Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

κ =

4πωα′′

2π2e2N

γ/2π

γ/2π

множиУрахувапiдсцейнняумовуваннявиразтемпературно¨на й овiрнiстьзалежностiреалiзацi¨

çïдiйснимо,очатковогоякщостанупо-

κ = mcn′V

k(k=n) fkn (ωkn − ω)2 + (γ/2)2 + (ωkn + ω)2

+ (γ/2)2 .

X

ïiäñóì ¹мо за iндексом

ρn

ùîiндекси

ïîìiíÿ¹ìîn. При цьомумiсцямивдругомуiурахуваннямдоданку того,нiмi

ωkn = −ωnk,

fkn = −fnk,

остаточно знаходимо:

ρk /ρn = e−~ωkn/T ,

2π2e2N

e−~ωkn/T )f

γ/2π

Якщоспектκ = частотральнié

ρ

n

(1

−

.

mcn′V

n k(k=n)

6

X X

íюваннясок,доданок,як правспонякило,таннихй зменшунесутт¹вий,перехîдiвпогли

унаслiдокзi збудженихня,ураховутого,а¹тьсстщовí

iвесокатомiвуви

ЦейпромiДругийв κ =

mcn′V

ρn(1 − e−

)fkn

(ωkn − ω)2 + (γ/2)2 .

542лемЯк бачимосп

~ω/T 1

å

л ктронiв

атома пiд

отона

îòî

ичним

àáî

ñòî

отое ектом. П оцесом, зворотним

î

й ектом,ного

òîìà:

при зiткненнi електрона

ñèñò ìà ïå-

перехдода

ç

випромiнюван

ÿì

тонiв у станиназиваютьусе нижчийономи

значенняìè

òî åêòó

äi¹þðàäiàöiéíà

îìáiíàöiÿ

åëåê

òà

åíåð i¨ àæ äî

'язанийос овного стану.

ис. 58. Квантовi переходи при тое ек i.

озгляньмо задачу розрахунку

îòîå åêòó. Íå

E1s

òåðìiâ

K

ценердою

оболонка),i¹ю

(застанкласиелектромагнiтногоiкацi¹ю рент енiвськихполязад ¹ться-станiамплiтуз

óíêöiþ

iвняннi

|ç0åíåð, . . . , 0i¹þ, Nk,α

=

÷à¹,

1 0, . . . , як опису

поляризацi¹юнаявнiстьдного отона

чатковий стан,системихвильовиматомве торомплюсполе

α

àê, ùî ïî

~ωk

k

Кiнц вий'язаномуст| iñè= |1åìèsi|0, . . . , 0, Nk,α = 1, 0, . . . .

òðîí ó åç

ñòàíiâçà¹ìî|fåíåði опису¹i¹ю

вакуумний стан поля й елек

2

-

544йонiзацi¨ликоюхвилеюда¹мохвиль.як.Отже,.Це

p

/2m

точну хвильову ункцiю неперервного спектра. Таким чином:

кiнцевому

де хвильова ункцiя електрона|f i = |pi|0,â. . . , 0, . . . ,

ñòàíi:

E0

виразi

àãнiтного

Випишiмо вiдповiднi енер|pi¨:= √

V

E(0)

=

E

1s

+ E + ~ω

k

,

0

E(0)

=

p2

+ E0,

f

2m

ймовiрностi поляквантового. переходу за

одиницюУ енерзагальномучасуiя вакууму електродля

2π

(0)

(0)

wi→f =

|hf |Vˆ |ii|2

δ Ef

− Ei

~

2π

e

2

2πc2~

2

w →f =

~

mc

hp|eikr(ek,αpˆ)|1si

p2

забезпå÷ó¹ виконання закону збереження енер i¨:

p2

35 I. О. Вакарчук

− ~ωk − E1s = 0,

545

2m

нiвЯкщо( отонцювеличинунасодин)подiлитиw =на густинуw . падаючого потоку ото-

вання за

jðiвняннi

w вiд пiдсумову-

îòîå åêòó

j = c/V , то ми отриму¹мо повний перерiз

Перейдемо ста дартним чиномσ =ów .

äëÿ

p до iнте рування:

äè åðåíöiàльний перерiз

Уведемо

руваннσ = c (2π~)3

Z w →f dp.

V

V

äëÿ iíòå

ÿ

с еричну систему координат:

Звiдси знаходимоσ = Z

dΩ c (2π~)3

Z0

∞ p2w →f dp.îòîå åêòó:

V

V

dσ

V

V

∞

2

Нам залишилось îá÷ислити матричний елемент

dΩ

= c (2π~)3 Z0

p wi→f

dp.

546

hp|eikr(ek,αpˆ)|1si = h1s|e−ikr(ek,αpˆ)|pi .

ìà¹ìî:

pka2

p

2

2

1 + q2a2

=

1 + a2

+ a2k2 −

cos θ

~

~

~ω

~ω

v

äå

=

1 +

−

cos θ ,

I

2mc2

c

ного перерiзу знаходимо:

~ω mc2, то для ди еренцiаль-

dσ

e2

(ek,αp)2

I

4

3

Одиничний

= 32 поляриçàöi¨a p

.

(1 − vc cos θ)4

~ω

dΩ

mc ω~3

а хвильовий вектор

ek,α спрямуймо взд вж осi x,

k уздовж осi z. У с еричних кîординатах

x-компонентазимутiмпульсу електрона

äå

px = (ek αp) = p s n θ cos ϕ,

ϕ

альний кут. Остаточно

dσ

e2

ap

3

I

5

sin2

θ cos2

ϕ

2

îò, онанайiìî(

вiрнiш , що електрон вилiта¹

вОтже,напрямкуне

ппарадоляриз= 64êàöсальнai¨

−

.

dΩ

~c

~

~ω

1

vc cos θ

4

п ширення тона (

θ = π/2,

ϕ = 0). У напрямку

нцiальногозi отоелектроназбiльшеннямпеерiз

åð

нийзбiльд

θ = 0

√

dσ/dΩ (I/~ω)7/2.

p

2m ω

ðîçñiÿííÿ (ïðè

Повний перерiз

256

e2

I

5

~ω

− 1

3/2

σ =

πa2

,

~ω ≥ I,

Повнийσ =перерiз0, îòîå~ω < Iåêòó.

глинання548

електромагнiтного випромiнюванняσ да¹ змогу знайти.Алекцеое лишеiцi¹нтдинпо-

iз механiзмiв поглинання. Пiд

с проходж

ня електромагн

ãî

ипромiню ання через речовину й

î

те си нiсть зменшу¹ть

ÿ

на лiдок процесiв як

линання,

òàê

ëi

ня. Iсну¹тноак

ñелективне поглинання, або

ëèíàííÿ

i¨, ÿê

iäáó

âà¹òüñ

íà

ïåâíié

частотi при перехпогдi мiж

ди кретними рiвня и

званег ання. Поглинання

íåïåðåðâному спектрi

îìà

êâà

òîâî¨

отое ектом, компто

iâñ êèì

ðîçñiÿ

ням на вiлтрьних

(äèâ.

ïîã

днiй парагра ),iюваеперервне по

процесами:ëектронахсистемиу воренням електронно-позитрон их пар. Кое i

ÿ iç ñóìè

трьщох

доданкiв, к жзумовленеяких дорiв

да¹тьсв ницi об'¹му. Внесок у коезмiðíiц ¹нтiстьпоглинàíня отоелекòðè÷-

поглинання,

ì๠ð

оберне о¨ довжини, скла

ю¹ добутковi е ективноговiдповiднихрер

çó ïð öåñó

êiëüêiñòü à îìiâ

мiститьцi¹нтогое ектудваелектрони,дляN атомiвдорiвню¹зурахуванням

того, що K-оболонка

N

512

e2 N

~ω

3/2

I

5

κ

=

2σ =

πa2

I

− 1 ~ω ,

~ω ≥ I,

Залежнiстьκ = 0, величини~ω < I.

κ вiд частоти ω зображена на рис. 59.

ис. 59. Залежнi

ь кое iцi¹нта поглинан я електр

агнiтного випро-

.

системи атомiв отоелектронокремомукiнцевому ст

çíà

мiнювання вiд чаñòîòè.

îâ íîìó

õ ä

розглянули явище отое екту на

тьсДляв полi не лише вл сного

йона, а вза¹модi¹iзольсiманi

íàâ

атомiМик л шнiми атомами чи йонàми, i його хвильова

óíêöiÿ, âiäïî-

549

â

P

електронтого,йтронно¨прометопогture)не

ω = kc

-

-

òiëàõ.

