Вопрос 21 Транзитивные замыкания.

Транзитивное замыкание в теории множеств — это операция на бинарных отношениях. Транзитивное замыкание бинарного отношения R на множестве X есть наименьшее транзитивное отношение на множестве X, включающее R.

Н-р, если X — это множество людей, а R — отношение «является родителем», то транзитивное замыкание R — это отношение «является предком». Если X — это множество аэропортов, а xRy эквивалентно «существует рейс из x в y», и транзитивное замыкание R равно P, то xPy эквивалентно «можно долететь из x в y самолётом» (хотя иногда придётся лететь с пересадками)

Вопрос 22 Булевы (переключательные) функции. Способы задания булевых функций

Бу́лева фу́нкция -  от n аргументов — в дискретной математике — отображение Bⁿ → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества {1, 0} обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определённого смысла.

Неотрицательное целое ичисло n называют арностью или местностью функции, в случае n = 0 булева функция превращается в булеву константу. Элементы декартова произведения (n-я прямая степень) Bⁿ называют булевыми векторами. Множество всех булевых функций от любого числа аргументов часто обозначается P₂, а от n аргументов — P₂(n). Переменные, принимающие значения из булева множества называются булевыми переменными^[2].

1) Задание булевой функции таблицей истинности. Так называется таблица, состоящая из двух частей: в левой части перечисляются все наборы значений аргументов (булевы векторы пространства Bⁿ) в естественном порядке, то есть по возрастанию значений чисел, представляемых этими векторами, а в правой части – значения булевой функции на соответствующих наборах.

2) Задание булевой функции характеристическими множествами. Так называются два множества:

M¹_f, состоящее из всех наборов, на которых функция принимает значение 1, то есть M¹_f = {α   Bⁿ:f(α) = 1};

M⁰_f, состоящее из всех наборов, на которых функция принимает значение 0, то есть M⁰_f = {α   Bⁿ:f(α) = 0}.

3) Задание булевой функции вектором ее значений.

φ_f=f(0,0, …, 0)f(0,0, …, 1) … f(1,1, …, 1).

4) Задание булевой функции матрицей Грея. Булево пространство задается матрицей Грея, и наборы (клетки матрицы), на которых булева функция f(x₁, …, x_n) принимает значение 1, отмечаются и называются точками.

5) Интервальный способ задания булевой функции. Булеву функцию f(x₁, …, x_n) можно задать множеством интервалов I_f = {I₁, I₂, …, I_k}, объединение которых образует характеристическое множество M¹_f, то есть I₁  I₂ …   I_k = M¹_f. Множество интервалов I_f называется достаточным для функции f(x₁, …, x_n).

6) Задание булевой функции формулами

Вопрос 23 Элементарные булевы функции двух переменных.

Булевы функции двух переменных

 

Переменная х Переменная у		0 0	0 1	1 0	1 1
Название	Обозначение					Фиктивные
нуль	0	0	0	0	0	х, у
конъюнкция	, &, Л	0	0	0	1
		0	0	1	0
		0	0	1	1	y
		0	1	0	0
		0	1	0	1	х
сложение по модулю 2	+,    ∆	0	1	1	0
дизъюнкция	V	0	1	1	1
стрелка Пирса		1	0	0	0
эквивалентность	~, =	1	0	0	1
		1	0	1	0	х
		1	0	1	1
		1	1	0	0	y
импликация		1	1	0	1
штрих Шеффера		1	1	1	0
единица	1	1	1	1	1	х,у