Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

Застосуймо теорiю

2m + eϕ ψ = E′ψ.

çáóðåíü. Нехай гамiльтонiан нульово¨ задачi

äîðiâíþ¹

ˆ

(0)

= E

(0)

ψ

(0)

H0ψ

ˆ

pˆ2

а оператор збурення

H0

=

+ eϕ,

причому пiд енер i¹ю

Vˆ =

−

(E′ − eϕ)2

,

2mc2

E

(0)

4 2

2

E′ розумi¹мо ¨¨ нульове наближення E′ →

= −me /2~ n

, n = 1, 2, . . .. Наше рiвняння ма¹ тепер вигляд:

iезбурено¨елементиˆ задатеорi¨ˆ ч ,збуреньтозамiстьобчислюються

íà

õâè-

льовихi оскiлькиункцiяхмтричí

(H0

+ V )ψ = E′ψ,

можна поставити

E

(0)

у вираз для ˆ

ˆ

V

H0. У резуль

ˆ

−

2

=

4

.

V = çàâèäíî

eϕ)

pˆ

тсько¨Змiст цьогочастинкиоператоравˆÿä

−

(H0

степенямиз розкладу åíåð i¨ вiльно¨ релятивiс-

2mc2

−

8m3c2

1/c2:

2

p2 2

2 4

1 + p2

2 2

E =

p

c + m c2

= mc p4

/m c

= mc2 1 +

p

−

1

p

+ · · ·

2m2c2

8 m4c4

2

p2

p4

ÿ¨éñпокоюiцевiäïîâiäтакчастинки,званаа¹ операторпоправкадругийна залежнiстьзвичайна

масикiнетичнаПершийвiд членшвидкостiенер=iÿ,öåàmc.енертретiйСаме+i2m − 8m3c2

+

· · · .

562

ˆ

V .

E

(1)

=

ˆ

ˆ

hV i = hn, l, m|V |n, l, mi,

E(1)

=

нерелятивiстсьê

− *

2mc2

+

1

2

− 2E(0)ehϕ + e2hϕ2i

=

−

E(0)

.

задачiВикористаймо(див.=Ïðè−2mc2

E

+ 2E

e

r

+ e

r2

1

2

1

1

(0)

(0)

2

4

кладсереднi1до значенняŸ41): з

о¨ воднево¨

1

1

=

,

1

1

Пiсля елементарних об÷èслень=

знайдемо

.

r2

aB2 n3(l + 1/2)

äå

E(1) = −

me4

×

α2

n

−

3

,

2~2n2

n2

l + 1/2

4

36*α = e2/~c 1/137 стала тонко¨ структури.

563

me4

α2

n

3

ðiâíiâ åíåð

i¨ ïðè

çàäàíîìó

головномó квантовому чис

лiСистему

Enl′

= −2~2n2 1 + n2

l + 1/2 −

4 .

nПiдрахуназивають¹мо ртîзщепленнянкоюструктуроюенеретичногоенеретичногорiвняз спектра.

í â

n = 2 äëÿ ñòà-

2s

2p (äèâ. ðèñ. 60):

= E21′ − E20′ ,

me4

α2

шим,В явля¹ться, о нак, що експериме=

òàë.ь е значен я ¹ значно мен-

~2

12

натепериклад,онадослiдженнiв iвнянняатомiякпiониводнюКляйнаруху.Зокре.Вон€åçîа,рдоописузадаí ча,¹Фокабезспiновiякувиписалирозглянулчастопсатинк

мезоннийАпараграатом)повер. емосьà,

до знахомуπ-ìженняiв очногополiатомнзна х

деренер(πi¨-

початку. Точн рiвнянрозкриттíя Кляйнакуло iвським€ордонапотенцiаломФока, як ми

íà

E′

елементарного

â

квадрат

= e /r ïiñëÿ

ϕ 2 ìà¹| |

вигляд:

2

e2

(E′ −eϕ)

pˆ

E′

e4

E′2

îãîîæрiвннаостзвестианнiйÿíня члввдîåäåннерелятивуквамо енердратниiюстськодх óæêਠçàäхачiперенесемопро атомвводнюправу.

ЙогоцьмДлячастину

− r

1 + mc2 − 2mc2r2 − 2mc2 ψ = E′ψ.

2m

E = E′ + E′2/2mc2

2

2

2

отримав А. Зоммер ельд у межах старо¨ квантово¨

механiки5643Цю .ормулу вперше e

= e (1 + E′/mc ).

Кляйна €ордона Фока.

Шредин

Крiм того, пiсля перех ду до радiальн го

п значення:

2 îá'¹äíó

з вiдцентровîþ åíåð i¹þ

вводимо так

доданок 1/r

¹ìî

Ÿ41,

рiвняння

åðà

2

2

4

2

E çíàõ äèìî:

тобто вводимо

å ~ l (l

+ 1) = ~

l(l + 1)

−

e /c ,

ективне орбiтальне квантове число

викга¹тьсяIз

l = −1/2

p

α = 0

l = l

перед зiркоренем

− α ,

беремо знак + , щоб при

2

2

ìи iрелятитомузвждляiстськеенерзрукамиiвнянняотриматиi¨кишеняхточнозбi. -,

ористовуючинерелятивiстськиовимвеличинаормулуБора

E = −

,

2~2(nr + l + 1)2

nrормулурадiальнезiрковихквантове

nr

= 0, 1, 2, . . .

