ИЭ / 4 семестр / Экзамен / Все лекции

27

При этом на боковой поверхности 0 вектор ортогонален вектору 0: 0 (согласно определению векторной трубки – см. п. 4.2.2), и значит, выполнены равенства:

∙ 0 = 0 и 0( ∙ 0) = 0.

Получаем: 1( ∙ 0) + 2( ∙ 0) = 0 1( ∙ 0) = − 2( ∙ 0) .

Если поменять направление вектора нормали на поверхности 2, т.е. взять

внутреннюю нормаль, то получим: 1( ∙ 0) = 2( ∙ 0) . Свойство доказано.

Замечание 4.12.

В поле скоростей текущей жидкости доказанное свойство означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

При этом уравнение: (( )) = 0 - в гидродинамике называется

уравнением неразрывности несжимаемой жидкости.

Свойство 3 вполне характеризует соленоидальное поле, т.е. если это свойство

где в качестве замкнутой поверхности можно взять векторную трубку, тогда

( ∙ 0) = 0 ( ) = 0 ( ) - соленоидальное поле.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 4.5.

Утверждения: ( ), ( ), (γ), ( ) - равносильны:

( ): потоки векторного поля через любые поперечные сечения векторной трубки в области - одинаковы, т.е. «интенсивность» векторной трубки постоянна:

28

Согласно этой теореме соленоидальность заданного векторного поля определяется условием: ( ) = 0 .

Пример 4.19.

Выяснить, являются ли следующие векторные поля соленоидальными:

а) ( ) = ( 2 − 2)∙ + ( 2 − 2)∙ + ( 2 − 2)∙ ; б) ( ) = 2∙ − ( 2 + 3)∙ + (3 2 + 1)∙ ; в) ( ) = (1 + 2 )∙ − 2 ∙ + ( 2 − 2 + 1)∙ .

Решение.

=0 − 3 2 + (3 2 + 1) = 1 поле не является соленоидальным.

в) ( ) = (1 + 2 ) + (− 2 ) + ( 2 − 2 + 1) =

=2 + (−2 ) + (2 − 2 ) ≡ 0 поле - соленоидальное.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

Важным примером векторного поля с точки зрения проверки выполнения его основных свойств по-прежнему остается центральное векторное поле:

( ) = ( )∙ , где { , , } - радиус-вектор точки , = | | = √ 2 + 2 + 2.

Как показано в п. 4.4.1, все центральные векторные поля – потенциальны (см. Следствие 4.4). А как обстоит дело со свойством соленоидальности таких полей?

В Примере 4.12 показано, что ( 3 ∙ ) ≡ 0, т.е. для функций ( ) = 3,

где = , центральное векторное поле ( ) = ( )∙ является соленоидальным; в частности, таковыми будут поле Ньютоновского притяжения: = − 3∙ и

электростатическое поле точечного заряда: = 3∙ .

Какие еще поля вида: ( ) = ( )∙ - являются соленоидальными? Для ответа на этот вопрос надо найти все такие функции ( ), для которых выполняется равенство:

( ( ) ∙ ) = 0 > 0.

Учитывая, что дивергенция центрального векторного поля (см. Пример 4.11) вычисляется по формуле: ( ( ) ∙ ) = 3 ( ) + ∙ ′( ), получаем следующее условие:

3 ( ) + ∙ ′( ) = 0 > 0.

Это равенство представляет собой дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными (см. [ ], …) относительно неизвестной функции ( ). Найдем общее решение этого уравнения:

3 ( ) + ∙ ′( ) = 0 3 ( ) = − ∙ ′( ) = − 3 = − 3 ∫ = − ∫ 3| | = −3 | | + | | = 3, или: ( ) = 3, где = .

Таким образом, центральное поле ( ) = ( )∙ является соленоидальным, только в случае ( ) = 3, где = .

29

Разложение векторного поля в сумму потенциального и соленоидального полей. Теорема 4.6.

Любое векторное поле = ( ) - можно представить в виде суммы потенциального поля и соленоидального поля:

определения функции имеем дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка:

Это дифференциальное уравнение называется уравнением Пуассона. Известно (см. [ ]), что уравнение Пуассона имеет бесчисленное множество решений.

Выбрав любое решение этого уравнения, получаем:

4.4.3. Гармонические поля

Определение 4.18.

Векторное поле ( ) называется гармоническим, если оно является одновременно потенциальным и соленоидальным полем:

Примеры гармонических полей:

-поле Ньютоновского притяжения: = − 3∙ ;

-электростатическое поле точечного заряда: = 3∙ .

Гармоническое поле может быть записано в виде: = , где () = 0

2 2 + 2 2 + 2 2 = 0 - уравнение Лапласа (частный случай уравнения Пуассона).

Функция = ( , , ), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

называется гармонической функцией.

При этом скалярное поле: { = ( ), } - также называется гармоническим полем. Введем обозначение:

Тогда уравнение Лапласа запишется в виде: ∆ = 0, а решения этого уравнения называются гармоническими функциями.

30

Вычислим значение оператора Лапласа для скалярного поля = ( ), где = | |,- радиус-вектор точки, в случае плоского ( = 2) и пространственного ( = 3) поля: