Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Все лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2021

Размер:

10.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

=	+ ;		= ∫			(2 − 2) = ∫2(2 ∙ 0 − 2		∙ (0)) = ∫2 0 = 0;
1		2	1	1			0	0
				1			0	0
= ∫		(2 − 2				) = ∫1(4 (2) − 4 ) = ∫1(−4 ) = − 4 ∫1 = −4 \|1				= −4;
2	2					0	0	0	0
	2					0	0	0
= 1 + 2 = 0 − 4 = −4.
Ответ:		а)	= 1	1	;	б) = 0;	в) = −4.
Ответ:		а)	= 1	3	;	б) = 0;	в) = −4.
				3

Замечание 2.4.

Если линия - прямолинейный отрезок на плоскости , параллельный одной из осей координат, то вычисление криволинейного интеграла 2 рода упрощается.

Действительно, пусть = ∫	( , ) + ( , ) .	Тогда имеем:

Рис. 2.15.

= а) если , т.е. : { ≤ ≤

= ∫ ( , ) + ( , ) = ∫

= б) если , т.е. : { ≤ ≤

= ∫ ( , ) + ( , ) = ∫

Рис. 2.16.

(рис. 2.15), то = ( ) = 0 и

( , ) = ∫ ( , ) ;

(рис. 2.16), то = ( ) = 0 и

( , ) = ∫ ( , ) .

Аналогичное упрощение будет и в случае отрезка в пространстве, параллельного одной из осей координат: , или .

2.4.4. Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода

Сравним определения криволинейных интегралов 1 и 2 рода.

∫

( ) = ∑

(

)∙∆

- криволинейный интеграл 1 рода;

λ → 0

∫

∑

- криволинейный интеграл 2 рода.

( )∙ =

(

)∙∆

λ → 0

Здесь ∆

- длина частичной дуги, а

- вектор,

∆

соединяющий концы частичной дуги (рис. 2.17).

Очевидно, что

при λ → 0, т.е.

|∆

= 1.

|∆ | ~ ∆

∆

λ → 0

∆

стремится

Кроме того, при λ → 0 направление вектора ∆

Рис. 2.17. Связь

к направлению вектора касательной к кривой в точке :

между ∆

(

)∙∆

при λ → 0,

∆

где ( )

– единичный вектор касательной к кривой в точке ,

= 1 ÷ .

Следовательно, имеем:

∑

( )∙∆ =

λ → 0

∑

)∙

(

)∙∆

= ∑

(

)∙∆

, где

(

( ) = ( )∙ ( ).

λ → 0

Таким образом, криволинейные интегралы 1 и 2 рода связаны формулой:

∫

или в сокращенной записи:

( ) ∙ = ∫

(( ) ∙ 0( ))

∫

∙ =

∫ ( ∙ 0)

Влевой части этой формулы стоит криволинейный интеграл 2 рода, в правой части

–1 рода, а 0 – единичный вектор касательной к кривой .

Вкоординатной форме эта связь примет вид:

	∫ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) =
= ∫	{ ( , , ) ∙ + ( , , ) ∙ + ( , , ) ∙ } ,

где { , , } - направляющие косинусы единичного вектора касательной 0. В случае плоской кривой получим:

∫ ( , ) + ( , ) = ∫ { ( , ) ∙ + ( , ) ∙ } .

2.5. Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру

Рассмотрим криволинейный интеграл 2	рода ∫		по замкнутому контуру ,
		( )∙
т.е. вдоль простой кривой, у которой начало и	конец совпадают.		Для таких интегралов

принято следующее обозначение:

	(		)

				∙ .
При этом должно быть указано направление
движения по этому контуру.
Если направление на этой кривой выбрано, то

зафиксировав начальную точку, например, точку ,					0
имеем по определению (рис. 2.18):



( ) ∙ =		∫( ) ( ) ∙ .			Рис. 2.18. Замкнутый контур
Заметим, что значение интеграла не зависит

от выбора начальной точки. Действительно, если взять точку в качестве начальной точки, то получим:


( ) ∙ = ∫( )		( ) ∙ = ∫( )		( ) ∙

	= ∫( ) ( ) ∙ +		∫( ) ( ) ∙ = ∫( )


+ ∫( ) ( ) ∙ =

( ) ∙ =		( ) ∙ .

