Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Все лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2021

Размер:

10.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Параболоид проектируется взаимно-однозначно на плоскость в круг с центром в начале координат и радиуса √2 (рис. 3.30). Внешняя нормаль 0 образует тупой угол с осью , поэтому в формуле перед двойным интегралом берем знак « − »:

{− ( , , (, )) ∙

′

− ( , , (, )) ∙

′

+ ( , , (, ))} .

( )∙ = −

Здесь имеем:

( , , ) = 0, ( , , ) = 2, ( , , ) = ;

( , ) = 2 + 2, ′

= 2,

′ = 2;

= − {−0 ∙ 2 − 2 ∙ 2 + 2 + 2} =

= 2 + 2

(23 − 2 − 2) =

√2

= ∙

= [ = ∙ ] =

√2

= ′

(23 3 − 2)∙ =

Рис. 3.30.

К Примеру 3.13

= ∫02 (∫0√2(24 3 − 3) ) =

= ∫ 2

∫ 2

(3 (

|√2) −

|√2) =

(

8√2

3 − 1) =

∫ 2 (1 − 2) ( ) − 2 =

8√2

∫ 2 3 − 2 = −

8√2

3) |2 − 2 = −

) |2

= −

8√

( −

8√2

(

−

− 2 = 0 − 2 = −2.

Ответ: = −2.

В конкретных примерах на вычисление поверхностных интегралов 2 рода можно применять оба метода: метод проектирования на все три координатные плоскости и метод проектирования на одну координатную плоскость.

В Примере 3.12 вычислен поверхностный интеграл 2 рода от вектор-функции

= 1

через поверхность : {

(рис. 3.27) методом

( ) = ∙ − ∙ + ∙

≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

проектирования на все три координатные плоскости. Так как поверхность взаимно-

однозначно проектируется на плоскость , то можно здесь применить и метод

проектирования на одну координатную плоскость. Покажем это.

{− ( , , (, )) ∙

′

− ( , , (, )) ∙

′

+ ( , , (, ))}

( )∙ =

Здесь имеем:

( , , ) = , ( , , ) = − , ( , , ) = ,

( , ) = 1 −

−

′

= −

′

= −

{ ∙

− ( , ) ∙

+ ( , )} =

{

−

(1 −

−

) + 1 −

−

} =

{

−

+ 1 −

−

} =

{

−

} ,

3 6

3 3

: {

0 ≤ ≤ 2

(рис. 3.28).

0 ≤ ≤ 3 (1 −

)

Вычисляя двойной интеграл через повторный интеграл, получим:

= ∫2	∫ 3(1−		)		2		1		5	) = ∫2		2		1	) \|3(1−		)		5	2\|3(1−		)) =
		2		(		−		+			((		−			2		+			2

							3		18					3					36
0	0			3						0	3				0					0

= ∫02 ((2 − ) (1 − 2) + 54 (1 − 2)2) = ∫02 (2 − 2 + 12 2 + 54 (1 − 2)2) =

= (2 − 2 + 16 3) |20 + 125 ∙(1 − 2)3∙(−2)|20 = 43 + 56 = 136 = 2 16.

Приходим к такому же результату, что и в Примере 3.12.

3.4.3.Приложения поверхностных интегралов 2 рода

1.Основным приложением поверхностных интегралов 2 рода является вычисление

потока вектора через заданную поверхность :

П =	(	)	(	)	∙ 0	(	)	.
П =		∙ =			∙ 0			.

В этих приложениях часто возникают задачи на вычисление потока через плоские области. Рассмотрим этот частный случай, когда поверхность является плоской областью.

