Вопрос 19 Свойства бинарных отношений

1) Рефлексивность (если всякий элемент этого множества находится в отношении R с самим собой)

2) Антирефлексивность (все диагональные элементы матрицы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида (х, х)) .

3) Симметричность (для каждой пары элементов множества (a,b) выполнение отношения aRb влечёт выполнение отношения bRa) .

4) Антисимметричность (для каждой пары элементов множества a,b выполнение отношений aRb и bRa влечёт a = b, или, что то же самое, выполнение отношений aRb и bRa возможно только для равных a и b) .

5) Транзитивност ь (для любых трёх элементов множества a,b,c выполнение отношений aRb и bRc влечёт выполнение отношения aRc)

.

5) Полнота .

6) Асимметричность (эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения) .

Рефлексивность, свойство бинарных (двуместных, двучленных) отношений, выражающее выполнимость их для пар объектов с совпадающими членами (так сказать, между объектом и его "зеркальным отражением"): отношение R называется рефлексивным, если для любого объекта х из области его определения выполняется xRx. Типичные и наиболее важные примеры рефлексивных отношений: отношения типа равенства (тождества, эквивалентности, подобия и т.п.: любой предмет равен самому себе) и отношения нестрогого порядка (любой предмет не меньше и не больше самого себя). Интуитивные представления о "равенстве" (эквивалентности, подобии и т.п.), очевидным образом наделяющие его свойствами симметричности и транзитивности, "вынуждают" и свойство Р., поскольку последнее свойство следует из первых двух. Поэтому многие употребительные в математике отношения, по определению Р. не обладающие, оказывается естественным доопределить таким образом, чтобы они становились рефлексивными, например, считать, что каждая прямая или плоскость параллельна самой себе, и т.п.

Вопрос 20 Толерантность, эквивалентность, отношения порядка.

E≤A≤AТолерантностью называют отношения, которые одновременно рефлексивны, симметричны, но не транзитивны, т.е. А- толерантность ^-1^A²¢A

В качестве одного из примеров таких отношений можно привести отношение «иметь общее», которое еще называют отношением «сходства». Если химеет общее су, то иуимеет общее сх, что говорит о свойстве симметричности данного отношения. Однако оно не транзитивно, поскольку из того, чтохимеет сходство су, а не сz, вовсе не следует сходствохиz(они уже могут не иметь ничего общего).

При последовательном переборе некоторой цепочки пар сходных элементов, образующей на графе «сходства» путь из вершины х в у, между которыми уже нет никакого сходства, происходит постепенное накопление свойств, которыми обладает объект zи утрата свойств, присущих объекту х. Класс объектов, сходных с х, может пересекаться с классом объектов, сходных сz. В область их пересечения попадут объекты, сходные одновременно и с х, и сz.

По аналогии с классами эквивалентности можно ввести понятие класса толерантности. Если А- отношение толерамтности, заданное на множестве Х, то множество С_i={x€X:xAx_i} будет классом толерантности, образованным элементом х_i€ Х и содержащим все толерантные с ним элементы. Отметим основные отличия классов эквивалентности и толерантности.

1) Классы эквивалентности не пересекаются, а классы толерантности пересекаются.

2) Элементы класса эквивалентности попарно эквивалентны, а элементы класса толерантности, в общем и целом попарно нетолерантны.

3) Классы эквивалентности представляет собой монолит с совершенно равнозначными элементами, а класс толерантности имеет ядро и оболочку. Ядро содержит один или более элементов. Элемент ядра яв-ся тем объектом х_i, который как раз и образует данный класс толерантности С_i={х€Х: хАх_i}.Элементы обалочки представляют довольно пеструю картину, некоторые их пары нетолерантны, а сама оболочка не имеет четких границ.

(E≤A≤AЭквивалентность.Эквивалентностью н-ся отношения, которые одновременно рефлексивны, симметричны и транзитивны, т.е (А- эквивалентность) ^-1)^(A²≤A).

Таким образом к эквивалентностям относятся такие отношения:(быть однополчанином, иметь тот же остаток при делении на 5 и т.д.

(E∩A=Ø)^(AОтношение порядка. Строгим порядком отношения, которые одновременно антирефлексивны и транзитивны, т.е. (А-строгий порядок)²≤A).

Например отношение “меньше” антирефлективно, т.к. условие х<xне выполняется ни при каком значении х, и транзитивно следовательно, это строгий порядок. Другие примеры: больше, старше,быть потомком и т.д.