Направление движения по пространственной кривой случае приходится указывать особо.

В случае плоской кривой различают

положительное и отрицательное направления
положительное и отрицательное направления
обхода контура.
Положительным считается
такое направление, при котором
ближайшая часть области остается
слева от направления движения (рис. 2.19).
Обратное направление при этом
считается отрицательным.
В дальнейшем запись вида:

в каждом конкретном

	( , ) + ( , ) -	Рис. 2.19. Положительное
		направление обхода контура
	будет означать криволинейный интеграл 2 рода

	по замкнутому контуру на плоскости в положительном направлении.

2.5.1. Связь между криволинейным интегралом 2 рода и двойным интегралом

Рассмотрим криволинейный интеграл 2 рода:

	( , ) + ( , ) ,	Y	= 2( )

где - замкнутый контур на плоскости.

1. Предположим, что контур ограничивает на плоскости область , правильную в направлении оси (см. 1.3.1).

В этом случае контур состоит из отрезков [1 2], [1 2], параллельных оси и кривых:

̆	2	: = 1( ), [ ; ]},
1 1	= { ( , )	: = 1( ), [ ; ]},
̆	2	: = 2( ), [ ; ]}
2 2	= { ( , )	: = 2( ), [ ; ]}

(рис. 2.20).

Пусть функция ( , ) непрерывна

2	2

1
	= 1( )
		X

Рис. 2.20. Контур области, правильной в направлении оси

в области и пусть в этой области существует и непрерывна частная производная .

Установим связь между криволинейным интегралом 2 рода ( , ) и

двойным интегралом ( , ) .

Выразим двойной интеграл по правильной области через повторный интеграл:

( , ) = ∫ (∫ 2( ) ( , ) ) .

1( )

		2( )		( )
Учитывая, что	∫		( , ) = ( , )\|	2	= ( ,	2	( )) − ( , ( )), получим:
				1( )
	1( )						1

( , ) = ∫ { ( , 2( )) − ( , 1( ))} .

С другой стороны, по свойству аддитивности криволинейного интеграла имеем:

	( , ) = ∫̆ ( , ) + ∫			( , ) + ∫̆			( , ) + ∫		( , ) .
		1 1	[1 2]			2 2		[2 1]
	Так как отрезки [1 2] и [1 2] параллельны оси , то
		∫[1 2] ( , ) = ∫[2 1] ( , ) = 0 (см. Замечание 2.4).
Следовательно, имеем:
		( , ) = ∫	( , ) + ∫		( , ) = ∫ ( , ( )) +
		̆	̆					1
		1 1	2 2
	+ ∫ ( , 2( ))		= ∫ ( , 1( )) − ∫			( , 2( )) =

	= − ∫ { ( , 2( )) − ( , 1( ))} .

Сравнивая найденные выражения, получаем:

( , ) = − ( , ) .

Полученная формула верна и в случае, когда область , ограниченная контуром , не является правильной относительно оси , но ее можно разбить на конечное число

правильных областей прямыми, параллельными оси . Покажем это.

Пусть, например, область разбита на три области: = 1 2 3 прямой [ ]

	3
	1


	2

Рис. 2.21. Разбиение неправильной

области на правильные подобласти

(рис. 2.21).

Тогда для каждой из областей 1, 2, 3 верна формула:

( , ) = − ( , ) , = 1 ÷ 3.

При этом контур 1 состоит из части контура и отрезка прямой [ ]; контур 2 состоит из части контура и отрезка прямой [ ]; контур 3 состоит из части контура и отрезка прямой [ ].

Складывая эти формулы, получим в правой части равенства: − ( , ) ,

а в левой части: ∫ ′ ( , ) , где ′ = [ ] [ ] [ ].

Из свойств аддитивности и антисимметричности криволинейного интеграла 2 рода имеем:

∫ ′ ( , ) = ( , ) + ∫

( , ) + ∫

( , ) +

∫

( , ) =

[ ]

( , ) + ∫[ ] ( , ) + ∫[ ] ( , ) − ∫[ ] ( , ) − ∫[ ] ( , ) =

( , ) .

