ИЭ / 4 семестр / Экзамен / Все лекции

21

= ∫0 −2 ∙∫0 −2 = (∫0 −2 )2. Устремляя к бесконечности, получим:

Формула доказана.

1.5. Тройной интеграл и его свойства

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла. Если двойной интеграл является обобщением понятия определенного интеграла на случай функции 2-х переменных, то тройной интеграл является его обобщением на случай функции 3-х переменных.

1.5.1. Понятие тройного интеграла

Пусть имеется функция = ( , , ), заданная на множестве Ω 3, где Ω – пространственная замкнутая область – тело, ограниченное гладкой (или кусочно-гладкой) поверхностью (рис. 1.24).

Выполним следующие действия.

1. Разбиение области Ω на частичные области: Ω = Ω1 Ω2 … Ω .

22

интегральных сумм при λ → 0, если для > 0 > 0 такое, что для любого разбиения области Ω с рангом разбиения λ < и при любом выборе промежуточных точек { }=1 выполняется неравенство:

зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек, и он равен числу .

Определение 1.6.

Функция ( , , ), для которой существует тройной интеграл, называется интегрируемой по области Ω. Область Ω называется областью интегрирования.

Пример 1.12.

Физический смысл тройного интеграла.

Если ( , , ) - пространственная плотность массы, распределенная по телу Ω,

то = Ω ( , , ) - масса всего неоднородного тела.

Если ( , , ) - плотность электрического заряда, распределенная по телу Ω,

то = Ω ( , , ) - заряд всей области Ω.

1.5.2. Условия интегрируемости функции

Теорема 1.10.

Если функция ( , , ) интегрируема по области Ω, то она ограничена в области Ω. Доказательство этого утверждения аналогично случаю двойного интеграла.

Обратное утверждение неверно: есть ограниченные, но не интегрируемые функции.

Следствие 1.7.

называются интегральными суммами Дарбу - соответственно нижней интегральной суммой и верхней интегральной суммой.

23

Очевидно, что для любого разбиения {Ω }=1 области Ω и любого выбора точек { }=1 интегральная сумма Римана находится между значениями интегральных сумм Дарбу:

≤ ≤

Теорема 1.11 (основной признак интегрируемости).

Для того чтобы ограниченная функция ( ) была интегрируема по области Ω,

необходимо и достаточно, чтобы ( − ) = 0.

λ→0

Доказательство этой теоремы есть в работе [1].

Разность − можно выразить через колебания функции ( ):

− = ∑=1 ∙∆ − ∑=1 ∙∆ = ∑=1( − )∙∆ = ∑=1 ∙∆ .

В терминах колебаний функции ( ) основной признак интегрируемости можно сформулировать следующим образом.

Следствие 1.8 (основной признак интегрируемости).

Для того чтобы ограниченная функция ( ) была интегрируема по области Ω, необходимо и достаточно, чтобы для > 0 > 0 такое, что для любого разбиения {Ω }=1 области Ω с рангом разбиения λ < и при любом выборе промежуточных точек

{ }=1 - выполнялось неравенство: ∑=1 ∙∆ < .

Классы интегрируемых функций.

Из основного признака интегрируемости можно установить классы функций, интегрируемых по заданной области.

Теорема 1.12.

Если функция ( ) непрерывна в области Ω, то она и интегрируема по области Ω. Доказательство аналогично случаю двойного интеграла.

Оказывается, интегрируемость сохраняется и для класса ограниченных функций, непрерывных «почти всюду» в области интегрирования.

Теорема 1.13.

Если функция ( ) ограничена в области Ω и непрерывна в области Ω всюду за исключением конечного числа точек или конечного числа кривых или поверхностей, лежащих в этой области, то она интегрируема по области Ω.

Доказательство этой теоремы есть в работе [1].

Замечание 1.7.

Интегрируемость функции и величина интеграла сохраняются, если произвольным образом изменить значения функции в конечном числе точек или на конечном числе кривых или поверхностей, лежащих в этой области.

Это связано с тем, что объемы всех поверхностей и кривых равны нулю, поэтому соответствующие слагаемые в интегральных суммах не влияют на общую сумму.

1.5.3. Свойства тройного интеграла

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.

Свойства, выраженные равенствами. 1. Нормированность.

Тройной интеграл от единицы по заданной области равен объему этой области:

2. Линейность.

24

Пусть функции ( ) и ( ) интегрируемы по области Ω. Тогда а) постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла:

Ω ∙( ) = ∙ Ω ( ) , = ;

б) тройной интеграл от суммы функций равен сумме тройных интегралов от этих функций:

Ω ( ( ) + ( )) = Ω ( ) + Ω ( ) .

Свойство линейности можно записать в следующем виде:

3. Аддитивность.

Пусть функция ( ) интегрируема по области Ω.

Если область интегрирования разбита на две области, то тройной интеграл по всей области равен сумме тройных интегралов по каждой из этих областей:

(т.е. при расширении области интегрирования тройной интеграл возрастает).

Следствие 1.11.

| Ω ( ) | ≤ Ω |( )|.

2. Оценки тройного интеграла.

Если значения подынтегральной функции ( ) в области Ω ограничены величинами и , то значение тройного интеграла ограничено величинами∙(Ω) и ∙(Ω), где (Ω)- объем области Ω:

≤ ( ) ≤ Ω ∙(Ω) ≤ Ω ( ) ≤ ∙(Ω).

Пример 1.13.

1

Оценить значение тройного интеграла: = Ω 4 ( 2 + 2+ 2+ 9) ,

где Ω - шар: 2 + 2 + 2 ≤ 9.

Решение.

25

41 ∙181 ∙36 ≤ ≤ 41 ∙19∙36 12 ≤ ≤ 1. Ответ: 0,5 ≤ ≤ 1.

Теоремы о среднем значении. Теорема 1.14.

Пусть функция ( ) интегрируема по области Ω и пусть

= { ( ), Ω}; = { ( ), Ω}. Тогда [ ; ]:

Ω ( ) = ∙(Ω).

Число = (1Ω)∙ Ω ( ) - называется интегральным средним значением

функции ( ) в области Ω.

Теорема 1.15.

Пусть функция ( ) непрерывна в области Ω. Тогда 0 Ω:

Ω ( ) = (0)∙(Ω).

Доказательство этих свойств и теорем проводится аналогично случаю двойного интеграла.

1.6. Вычисление тройного интеграла

Вычисление тройного интеграла Ω ( , , ) начинается с изучения области Ω. Различаются области (или тела́) «правильные» (относительно какой-нибудь координатной оси) и «неправильные».

Определение 1.8.

Тело Ω, ограниченное снизу поверхностью = 1( , ), сверху - поверхностью= 2( , ), а с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными

оси , называется «правильным» телом в направлении (относительно) оси (рис. 1.25).

относительно оси

27

каждая из которых является функцией только одной переменной:

( , , ) = 1( )∙ 2( )∙ 3( ),

то тройной интеграл равен (аналогия с двойным интегралом – см. 1.3.3) произведению трех определенных интегралов:

Ω 1( ) ∙ 2( ) ∙ 3( ) = ∫ 1( ) ∙∫ 2( ) ∙∫ 3( ) .

Пример 1.14.