Вопрос 24

Тождества булевой алгебры. Элементарные преобразования.

Для булевой алгебры определены одна одноместная (унарная) операция “отрицание” и две двухместные (бинарные) операции конъюнкция и дизъюнкция (обозначаются «», «» соответственно). Приведем некоторые основные формулы.

Под бинарной операцией на множестве А, в общем случае понимают отображение декартового произведения множеств (А х А) в множество А. Иными словами, результат применения бинарной операции к любой упорядоченной паре элементов из А есть также элемент из множества А.

Под унарной операцией на множестве А понимают выделение (фиксацию) какого-либо элемента множества А.

Преобразование формул булевых функций применением только аксиом булевой алгебры малоэффективно. Для упрощения формул используется целый ряд соотношений. Из коммутативности и ассоциативности дизъюнкции следует, что дизъюнкция нескольких переменных может выполняться последовательно, причем порядок взятия дизъюнкции не влияет на результат. Формулы де Моргана:

Следствия из формул де Моргана:

Формулы для системы функций:

операция поглощения (х поглощает у): хху=х; или х(ху)=х.

операция склеивания: хух =х, или (ху)(х )=х

Вопрос 25 Специальные классы булевых функций. Линейные; самодвойственные; функции, сохраняющие 0; сохраняющие 1, монотонные. Понятие о базисе булевых функций.

Различают 5 классов:

1) Сохраняющие константу 0. (f(0,0…0)=0)

2) Сохраняющие константу 1. (f(1,1,…1)=1)

3) Самодвойственные. На паре противополож. эл-тов принимают противоположные значения, т.е f(x1,x2,…xn)= ¬(f(x1,x2,…xn)).

4) Линейные. Может быть представлена полиномом по модулю 2 (f(x1,x2,…xn)=a₀(+)a₁x₁(+)a2x2…(+)a_nx_n), где а(0,1).

5) Монотонные. При любом возрастании набора значения ПФ, ф-ция не убывают.

f(x1,x2,…xn)≤ f(x1’,x2’,…xn’)

Базис ПФ: функционально полная система ПФ (разбиение в виде функций системы). Минимальный базис – базис, для к-го исключение хотя бы одной из ф-ций базиса, превращает систему в неполную.

Базисы 1 переменной: Стрелка Пирса и штрих Шеффера.

Базисы 2х переменных: отрицание, конъюнкция, константа 0, импликация, отрицание, дизъюнкция.

Булев базис

Любую булеву функцию с произвольным количеством аргументов можно построить через подстановку элементарных функции вместо аргументов (суперпозицию). Набор простейших функций, с помощью которого можно выразить любые другие, сколь угодно сложные логические функции, называется функционально полным набором, или логическим базисом.

Инверсия (логическое отрицание, "НЕ") . 0 1 1 0 Конъюнкция (логическое умножение, "И") . 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Дизъюнкция (логическое сложение, "ИЛИ") . 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1