Откуда и получаем нужную формулу:

( , ) = −

( , ) .

2. Теперь предположим, что контур

ограничивает на плоскости область ,

правильную в направлении оси (см. 1.3.1).

В этом случае контур состоит

= 1( )

из отрезков [1 1], [2 2], параллельных

оси (рис. 2.22) и кривых:

= { ( , )

: = 1( ),

[ ; ]},

( )

2 1

= { ( , )

: = 2( ),

[ ; ]}.

1 2

Пусть функция ( , ) непрерывна

в области и пусть в этой области существует

и непрерывна частная производная

Рис. 2.22. Контур области,

правильной в направлении оси

Установим связь между криволинейным

интегралом 2 рода

( , ) и двойным интегралом

( , ) .

Выразим двойной интеграл по правильной области через повторный интеграл:

( , ) = ∫ (∫ 2( ) ( , ) ) .

1( )

		2( )					( )
Учитывая, что	∫			( , ) = ( , )\|	2				= (	2	( ), ) − ( ( ), ), получим:
					1( )
	1( )										1
			( , ) = ∫ { (					( ), ) − ( ( ), )} .
						2
											1

С другой стороны, по свойству аддитивности криволинейного интеграла имеем:

	( , ) = ∫̆			( , ) + ∫		( , ) + ∫̆	( , ) + ∫			( , ) .
		2 1		[1 1]		1 2		[2 2]
	Так как отрезки [1 1], [2 2] параллельны оси , то
	∫[1 1] ( , ) = ∫[2 2] ( , ) = 0 (см. Замечание 2.4).
Следовательно, имеем:
	( , ) = ∫	̆	( , ) + ∫		( , ) = ∫ ( ( ), ) + ∫				(		2	( ), )
		̆		̆			1				2
	2 1			1 2

= − ∫ (1( ), ) + ∫ (2( ), ) = ∫ { (2( ), ) − (1( ), )} .

Сравнивая найденные выражения, получаем равенство:

( , ) = ( , ) .

Полученная формула верна и в случае, когда область , ограниченная контуром , не является правильной относительно оси , но ее можно разбить на конечное число правильных областей прямыми, параллельными оси . Доказательство этого факта аналогично приведенному выше доказательству для случая 1.

Таким образом, для произвольной области , ограниченной контуром на плоскости, имеем формулы, связывающие криволинейный интеграл 2 рода по контуру с двойным интегралом по области :

( , ) =	( , )	и	( , ) = −	( , )	.
( , ) =	( , )	и	( , ) = −	( , )	.

2.5.2. Формула Грина

Выяснив связь между криволинейными интегралами 2 рода и двойными интегралами, докажем следующее утверждение.

Теорема 2.7.

Пусть область ограничена контуром . Пусть функции ( , ) и ( , ) непрерывны в области и в этой области существуют и непрерывны частные

производные

Тогда справедлива формула Грина:

( , ) + ( , ) =

{

( , ) −

( , )}

Доказательство.

Имеем формулы:

( , ) =

( , ) ,

( , ) = −

( , ) .

Складывая левые и правые части этих равенств, получим:

( , ) + ( , ) =

{

( , ) −

( , )}

Теорема доказана.

Пример 2.13.

Вычислить

2 + 2 двумя способами:

а) непосредственно, б) по формуле Грина,

если – контур, образованный

линиями = и = 2.

Решение.

Контур, состоящий из отрезка прямой = и

дуги параболы = 2, ограничивает область,

изображенную на рисунке 2.23. Линии

пересекаются в точках (0, 0) и (1, 1).

= 2

а)

= 1 2, где

1: {0 ≤ ≤ 1,

2: {0 ≤ ≤ 1.