Поток вектора через плоскую область.
Поток вектора через плоскую область.
Пусть поверхность – это область , лежащая
в плоскости (рис. 3.31):
				( )
	= 0	( , , )	O
	= 0		O
: {( , )		и ( ) = (( , , )).
		( , , )
В этом случае имеем:
В этом случае имеем:			Рис. 3.31.	Поток вектора
( , ) = 0, ′		= 0, ′ = 0,	Рис. 3.31.	Поток вектора
( , ) = 0, ′		= 0, ′ = 0,
			через плоскую область
а формула для вычисления поверхностного интеграла			через плоскую область
а формула для вычисления поверхностного интеграла
2 рода принимает вид:
П = ±	{− ( , , ( , )) ∙ ′ − ( , , ( , )) ∙ ′		+ ( , , ( , ))} =

= ± ( , , ( , )) = ± ( , , 0) .

Таким образом, в случае потока вектора через плоскую область имеем

формулу: П = ± ( , , 0) . Аналогичные формулы получаются в случае

расположения области в координатных плоскостях и :

П = ± ( , 0, ) и П = ± (0, , ) .

В этих формулах берется знак « + », если поток вычисляется в направлении, совпадающем с направлением соответствующей оси координат, и берется знак « − » в

противном случае.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача (о вычислении магнитного потока).
Рассматривается бесконечно длинный тонкий
прямой провод с током , который создает магнитное поле,
прямой провод с током , который создает магнитное поле,
характеризуемое в каждой точке пространства вектором
характеризуемое в каждой точке пространства вектором

магнитной индукции .


Вектор магнитной индукции
в произвольной точке выражается
	0
векторным произведением: =	2 ∙ 2∙( × ),	Рис. 3.32. К определению
		вектора магнитной индукции

где

- расстояние

- радиус-вектор точки ,

от точки до проводника (рис. 3.32), 0 - магнитная постоянная.

В одной плоскости с проводником расположена не пересекающая проводник

плоская рамка заданной формы.

Требуется найти величину (модуль) магнитного потока Ф сквозь данную рамку:

Ф =

(

)

∙ .

Решение.

Введем систему координат так,

чтобы проводник и рамка лежали в плоскости

(рис. 3.33), при этом ось направим

вдоль проводника.

Из определения магнитной индукции

( )

следует, что вектор

перпендикулярен

Рис. 3.33. Введение системы

плоскости , т.е. направлен по оси

декартовых координат

(в отрицательном направлении):

0∙

( )

= −| |∙ = −

2 ∙ 2∙| |∙| |∙ ∙ = −

2 ∙ 2∙ ∙ = −

2 ∙ ∙

0∙

( )

= − ∙ = − ∙ ,

где

2 = .

По условию задачи требуется найти величину (модуль) магнитного потока Ф,

поэтому направление вектора нормали 0( )

выберем так, чтобы поток был положителен,

т.е.

Тогда получим:

0( ) = − .

= ( )∙ =

( )∙ 0( ) =

Таким образом, магнитный поток сквозь рамку ,

расположенную в плоскости (рис. 3.34),

Рис. 3.34.

вычисляется по формуле:

0∙

∙

К вычислению

магнитного потока

Пример 3.14.

Найти магнитный поток сквозь плоскую рамку, имеющую форму прямоугольного

треугольника со сторонами, показанными на рисунке 3.35.

Решение.

Применим полученную выше формулу для вычисления магнитного потока: Ф = ∙ 1 ,

где = , а область задается неравенствами:

≤ ≤ + {0 ≤ ≤ ( + − ).

Вычисляя двойной интеграл с помощью повторного интеграла, получим:

Рис. 3.35. К Примеру 3.14

(+ − ) 1

+ 1

(+ − )

(

( + − ))

Ф = ∙∫

∫

= ∙∫

∫

= ∙∫

= =

∙∫ +

(

( + )

−

) = ∙(

( + ) ∙ | + − ) = ∙((1 +

) ∙ (1 +

) − 1)∙ .

Ответ: Ф =

0∙

∙((1 +

) ∙ (1 +

) − 1)∙ .

