Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

ановок дорiвню¹ одиницi. Таким чином, хвильова ункцiя основного

перестану

N/2

вому рiвнiакзваний бозе-конденсат, коли всi частинки сконденсованiнадплинному

квантВона îоретичнiпису¹

ψ0 = ψ0,...,0(r1 . . . , rN ) = 1/V

.

êiëüê

4

отенцiальну

N

äiþ÷èõ

ових бозе-частинок в об'¹мi

X

äîðiâíþ¹ñòi íå~äà¹íå

змоги,де дентисередняiкуватвiдстаньатоми,мiжтому нев .

знаОднакченiстьпринцкоординатитотожн

p

/hr

hr

ско iчного об'¹му, як

перебуваютьhr , аближ

L

àêðî-

лiнiйномуми, отже,розмiровiiнiмальнийусього пульс

p /L L hr

L → ∞

p → 0

V . Ï

енер iю парних вза¹модiй мiж частинками

èпоправкаженнячнiенеренерi¨ окремихi¨основногочастинокану äîðiâ-

íþрозгляда¹моють¹нулевi,нулевiосяк(бозеiлькизбурення- онденсатiмпу.льсиНуΦ =).оветПершакiнетнаблΦ(|ri − rj

|)

1≤i<j≤N

E(1) =

h0|Φ|0i

Z

Z

=

. . . ψ0,...,0

(r1

, . . . , rN )Φψ0,...,0(r1, . . . , rN ) dr1 . . . drN

1

Z

Z

X

=

. .

Φ(|ri − rj |) dr1 . . . drN

V N

1≤i<j≤N

=

1

N (N − 1)

Z

. . . Z

Φ( r1

r2

) dr1 . . . drN

V N

2

Z Z |

−

|

1

N (N

1)

N 2

такайнштайнiвсько¨Е.рокуАж.Корнелл,.запершi Вкундам.онденсацi¨КеттнтрлеальнiтврозрiджКдослiдж.Е. Вiменихнягазаходержвласали

642Нобелiвськувостеймiв5лужнихЗа досягненняцихкметаонде=премiюбозе2001ëiâ,íñàòiâ-

−

V

−

Φ( r1

−

r2 ) dr1dr2

òî-

V N

2

|

|

тинамистану, ¹удiйсндругомую величиною,доданку

2

перекида¹мо, й iнте руваннямдiю операторачас-

квадратнихтому ψ0 j ψдужках0 = j ψ0 /2

опису¹Цей вираз,енерякийетичнийупершеспктрзнайшовнадплинногоEq = ~. Фейнманq /2mSq .ó 1953 ðîöi, якiсно правильно

j ç ψ02

налiв . У результатi отриму¹мо, що

~2 XN

2m

j=1hψ0| | j ϕ|2 |ψ0i = E − E0

або, пiдставляючи ϕ, одержу¹мо остаточно для енер i¨ Eq = E − E0:

2

2

ÿäìíдатиихощiвквантовихатомiв,iзчiткелiнiйпо-¨

актичноон

òðó

ясненняАтомсаменям

4

айзенбер

помехяснеале

ãåëiþ

побуду ати для

êiëüêiñíó

. Öå

зробив

о¨х перших роботах.

Отже, р зглянемо

як склада¹ться з двох електронiв,

йон вополiднюатомHядрасистемугелiю,величиною,iз зарядомднократно йонiз(див. рисваний.64)атом.До лiтiю,аких

вiд'¹мнийсистемщолятивiстськимирухаютьсналежать

Z|e|

йонимаси.вважатиМиелектронаçíåõ ÿäðó¹ìî

р рухомим, беручипоправкдоуваги− амиiншiте,.щоКрiмбагатократвiдношетого, будемоня

äî

ñè ÿäðà

M

тако¨ системи,m/Mпомiстивши1.

ÿäðî â

m

чаток

Запишемокоординат:гамiльтонiан¹малою

ïî-

де гамiльтонiан

ˆ

електронаˆ ˆ

â ïîëi ˆÿäðà

першогоH = H0(1) + H0(2) + V ,

ˆ

pˆ12

Ze2

другого електрона

H0(1) =

2m

−

r1

,

ëüñiâ,вимизадачуелектрониr = r1 − r2.

äiþòü,

ˆ

pˆ22

Ze2

та оператор

H0(2) =

2m

−

r2

енер i¨ мiжелектронно¨ кулонiвсько¨ вза¹модi¨

ˆ

e2

V = r

r1

радiус-вектори електронiв,

pˆ1, pˆ2 оператори ¨хнiх iмпу-

r2 à

тозада¹тьсями.Якщома¹моелектрониприпуводневоподiбнуакимистити,квантощо-

озгляньмочислами:урацiяосновниймiжелектронисобспстючаткуобохвза¹моосновнийелектронiвстан

Т бто обидва

,

перебувають,

= 0 m2 = 0.

n1 = 1 l1 = 0 m1

= â0; n2 = 1, l2

такими координатними хвильовими2. óíêöiÿìè:Îòæå,|

опису¹мо

êîí i

зобража¹ться як

1s -станi. Ця електронна

(1s)

ϕ1s

(r1) =

√

1

e−r1/a,

3

πa

ϕ1s

(r2) =

√

1

e−r2/a,

645

3

πa

äå

Електрони ¹ ермi-частинками,a = aBi/Zповна.

хвильова ункцiя

ψ =

ψ(x1, x2) повинна бути антисиметричною:

та координатнiψ(x1, x2) = −ψ(x2, x1).

Ñïiíîâi

змiннi роздiляються, отже

Îñêiëüêè

обидва

електрони перебуваютьсиметричну

ψ(x1

, x2) = χ(s1, s2)ϕ(r1, r2).