2 + 2 =

∫ 2 + 2 + ∫ 2 + 2 =

= ∫1(4 + 2 ∙ 2 ) + ∫0(2 + 2) =

Рис. 2.23. К Примеру 2.13

= ∫1(4 + 23) + ∫0

22 = (

) |10

|10 =

−

б)

( , ) = 2,

= 2,

= 2; : {

02≤ ≤ 1

;

≤ ≤

2 + 2 =

(2 − 2 ) = 2

( − ) = 2 ∫1(∫ 2( − ) ) =

= 2 ∫1(∫ 2 −

∫ 2 ) = 2 ∫1

( ∙ | 2

−

| 2) = 2 ∫1 (2

− 3 −

) =

= 2 ∫1 (

− 3 +

) = 2 (

−

) |10

= 2 (

−

) =

Ответ:

Из формулы Грина как следствие получаются формулы для вычисления площади

фигуры, ограниченной заданным контуром.

Пусть ( , ) = , ( , ) =

тогда имеем:

= 0,

= 1 и

= (0 − 1) = −

= − ( ) ( ) = − .

Пусть ( , ) = 0, ( , ) = ;

тогда имеем:

= 1,

= 0 и

= (1 − 0) =

= ( ) ( ) = .

Если сложить полученные равенства, то получим:

2∙( ) = ( − ).

Таким образом, имеем следующие формулы:

( ) =

( ) = −

( ) =

∙

( − )

Пример 2.14.

Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом:

2 + 2 = 1 (рис. 2.24).

Решение.

Контур эллипса можно задать

параметрическими уравнениями:

= ∙

[0; 2 ].

{ = ∙

Рис. 2.24. К Примеру 2.14

Тогда по формуле: ( ) =

∙

( − ) –

получим:

( ) =

∫2{ ∙ ∙ ( ∙ ) − ∙ ∙ ( ∙ )} =

∙

∫2(2 + 2) =

∙

∫2 =

∙

∙2 = .

Ответ:

элл. = .

2.5.3. Многосвязные области

До сих пор мы рассматривали связные области ,

ограниченные простым замкнутым контуром . Такие

области будем называть односвязными областями (рис. 2.25).

Если связная область ограничена двумя

простыми замкнутыми контурами, не пересекающимися

	друг с другом (один из них лежит внутри другого), то	Рис. 2.25.
	такая область называется двусвязной областью.
		Односвязная область
	Если связная область ограничена тремя простыми

замкнутыми контурами, не пересекающимися друг с другом (два из них лежит внутри третьего), то такая область называется трехсвязной областью (рис. 2.26) и (рис. 2.27) и т.д.

		21
1	1
1	1
		3
2
	2
	2


Рис. 2.26.	Рис. 2.27.
Рис. 2.26.

Двусвязная область	Трехсвязная область

Определение 2.5.

Связная область называется -связной ( ≥ 2) областью, если она ограничена простыми замкнутыми контурами, не пересекающимися друг с другом, причем ( − 1) контуров из них лежат внутри одного контура.

«Неодносвязность» области определяется наличием
«Неодносвязность» области определяется наличием
«дырок» внутри области ; причем эти «дырки» могут						1
«дырок» внутри области ; причем эти «дырки» могут
состоять даже из единственной точки. Например,						1
						1
круг с выколотым центром (рис. 2.28):
= {( , ) 2: 0 < 2 + 2 ≤ 1} - двусвязная область.
Односвязная область – это область «без дырок».
Формула Грина была получена для односвязных областей.						Рис. 2.28. Пример
Для многосвязных областей также справедлива формула						двусвязной области
Грина, но с некоторыми уточнениями.
Пусть - -связная область, ограниченная контурами , , …, . Введем
				1	2
обозначение: =			… . Рассмотрим интеграл:
	1	2
	( , ) + ( , ) = {… } + {… } + … +					{… }, где
			1	2
направление обхода по каждому контуру ,				= 1 ÷ – выбирается положительным, т.е.

таким, при котором ближайшая часть области остается слева от направления движения. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.8 (формула Грина для многосвязных областей).

Пусть - -связная область, ограниченная контурами 1, 2, …, .

Пусть функции ( , ) и ( , ) непрерывны в области и в этой области существуют и

непрерывны частные производные

. Тогда справедлива формула Грина:

( , ) + ( , ) =

{

( , ) −

( , )}

, где

… .

Доказательство.