величинсло,да¹ квадратне рiвняння. Пiдстанаовкаенерв цюi

E′:

E′

E′

2

me4

2 .

E′ 1 + 2mc2

= − 1 + mc2

2~2 n + 1/2 + (l + 1/2)2 α2

r

p

−

Çâiäñè ìà¹ìî

хiдприч

2 = 1 +

2

1,

E′

α2

−1/2

вантовеä мунерпåлятивiстськредоренемо¨ теорi¨iксу¹моризнак + , щ б забезпечити пере

p

mc

nr + 1/2 + (l + 1/2)2 − α2

−

онстанти тонко¨ стру тури

α = 0. озклад

степенями

ê

число

α з урахуванням того, що головне

раКеплмули

n = nr

+ l + 1

æåíipr äîpϕ змiнрадiальнийих

p

2

e2

а азимутальний узагальненi

iмпульси,квантуванняанонiчно спря-

Çâiäñè ìà¹ìî

E =

p2c2 + m2c4

− mc

− r .

p2

e2

(E + e2

/r)2

ратЯк iмпульсунерелятивiстськполярнихомóêîвипадкуординат= E + à(äèâõ:+ . Приклад 3.до Ÿ30), запису¹мо квад-

2m

r

2mc2

pr2

+

pϕ2

= E +

e2

+

(E + e2/r)2

2

2mc

äå ,

i отже, ¹ двi умови

Áîðà

Електронельда:ма¹ ,два. ступенi вiльностi,I

Зоммер

r

ϕ

2

Z r2 s

2

2

2

I pϕdϕ = 2π~nϕ,

(äåò

pr dr = 2π~nr ,

nòîði¨,ϕ =Другальнiше1ÿê, 2,прохумова3, öå. . .обговоренодить.nϕ 6= 0

-

Числоквантуваннячерез ядро,Прикладiма¹томузаакий,класщодовигцеŸ44)чнимиляд:вiдповiда¹.уявленнямиаятниковiйценеможливотра¹к

566

2

2m E −

pϕ

e

(E + e /r)

dr = 2π~nr ,

+

+

2mr2

r

2mc2

r1

äå

âîãîr1

Z r2 s

pϕ2

e 2

äå (ïîäiáíî, ÿê i 2в основному2m Eтекстi

ïàðàãðà+

à) drìè=ввели2π~nпозначенняr ,

r1

−

2mr2

r

= E 1 + E/2mc2

E

,

pϕ2

= pϕ2 − e4/c2,

òà¹ìî

e

2

=

e

2

2

1 + E/mc .

няннямУзнайденийцихдляпозначенняхнерелятивiстськамрезультатнашаогоумоваiнтевипадкуквантуваннярування:з Прикладуормально3доŸ30збiга¹ться.Томувикорисзрiв-

(

)

q

2 −1/2

E = −2(pϕ + ~nr )2 ,

äå

E 1 +

2mc2

= −

2~2

pnϕ2 − α2 + nr 2 1 + mc2

,

отрималиα = e2äëÿ/~c енерсталаi¨

тонко¨ структури (назву ввiв А. Зом

åð åëüä). Ìè

E квадратне рiвняння,

якого знах димо

2

2

вiстськПеред коренемомувипадкуE ìè= mcзаприiксували1 + α çíàê nϕ −

αiз тих+ nrмiркувань,− 1щоб. у н реляти-

ïëþñ

1/c2 , то отрима¹мо:

E

=

E(0) + E(1) + ·· ·,

E

(0)

=

−

me4

,

n

2~2n2

E

(1)

= −

me4

×

α2

−

3

,

2~2n2

n2

nϕ

вiдмiнуяимоп отрщеiбнодi ресталiзробитиульвеличини:юютьату,збiга¹тьсяакякийзауважда¹зексперименттеорiяення.Упр

-

= me4

/32~2α2

льновихчасторвимiряноюдонахФокумовавеличиною.Уквантуванзв'язкузамiнитина

öквантiкласичному

0 ≤ νϕ

< 1, 0 ≤ νr < 1

величинива нядорiвБора Зомм р ельдамоментудля дновимiрного. Припадкувиведеннiмибачили,правилщо

1/2. ßêùî âç òè öå

уваги, то nϕ ïîòðiáíî

nϕ = l + 1/випадку2 (то нiшква ратив.