2. Одно из приложений поверхностных интегралов 2 рода связано с вычислением

объема тела Ω, ограниченного замкнутой поверхностью :

(Ω

)

= ;

)

;

(Ω = ;

(Ω =

(Ω

)

( + + )

= 3

(во всех случаях интеграл берется по внешней стороне замкнутой поверхности).

Пример 3.15.

Вычислить с помощью поверхностного интеграла 2 рода объем прямого кругового

конуса высотой и радиусом основания .
Решение.

Конус Ω высотой и радиусом основания задается неравенствами (рис. 3.36):

∙√2 + 2 ≤ ≤ .

Полная поверхность конуса состоит из основания 0и боковой поверхности бок:

= 0 бок.

Применим формулу для объема тела:

(Ω) = = 0 + бок .

Вычислим интеграл по основанию конуса:

0
	=	∙ √2 + 2
	=	∙ √2 + 2
	0

Рис. 3.36. К Примеру 3.15

0 = 0 = ∙ 0 = ∙(0) = ∙ 2 = 2 .

Вычислим интеграл по боковой поверхности конуса (рис. 3.36):

бок = − ∙√2 + 2 =

перед интегралом берем знак « − », так как вектор нормали 0 в каждой точке [образует тупой угол с осью ; − проекция бок на плоскость − круг радиуса ]

= ∙

=[ = ∙ ] = − ′ ∙ 2 = − ∫02 (∫0 2 ) = − ∙2 3 = − 2 2 .= 3 3

Складывая найденные величины, получим: (Ω) = 2 − 23 2 = 13 2 .

Ответ: конуса = 13 2 .

Глава 4. Элементы теории поля

Теория поля – раздел математики, физики и механики, в котором изучаются скалярные, векторные и иные поля. Полем называется любая область в пространстве или на плоскости, в которой задана некоторая (скалярная или векторная) величина.

Примеры скалярных полей: поле температуры воздуха, поле атмосферного давления, поле электрического потенциала и т.д. Примеры векторных полей: силовое поле, поле скоростей в потоке движения, поле электрического тока, магнитное поле и т.д.

Инструментом изучения таких полей служат кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, рассмотренные в предыдущих главах.

4.1. Скалярное поле

Определение 4.1.

Пусть в некоторой области (пространства или плоскости) задана функция = ( ), . Тогда пара ( ; ) или запись вида: { = ( ), } - называется

скалярным полем.

Область при этом может быть ограниченной или неограниченной областью, в частности может и совпадать со всем пространством 3 или плоскостью 2.

Если 3, то = ( , , ) – функция 3-х переменных. Если 2, то = ( , ) - функция 2-х переменных, и в этом случае имеем плоское скалярное поле.

4.1.1. Линии и поверхности уровня

Наглядным представлением скалярного поля служат такие его геометрические характеристики как линии и поверхности уровня.

Определение 4.2.

Поверхностью уровня скалярного поля { = ( ), 3} называется множество всех точек области , в которых значения функции постоянны и равны :

		= { : ( ) = },				= .

Например: изотермы – это поверхности одинаковых температур, изобары – это
поверхности одинаковых атмосферных давлений.
Поверхность уровня данного
							( , , ) =
скалярного поля при фиксированном							( , , ) =
скалярного поля при фиксированном
значении определяется уравнением
(рис. 4.1):
	( , , ) =			.
Придавая константе в этом
уравнении различные значения, получим
целое семейство поверхностей уровня:						O
целое семейство поверхностей уровня:
	{ ,	}.
	{ ,	}.
Заметим, что поверхности уровня,
соответствующие различным значениям ,						Рис. 4.1. Поверхность уровня
не пересекаются:							скалярного поля
	≠		∩		= .

Пример 4.1.
Описать поверхности уровня следующих скалярных полей:
а) = + + ;					б) = 2 + 2 + 2;		в) = 2 + 2 − 2.

Решение.