поглинан я

Приклад. EXAFS-спектроскопiя. Оцiнимо зсув к

озрахоточеннiâó¹ìî

ω I/~.íàì

äëÿ

обчислення

κ матричний

елемент

ê kr у першомстзбурюючихану наближеннiелектрона,частинокякий. Заперебува¹теорi¹юминезбуреньпозналишеча¹мов(дивплiхвильову.Ÿ45),свогохвильоваатома,унк-

ацiюунйв−

(ek,αpˆ)|p),

де круглими дужками

|p)

h1s|e

öiÿ

X

äå

p) = p +

hp′|W |pi

p′ ,

|

|

p′

p2/2m − p′2/2m

|

(p′6=p)

дi¨координатою|pi хвильова ун öiÿ електронадинаiзольованому атомi з номером a

рона¹мо,(з оорщо екранованийòî÷êîþ ¹

плоск ми хви

ÿìè;

енер iя вза¹модi¨,ами,елеквваж

|pi

′

W

Ra

елементинкашованими.Для

|p i

äí

сортно¨ псевдопотсистем

ма) з навколишнiми час

r вiдносно èядраличинасвого ато

P

W =

електрона

ак званий

àõ

åíöiàë âçà¹ì -

j≥1 w(|r + Ra éî− Rj |) wðîçò

Отже, тричний

Rj .

h1s|e−ikr(ek,αpˆ)|p) = h1s|e−ikr(ek,αpˆ)|pi

550

+

X

hp′|W |pi

1s e−ikr (ek,αpˆ) p′

.

p′ p2/2m − p′2/2m h

|

| i

Згiдно з означенням, кое iцi¹нт поглинання пропоцiйний квадратовi модуля

öü

матричного елемент .

цiкавлять

еликi значення хвиль

âåê

близькi

p

p′

p

пiдсумовуванжна винести матричн й елемент

тораденогоk = ω/c, тому з-пiд знакНассуми за p′

ового

1s e−

kr

(ek,αpˆ) p′

p′ = p

h |

äî

|

i

ïðè

~k p′

цей матричний елемент (ek,αp′)/ω4

p′,

ливийтекс i,

. Справд , к

идно з його явногоправомiè ëÿäó, íà-

ог яду на те, що головний внесок при

еквiвалдаватимуть векто .иА з

величиниДопит

Чит( наменникч,зробившиблизькийдетальнiшийдону

нання знах димоκ, i ó çâ'ÿçêó ç öèì äëÿ вiдносного зсуву кое iцi¹нта погли-

(ek,αp′)

iíòå

ування ç кутамицей отрима¹моматричнийрезуелементат, ,змож

п нтнийреконатись,замiнiщо пiсля

Тепер кое iцi¹нт поглинання:

X

p′ íà p.

2

äå

κ

κ0 1 +

hp′|W |p

,

p′

p2/2m − p′2/2m

(p′6=p)

потрiбнокстi0 цьогокое парагрiц¹нт поглинаа. З урахуваняiзольованогонямтого,атома,щохвильовувиписанийункцiювосновно у

взяли в першому нàближенíi çà åíер i¹ю збурення

|p) ìè

брати i

X

W , ç òi¹þ æ î÷íiñòþ

Матричний елементχ(p) =

κ − κ0

= 2Re

hp′|W |pi

.

κ0

p′ p2/2m − p′2/2m

XZ e−ip′r/~

(p′6=p)

X

′

e pr/~

wq

q(Ra −Rj )

hp |W |p =

√

w(|r + Ra − Rj |)

√

dr =

V

e

Z

j≥1

j≥1

wq = e−iqRw(R) dR,

~iз номером′

iмпульс передачi. Узявши до уваги те, що видiлений атом

q = p

− p

a ¹забудь-яким з усi¹¨ сукупностi, цей матричний елемент можна,

пiдсумувавши

де структурний актор конденсованого′

òiëà

− 1),

hp |W |pi = wq (Sq

Тепер,

Sq = |ρq |2,

ρq

=

√1

XN

e−iqRj .

X

N j=1

χ(p) = 2Re

1

wq (Sq − 1)

.

551

V

p′

p2/2m − p′2/2m