВС для деления двоичных чисел можно использовать два метода: деление с восстановлением остатка и деление без восстановления остатка.
1. Деление с восстановлением остатка
Наиболее очевидный алгоритм носит название алгоритма деления с неподвижным делителем и восстановлением остатка. Данный алгоритм может быть описан следующим образом:
1) исходное значение частичного остатка полагается равным старшим разрядам делимого;
2) частичный остаток сдвигается на один разряд влево;
3) из сдвинутого Ч0 вычитается делитель и анализируется знак результата вычитания;
4) очередной разряд частного равен единице, когда результат вычитания положителен, и нулю, если отрицателен. В последнем случае значение остатка восстанавливается до того значения, которое было до вычитания;
5) пункты 2-4 последовательно выполняются для получения всех разрядов частного.
В общем случае для определения (n-i)-й цифры частного анализируется частичный остаток. Если ЧОi-1 ≥ 0, он сдвигается влево и из него далее вычитается Дт, в результате чего получается остаток ЧОi. Если же ЧОi-1 < 0, то сначала восстанавливается предыдущий положительный (сдвинутый) остаток, для чего к ЧОi-1 прибавляется Дт. Далее восстановленный остаток сдвигается влево, из него вычитается Дт, и в результате получается остаток ЧОi. При ЧОi ≥ 0 (n-i)-я цифра частного равна единице, при ЧОi <. 0 – нулю.