а) { ( , , ) 3: + + = , } - это семейство параллельных плоскостей в пространстве с вектором нормали 0 {1; 1; 1};

б) { ( , , ) 3: 2 + 2 + 2 = , ≥ 0} - это семейство концентрических сфер с центром в начале координат (при > 0) и точка (0; 0; 0) (при = 0);

в) { ( , , ) 3: 2 + 2 − 2 = , } - это семейство однополостных (при> 0) или двуполостных (при < 0) гиперболоидов с осью ; при = 0 поверхностью уровня будет круговой конус.

Ответ: а) семейство параллельных плоскостей; б) семейство концентрических сфер; в) семейство гиперболоидов и круговой конус.

Определение 4.3.

Линией уровня плоского скалярного поля { = ( ), 2} называется множество всех точек области , в которых значения функции постоянны и равны :

= { : ( ) = }, = .

Например: горизонтали при изображении рельефа местности на топографической карте – это изолинии одинаковых высот, изоклины дифференциального уравнения - это линии, в точках пересечения с которыми интегральные кривые наклонены к оси абсцисс под одним и тем же углом.

	Линия уровня		плоского скалярного

поля при фиксированном значении определяется								(, ) =
поля при фиксированном значении определяется								(, ) =
уравнением:								(, ) =
	( , ) = .
	Придавая константе в этом уравнении							(, ) =
различные значения, получим целое
семейство линий уровня (рис. 4.2):
	{ ,	}.
	{ ,	}.
	Заметим, что линии уровня,
соответствующие различным значениям ,							Рис. 4.2. Линии уровня
не пересекаются:							скалярного поля
	≠			∩	= .

Пример 4.2.
	Построить линии уровня следующих скалярных полей:
	а) = + ;		б) = 2 + 2;			в) = 2 − 2.
							в)
а)				б)			в)
а)				б)





	Рис. 4.3. Линии уровня скалярных полей из Примера 4.2

Решение.

а) { ( , ) 2: + = , } – это семейство параллельных прямых с

вектором нормали {1; 1}. (рис. 4.3-а);

б) { ( , ) 2: 2 + 2

= , ≥ 0} - это семейство концентрических

окружностей с центром в начале координат (при > 0) и точка (0; 0) (при

= 0)

(рис. 4.3-б);

в) { ( , ) 2: 2 − 2

= , } – это семейство гипербол (при

≠ 0) и

пара прямых (при = 0) (рис. 4.3-в).

Ответ: Линии уровня изображены на рисунке 4.3.

4.1.2. Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения скалярного поля в различных

направлениях вводится понятие производной по направлению.

Рассмотрим скалярное поле = ( ), .

Пусть 0 - фиксированная точка и - ненулевой вектор.

Проведем луч из точки 0 в направлении вектора

(рис. 4.4). Пусть - произвольная точка на этом луче.

Рассмотрим приращение ∆ (0) скалярного поля

в точке 0 в направлении вектора :

Рис. 4.4. Луч в

∆ (0) = ( ) − (0), где

направлении вектора

Устремим точку к точке 0 вдоль этого луча.

Определение 4.4.

Если существует предел отношения

∆ (0)

при → 0 и 0 , то он

| 0 |

называется производной

( ) скалярного поля в точке

по направлению вектора .

Итак, по определению имеем:

∆

(0)

( )− ( )

( ) =

→ 0

| 0 |

Производная по направлению характеризует скорость изменения скалярного поля в данной точке по заданному направлению. При этом если (0) > 0, то функция ( ) в

направлении возрастает, а если (0) < 0, то ( ) в этом направлении убывает.

Теорема 4.1.