äî Ÿ44)руху.Звiдсидорiвню¹ма¹мо, що

Прикладiкiлькостi

çамiсть т чного значення

~2(l + 1/2)2

ßêùî i

~2l(l + 1).

nr

замiнбути),донаФокnr + 1/2е, то головне квантове число n = l + nr +

повинноЗоммерорiньго €щоборквадратнельдамеххвильовеанiкиŸ. 69ормулаа..йОтжйрiвняiвнутеорi¨Зоммерцiормулiííÿнеточностiвiдносностi,задДiракаельдадлявольнялозбiггамiльпривоа¹тьснеобхiддятьтоносз оврезульàíàдо оiточнпринявноатî¨ì-

1добципитеорi¨ормули(якДлятиКляйнаквантово¨

1928

H =

p

p

iмпульсом2

2

нього ираз, лiн йний за

p c + m

c

зробитикоордобуваннянатиП.А.будутьМквад.Дiðàвхктногоовiди-

тикореня:в рiвнянняроцi.Вiн. Тзапропонувавдiчасовi.йЦепросвдалосьоровiспосiб

Невiдомi величини

H = (αp)c + mc2β.

÷íîñòèíквадратаку,ицьоготовиразурелятивiстськβ . Квекторiмдинатиα

ãîïîëÿ,ãàìiднорiдностiñêiâèííiëüтокиз миiанаахдитисьрозгляда¹моквадатовiзумовивiльправо¨рiв-

îîð âîãîê

простору й часу, íå

мають залежαòèâíiñòüâiäβ, унаслiд

умовуук -

длязувалавизначебнаíàíÿ öèõ íåâiäñèëîмих величин:r .часуОтже,t. Такмима¹мозалежнiстьаку

àáî

p2c2 + m2c4 =

(αp)c + βmc2 2 ,

2

2

2

4

2

2

2

m

2

4

3

Îñêiëüêèp ciмпульс+ m c

= (αp) c + β

c

+ (αβ + βα)pmc .

рiвняння:

p ¹ незалежною змiнною, то отрима¹мо такi

568

p2 = (αp)2,

iâтьсяiдзначатипершумiжумовусобою,βценесимволамичерезкомп

раторантичслами,

β2 = 1

Якщо можнапiдiбрати

αβ + βα = 0.

еличини

α i

èчи матрицями.Отже,оскiльки.щонеявнопереставляюмирозписатибудемо-

αˆx, αˆy , αˆz âå òîðà αˆ ,

àáî

px2 + py2 + pz2 = (αˆxpx + αˆypy + αˆz pz )2,

px2 + py2 + pz2 = αˆx2 px2 + αˆy2 py2 + αˆz2pz2 + pxpy(αˆxαˆy + αˆy αˆx)

невiдомимито знах димоматрицямидесятьспiввiдношень, якi повиннi задовольнятись

+ pxpz (αˆxαˆz + αˆz αˆx) + py pz(αˆy αˆz + αˆz αˆy ),

ˆ

αˆx, αˆy , αˆz òà β:

2

βˆ2

= 1,

αˆx

= 1,

2

= 1,

αˆ

y

2

= 1,

αˆ

z

ˆ

ˆ

= 0,

αˆxβ + βαˆx

ˆ

ˆ

= 0,

αˆyβ + βαˆy

αˆz βˆ + βαˆˆz = 0,

αˆxαˆy + αˆy αˆx = 0,

αˆ αˆ

+ αˆ αˆ

= 0,

x

z

z

x

αˆyαˆz + αˆz αˆy = 0.

569

iндексiв, що й матрицi ˆ

0 2

1 2

2

2

(γ3)2 = −1. Îòæå:

β, αˆ

, à (γ )

= 1, (γ )

= −1, (γ )

= −1,

äå

γµγν + γν γµ = 2gµν ,

gµν . Уведемо

ак ж оператор 4-iмпульсу

Ó öèõ

означеннях

µ

Дiракалярнийзапишемодобутокак:

рiвнянняpˆ = ~∂/∂xµ.

µ

4-векторiв

Його операторна частина,γÿêpµñêψ = mcψ.

µ

0

òîíiàíîìíà

iвнянняБеззаено¨iнимозусиль¹¹частирелятивiстськиiнварiантомузгальню¹мозвнiшньомущодоiнварiарiвнянняперетвореньелектромтнимДi. акЛоренца,гнiтномунавипадокотже,полiруху.Аi всеза

частинки,

pˆ íà pвекторнийˆ −eA/c

~∂/∂t

~∂/∂t −eϕ, де e заряд

прикладтивiстськПерех, ieϕéä òåîði¨:äî). ñò

рима¹мо рiвнянняA, ϕ Дiрака з гамiльтскаляр

ий потенцiали поля, i от-

де скалярний

HD

= αˆ , pˆ − c A c + eϕI + mc β,

добутокˆ

e

ˆ

2 ˆ

αˆ pˆ

+ αˆy pˆy

.

e

e

e

e

− c A

= αˆx pˆx − c Ax

− c Ay + αˆz pˆz − c Az

Н далi ми не будемо випèсувати яв о здiиничнуéсню¹мо,матрицю

âëàñíi

ˆ

ж ючи ¨¨ присутньою при величинах, якi не

матрицяминереля(якI, вва

ацiонарного рiвняння

ÿê i â

-

дляТодiгамiльтонiанаодержу¹моДiрака:рiвнянняψ(q, t)íà= e− ~ Etψ(qóíêöi¨).

та власнi значення

ˆ

571

HDψ = Eψ.