òà

|1si-ñòàíi,

î ç ϕ1s(r1)

âó

óíêöiþ:ìîæí

утворити лише

координаòну хвильо-

ϕ1s(r2)

Таким чином,

s ункцiя повинна бути антисиметричною:

ñïiíîâàϕ = ϕ (r1, r2) = ϕ1s(r1)ϕ1s(r2).

a

1

{

−

}

2

ðè),äå

χ(s1, s2) = χ (s1, s2) = √

χ↑(s1)χ↓(s2)

χ↓(s1)χ↑(s2) ,

Òóò çà çìiííó

χ↓ =

0

.

1

Äîñëi èìî(±спiновий~/2).

стан, який опису¹ ункцiя

χ

a

(s1

, s2). Äëÿ

цього поäi¹ìî íà íå¨

оператором

646

z-компоненти

повного спiну

ˆ

другого, де електронiв,. Отже,

оператори спiнiв пер-

Søîãî= ˆs1òà+ ˆs2

ˆs1

=

~σˆ 1/2

ˆs2

= ~σˆ 2/2

ˆz

a

z

z

a

1

z

S

χ

(s1, s2) = (ˆs1 + sˆ2)χ

(s1, s2) = √

{χ↓(s2)ˆs1χ↑(s1)

2

− χ↑(s2)ˆs1z χ↓(s1) + χ↑(s1)ˆs2zχ↓(s2) − χ↓(s1)ˆs2z χ↑(s2)}

1

~

~

= √

χ↓(s2)χ↑(s1) − −

χ↑(s2)χ↓(s1)

2

2

2

~

~

Подi¹мо тепер на

íêöiþ

+

−ó2

χ↑(s1)χ↓(s2) − 2 χ↓(s1)χ↑(s2) = 0.

ñïiíó:

χa(s1, s2) оператором квадрата повного

ˆ2

a

(s1

2

2

a

(s1, s2)

S

χ

, s2) = (ˆs1

+ sˆ2

+ 2ˆs1ˆs2)χ

=

3

~2 +

3

~2 + 2ˆs1ˆs2

4

4

1

Нам необхiдно знайти

√

[χ↑(s1)χ↓(s2)

−

χ↓(s1)χ↑(s2)] .

×

2

~

2

σˆ 1χ↑(s1)σˆ 2χ↓(s2).

цьогоˆs1ˆs2χ↑(s1)χ↓(s2) = 2

Äëÿ

обчислимо

σˆ χ↑ = i

0 1

1

+ j

0 −i

1

1

0

0

i

0

0

+

k

1

0

1

0

−1

0

=

i

0

+ j

0

+ k

1

,

647

1

i

0

а також

σˆ χ↓ = i

0

1

0

+ j

0 −i

0

1

0

1

i

0

1

+ k

1

0

0

0

−1

1

.

= i + j −

+ k

0

0

−1

Тепер легко показати, що

аналогiчно

~2

(s2) = 4 [2χ↓(s1)χ↑(s2) − χ↑(s1)χ↓(s2)]

i ˆs1ˆs2χ↑(s1)χ↓

отримали,

~2

3

3

Sˆ2χa(s1 s2) = √

χ↑(s1)χ↓(s2) −

χ↓(s1)χ↑(s2)

2

+

1

[2χ↓(s1)χ↑(s2) − χ↑(s1)χ↓(s2)]

2

−

1

[2χ↑(s1)χ↓(s2) − χ↓(s1)χ↑(s2)] = 0.

Îòæå, ìè

ù

î

2

ˆ2

a

(s1, s2) = 0,

S

χ

Це означ ¹, що

ˆz

a

(s1, s2) = 0.

S

χ

E

(0)

ˆ

ˆ

= hH0(1) + H0(2)i

= Z

dr1

Z dr2

X X

ψ (x1, x2)[Hˆ0(1) + Hˆ0(2)]ψ(x1, x2)

s1

s2

поправка

ˆ

Ze2

(1)ϕ1s (r1) = 2hH0(1)i = 2E1s = 2

− 2a ,

à

= 2Z dr1ϕ1s(r1)H0

E(1)

hVˆ i = Z

Z

dx2ψ+(x1, x2)

e2

=

dx1

ψ(x1, x2)

r

Ми скористались=

Z

dr1

Z

dr2 ϕ1s(r1)ϕ1s(r2) |r1

− r2|.

òèì, ùî ñïiíîâà óíêöiÿ нормоваíà:

рядозкладемоФур'¹:

X X

+

åíåð iþ

χ

(s1

, s2)χ(s1, s2) = 1.

s1

s2

|

−

|

X

4πe2

e2

=

1

eiq(r1−r2)

.

649

r1

r2

V

q

q2

X

(1)

4πe2

2

äå êîå iöi¹íò Ôóð'¹

густини

,

електронно¨E = q2V |ρ1s(q)|

q

Z

рал у виразi

ρ1s

(q) = πa3

dr e−

e .

Iíòå

äëÿ

2r/a

iqr

ρ1s(q) = πa3

Z0

dϕ Z0

sin θ dθ Z0

∞ r2e−2r/aeiqr cos θdr

1

2π

π

=

1

Z0

∞

4πr

e−2r/a sin qr dr =

4

Im Z0

∞ reiqr−2r/a dr

πa3

q

qa3

4

1

q4

äå

=

Im

=

0

,

3

(iq

2

(q

2

2

2

qa

− 2/a)

+ q0 )

äå

dq

=

I,

=

−12

dξ √ξ ïîç=

212

,

ξ = q2. Òàêèì ÷èíîì, ïîïравка

∞

dq

1

∞

dq

1

d

3

∞ dq

I =

Z0

(q2 + q02)4

=

2

Z−∞

= −

12

dξ

Z−∞ q2 + ξ

1

d

3 π

5πa7