Пусть функция = ( , , ) имеет непрерывные частные производные ′									, ′	, ′

в окрестности точки 0. Тогда в точке 0					для любого ненулевого вектора существует
производная по направлению , которая выражается формулой:
	( )		= ′	( )∙ + ′		( )∙ + ′		( )∙ γ,
	( )		= ′	( )∙ + ′		( )∙ + ′		( )∙ γ,
		0		0		0		0

где , , γ - направляющие углы вектора .
Доказательство.
Пусть 0(0, 0, 0), (0 + ∆ , 0					+ ∆ , 0
Пусть 0(0, 0, 0), (0 + ∆ , 0					+ ∆ , 0		+ ∆ ); тогда 0 {∆ , ∆ , ∆ } .

Из дифференцируемости функции = ( , , ) в точке 0 следует, что ее приращение ∆ (0) в этой точке может быть записано в виде:

∆ ( ) = ′			( )∙∆ + ′		( )∙∆ + ′		( )∙∆ +		∙∆ +	∙∆ + ∙∆,
	0		0		0		0	1	2	3

где 1, 2, 3 → 0 при ∆, ∆, ∆ → 0.

Введем обозначение: λ = | 0 |; учитывая, что

0 {∆ ; ∆ ; ∆ } , получим:

∆ = λ∙ ,

∆ = λ∙ γ.

Тогда имеем:

∆ ( 0)

= ′

( ) + ′

( ) + ′( ) γ + + + γ.

Если → 0, то λ → 0 и ∆, ∆, ∆ → 0, следовательно, и

1, 2, 3 → 0.

Переходя к пределу при → 0, получим нужную формулу. Теорема доказана.

В случае плоского скалярного поля = ( , ) имеем формулу:

( ) = ′ ( )∙ + ′

( )∙ ,

где – угол между вектором

и осью абсцисс.

Пример 4.3.

Найти производную скалярного поля = в точке 0(1; 2; 3) в направлении

вектора {1; −2; 2}.

Решение.

Здесь имеем: ′

= , ′ = , ′ = ; ′ ( ) = 6, ′ ( ) = 3,

′( ) = 2.

Найдем направляющие косинусы вектора :

| | = √1 + 4 + 4 = 3

, = −

, γ =

. Следовательно:

(0) = 6∙

+ 3∙(−

) + 2∙

= 1

Ответ:

(0) = 1

Следствие 4.1.

Пусть

- орты осей координат , , .

Тогда производные по

, ,

направлениям этих ортов совпадают с частными производными по переменным , , :

Замечание 4.1.

Из Следствия 4.1 получаем, что частные производные по переменным , , являются частным случаем производных по направлению, если в качестве направлений взять оси координат. Значит, понятие производной по направлению - это обобщение введенного ранее понятия частных производных.

Понятие производной по направлению тесно связано с понятием градиента

(см. п. 3.1.4).

4.1.3. Градиент скалярного поля

Определение 4.5.

Градиентом скалярного поля = ( , , ) в точке 0

называется вектор

′

( )}.

{

( ),

Для градиента приняты обозначения:

( 0) или

( 0):

′

( )∙ +

′

= ( ) = ( ) =

( )∙ +

( )∙ .

Пример 4.4.

Найти

= | |,

{ , , } - радиус-вектор точки.

, где

Решение.

;

| | = √2 + 2 + 2

′ =

√2+ 2+ 2

{ ; ; } =

{

} =

						5
′ =		=	; ′ =		=
′ =		=	; ′ =		=
	√2+ 2+ 2			√2+ 2+ 2
	√2+ 2+ 2			√2+ 2+ 2

Ответ: = .

Из формулы для производной по направлению получаем следующее утверждение.

Следствие 4.2.

Производная скалярного поля в точке 0 по направлению вектора равна скалярному произведению вектора градиента на единичный вектор этого направления:

(0) = (0)

∙ 0

, где

| |

Свойства градиента.

Градиент направлен по нормали к поверхности (линии) уровня.

Действительно, если

: ( , , ) = – поверхность уровня, проходящая

через точку 0 (рис. 4.5), то согласно п. 3.1.4, имеем:

′

( ),

′

( )} - вектор нормали

{

( ),

к поверхности , следовательно:

) .