Докажем эту формулу для случая двусвязной области (рис. 2.29); в общем случае доказательство проводится аналогично. Выберем на внешнем контуре 1 точки 1, 2, а

на внутреннем контуре 2 - точки 1, 2. Соединим точки															1	и 1, 2 и 2 дугами		̆
на внутреннем контуре 2 - точки 1, 2. Соединим точки															1	и 1, 2 и 2 дугами		1 1
и	̆													= 1			2.
и	2 2. Область при этом разбивается на две области:													= 1			2.
	Область ограничена контуром ′									= ( ),							область ограничена
		1							1	2	1	1	1	2	2	2	2
контуром ′		= ( )							(рис. 2.29). Области						и - односвязные, значит к
	2	1	1	2	2	2	1	1						1		2

ним можно применить формулу Грина:

′1 ( + ) = 1 ( − ) ,′2 ( + ) = 2 ( − ) .

Применяя свойство аддитивности двойного и криволинейного интеграла, получим:

( − ) =

=1 ( − ) + 2 ( − ) =

=′1 ( + ) + ′2 ( + ) =

= ′1 ′2( + ).

Преобразуем контур ′1 ′2:

′1 ′2 = 1 2 ̆1 1 ̆2 2 ̆1 1 ̆2 2

	1
	1	1
		1
1
	2	1
	2	2
		2
1		2
2	2
2
1		2

Рис. 2.29. Иллюстрация к

доказательству теоремы 2.8

= ̆1 1 ̆1 1 ̆2 2 ̆2 2.

Далее используем свойства аддитивности и антисимметричности криволинейного

интеграла 2 рода. Интегралы по дугам	̆ ̆	̆ ̆	-
	1 1 и 1 1, а также	2 2 и 2 2

противоположны по значению, поэтому суммы интегралов по этим дугам равны нулю. В результате получим:

′ ′ ( + ) = ( + ) + ∫̆ ( + ) + ∫̆ ( + ) +
1 2					1 1		1 1
+ ∫̆	( + ) + ∫̆	( + ) = ( + ) + ∫̆						( + ) −
2 2	2 2						1 1
− ∫̆	( + ) + ∫̆	( + ) − ∫̆					( + ) =	+ .
1 1	2 2					2 2
	Окончательно имеем:		(	−		) = + .		Теорема доказана.
	Окончательно имеем:		(	−		) = + .		Теорема доказана.

2.6. Условия независимости криволинейного интеграла от пути

Важнейшим свойством криволинейного интеграла 2 рода является так называемое свойство «независимости» интеграла от пути интегрирования. Однако оно справедливо не для всех криволинейных интегралов. Выяснению условий, при которых это свойство выполняется, и посвящен этот параграф.

2.6.1. Понятие независимости интеграла от пути

Пусть даны функции ( , ) и ( , ), непрерывные в некоторой области 2. Область может быть ограниченной или неограниченной областью, в частности может и совпадать со всей плоскостью 2.

Для произвольных фиксированных точек , рассмотрим криволинейный интеграл 2 рода:

( ) = ∫ ( , ) + ( , )

вдоль простой кривой , соединяющей точки и (рис. 2.30).

Определение 2.6.

Если ( ) вдоль любой кривой , соединяющей точки и , принимает одно и то же значение, то говорят,

что криволинейный интеграл 2 рода не зависит

1

	2

Рис. 2.30. Иллюстрация к понятию

независимости интеграла от пути

от кривой, соединяющей точки и (а зависит только от самих точек и ):

		(1) = (2) 1, 2	,		̆	̆
					1 = ,	2 = (рис. 2.30).
		В этом случае криволинейный интеграл 2 рода может быть записан в виде:
∫	( , ) + ( , ) = ∫			( , ) + ( , ) = ∫ ( , ) + ( , ) .
		̆

		По форме записи это напоминает определенный интеграл, только вместо чисел
и		здесь стоят и - точки на плоскости.
Определение 2.7.
		Криволинейный интеграл 2 рода ( ) называется не зависящим от пути

интегрирования в области , если для любых точек , этот интеграл не зависит от кривой, соединяющей точки и .