(

2. Градиент направлен в сторону

наибольшего возрастания скалярного поля

в данной точке.

Рис. 4.5. Градиент как

Это следует из равенства:

нормаль к поверхности уровня

(0) = (0)∙ 0

= |(0)|∙ ,

где - угол между градиентом и направлением вектора

(рис. 4.6). Максимальное значение это выражение

принимает в случае, когда

= 0,

т.е. когда (0)

( ).

3. Модуль градиента равен наибольшей скорости

возрастания скалярного поля в данной точке.

Действительно:

Рис. 4.6. Угол между

(0) = {|(0)| ∙ } = |(0)|.

градиентом и вектором

Итак, имеем:

|(0)| =

(0).

√

′

′ 2

Заметим, что |(0)| =

( )

+ ( )

Пример 4.5.

Найти величину и направление наибольшего возрастания скалярного поля

= + + в точке 0 (1; 1; 1).

Решение.

Здесь имеем: ′

= + , ′

= + ; ′

( ) = ′

( )

= ′

( ) = 2;

2} = 2∙{1;

(0) = {2; 2;

1; 1} |(0)| = √12 = 2√3.

Ответ: 2√3 – величина, а {1; 1; 1} - направление наибольшего возрастания.

Правила вычисления градиента.


Используем, как и выше, обозначение градиента: =		∙ +		∙ +		∙ .

Запись такого вида в дальнейшем будем называть оператором «набла» или «оператором Гамильтона». Термин «оператор» означает отображение, функцию или функционал. Оператор Гамильтона можно символически записать в виде:

∙ + ∙ + ∙ .

Тогда = ∙

- произведение вектора на скалярную (числовую) величину .

Этот оператор преобразует скалярную величину в векторную величину .

Отметим следующие правила действий с оператором

(1)

где = .

(2)

= 0

= ,

= .

(3)

где = .

(4)

( ∙ )

= ∙ ,

( + ) = + .

∙ − ∙

(5)

( ∙ )

= ∙ + ∙ .

(6)

(

) =

(7)

′

(8)

′

( ) =

( )∙ .

( , ) =

∙ + ∙ .

Замечание 4.2.

Из правил (3) и (4) следует, что оператор - это линейный оператор.

Градиент центрального скалярного поля.

Определение 4.6.

Скалярное поле вида: = ( ),

где = | | = | { , , }| = √2 + 2

+ 2,

а { , , } – это радиус-вектор точки, называется центральным скалярным полем.

Пример 4.6.

Вычислить градиент центрального скалярного поля = ( ).

Решение.

Согласно правилу (7)

и Примеру 4.4 имеем:

′

( )∙

′

( )∙ 0

, где 0

- орт вектора ( 0

и | 0| = 1).

( ) =

( )∙ =

′

Ответ: ( ) =

( )∙

( )∙ 0.

4.2. Векторное поле

Определение 4.7.

Пусть в некоторой области (пространства или плоскости) задана вектор-функция= ( ), . Тогда пара (; ) или запись вида: { = ( ), } - называется

векторным полем.

Если 3, то ( ) = ( , , )∙ + ( , , )∙ + ( , , )∙ - вектор-функция

3-х переменных.

Если 2, то ( ) = ( , )∙ + ( , )∙ + ( , )∙ – вектор-функция 2-х

переменных; если при этом ( , ) ≡ 0, то ( ) = ( , )∙ + ( , )∙ ; в этом случае имеем плоское векторное поле.

4.2.1. Примеры плоских векторных полей

Примером плоского векторного поля является поле линейных скоростей материальной точки , вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси (рис. 4.7).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен

#
05.06.2021154.18 Кб8Вопросы к экзамену.pdf
#
05.06.202110.65 Mб17Все лекции.pdf
#
05.06.2021101.62 Кб6Дополнительные вопросы.pdf