	Наряду с интегралом ∫ ( , ) + ( , ) рассмотрим интеграл по
замкнутому контуру					( , ) + ( , ) .		Здесь - означает некоторую
переменную кривую, в первом случае - произвольную кривую, во втором случае -
замкнутую кривую.
Лемма 2.1.
	Пусть – произвольная область в 2. Тогда следующие утверждения
равносильны:
1)	Криволинейный интеграл 2 рода ∫					( , ) + ( , ) не зависит от пути
	интегрирования в области .
2)	Криволинейный интеграл 2 рода					( , ) + ( , ) по любому замкнутому
	контуру в области равен нулю.
Доказательство.
Доказательство.
1)	Пусть ∫ + не зависит от пути
интегрирования в области . Рассмотрим
интегрирования в области . Рассмотрим
произвольный контур = ( ) в области
(рис. 2.31). По свойствам аддитивности и
(рис. 2.31). По свойствам аддитивности и
антисимметричности имеем:

+ = ∫̆			+ + ∫̆ + =

= ∫̆ + −		∫̆ + .					Рис. 2.31. Иллюстрация к
							доказательству Леммы 2.1
	Так как интеграл не зависит от пути, то						доказательству Леммы 2.1
	Так как интеграл не зависит от пути, то
∫̆	+ = ∫̆				+

	+ = ∫̆			+ − ∫̆		+ = 0.

Значит, интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

2) Пусть	( , ) + ( , ) = 0	по любому замкнутому контуру в области .
Выбираем произвольные точки , и соединим их произвольными путями:
	̆	̆
	1 = , 2	= .

Надо доказать, что ∫ 1 + = ∫ 2 + .

Ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда кривые 1 и 2 не пересекаются, т.е. 1 ∩ 2 = . Тогда = ( ) - простой замкнутый контур и,

следовательно, имеем:		( , ) + ( , ) = 0. Вычислим разность интегралов:
∫	+ − ∫	+ = ∫̆	+ − ∫̆ + =
2	1
= ∫̆ + + ∫̆ + = ( , ) + ( , ) = 0. Получаем:

∫ 2 + − ∫ 1 + = 0, т.е. ∫ 1 + = ∫ 2 + для любых путей

1, 2, соединяющих точки , . Значит, интеграл не зависит от пути интегрирования. Лемма доказана.

2.6.2. Потенциальная вектор-функция

Введем следующее понятие.
Определение 2.8.
		( , )
Вектор-функция	( ) = (( , ))		называется потенциальной в области , если

существует такая функция ( , ), дифференцируемая в области , что ее полный дифференциал совпадает с подынтегральным выражением криволинейного интеграла:

( , ) = ( , ) + ( , )		( , ) .

При этом функция ( , ) называется «потенциалом» вектор-функции ( ) или
первообразной для выражения ( , ) + ( , ) .
Очевидно, что условие ( , ) = ( , ) + ( , )			( , ) -
равносильно системе дифференциальных уравнений в частных производных:
	= ( , )
{	= ( , )
{	( , ) .
	= ( , )
	= ( , )

Для выяснения условий независимости от пути криволинейного интеграла 2 рода ∫ ( , ) + ( , ) в области мы в дальнейшем будем предполагать, что:

-область - односвязная область;

-функции ( , ) и ( , ) непрерывны в области и в этой области существуют и

непрерывны частные производные

( , ) и

( , ).

Замечание 2.5.

( , )

Если ( ) = (( , )) - потенциальная вектор-функция в области , то

выполняется равенство:

( , ) =

( , ) для всех точек ( , ) .

Действительно:

( , ) =

( ( , )) =

(

) =

(

) =

( ( , )) =

( , ).

Теорема 2.9.

Если криволинейный интеграл 2 рода: ∫

( , ) + ( , ) - не зависит от

( , )

пути интегрирования в области , то ( )

= (( , )) - потенциальная вектор-функция.

Доказательство.

Надо доказать существование функции ( , ), для которой выполняются условия:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен

#
05.06.2021154.18 Кб8Вопросы к экзамену.pdf
#
05.06.202110.65 Mб17Все лекции.pdf
#
05.06.2021101.62 Кб6Дополнительные вопросы.pdf