Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

íóëü:

ˆ

ˆ

L ç HD, то матимемо

ˆ

ˆ

~

[σˆ

ˆ

àáî

[ L, HD] +

2

, HD] = 0

Виходить, що оператор Lˆ

à,

~

~

ê

аль iаномй моментДiракˆ ˆêiëüàêотже,остiрухувiн¹

мутуЯкщоляда¹мозорбiтгамiльто

J =

L

+

2 σˆ

iíòå

ð ëîì ðóõó.

ðóõà¹òüñÿ,îçã

точастивел÷èíàку в системi

оординат,

ˆ

à,

якiйL вон= 0 яктобтоцiлемине

àстинки,кимчином,або,

ˆ

~

÷Терез

якце кажуть,¹нещоспiнiнше,J =чаñяктинкиσˆ .власний.Йогомехапозíаiчаютьний моментакж

2

óíêöié

[ˆsx, sˆy ] = i~sˆz ,

[ˆsz , sˆx] = ~sˆy ,

582цьогонiякi

[ˆsy , sˆz] = i~sˆx,

2

~2

2

~2

2

2

2

2

3

2

1

1

виплива¹,руху частинкищо власвизнача¹тьсерелятивiстськзначення кваквантäратдiванимвласчиíñоголоммоменту

кiлькостiЗвiдсиˆs =

4

σˆ

=

4

(ˆσx + σˆy

+ σˆz ) = ~

4

= ~

2

2

+ 1 .

ðàæà¹òüñÿUчотирирядковою,яказалежитьвiдматрицеювнутрiøíiõ-стовпцемступенiв вiльностi i зоб-

Хвильова ункцiя

ˆ

ˆ

2

HD = (αˆ pˆ)c + βmc .

спiновихрозумi¹моiнних,Пiд

щоψ =представляютьψ(q) залежитьвнутрiшнiяквiдпросторових,тупенiвiльностiакiвiд.

âiëüíà, òî ¨¨

плосккiлькио¨хвилi:частинка

q

хвильовапросторовi,ункцiяi пропорцiйнаспiновiзмiннiдо.О

e pr/~

Функцiю

ψ(q) =

√

U.

V

U1

U =

U

,

U2

583

3

U4

+

Запишемо тепер наше рiвнянняU U = â1.такому виглядi:

0

(σˆ p)c

+ mc

I

0

U = EU.

Нехай

(σˆ p)c

0

0

I

i ми отриму¹мо систему

×

ϕ

χ

матричних рiвнянь

U äâîõ= const

,

2

(σˆ p)cχ + mc2ϕ = Eϕ,

àáî

−

mc χ = Eχ,

(σˆ p)cϕ

ника:умовоюМа¹мо

(σˆ p)cϕ

(E + mc )χ = 0.

2

σˆ p)cχ = 0,

(mc

− E)ϕ + (

2

−

584

mc2 − E

−

(σˆ p)c

2

= 0.

(σˆ p)c

(E + mc )

v

Тобто при пе

еходi до нерелятивiχ ñcòñüêϕ. ¨ òåîði¨ ïðè

íó îëü âiäiãð๠óíêöiÿ

E = E+ основ-

åíåð i¨

ϕ, à χ ¹ малою. Для вiд'

них значень

E = E− = −E+ з першого рiвняння отрима¹ìî

(σˆ p)cχ

= −

(σˆ p)cχ

Тепер при

ϕ =

.

E− − mc2

E+ + mc2

c → ∞, E− → −mc2 бачимо, що

v

теорi¨ основну роль вi-

дiгра¹отже, приункцiяпереходi до нерелятивϕ −c χ

iñтсько¨

Знайдемо сталуχ. нормуваннядругоговиразi для

то, визначаючи ункцiю

U . ßêùî E = E+,

χ ç

рiвняння, ма¹мо:

Пiдставимо

U = constв умову

(σˆ p)c

.

цей вираз

нормування

×

E+ + mc2

ϕ

U +U = 1 i знаходимо

Перемножуючиconst матрицi,ϕ ϕ ìà¹ìî

2

(σˆ p)c

= 1.

+ (σˆ p)c

ϕ

2

+

| ×

E+ + mc

E+ + mc2

p2c2

Виберемо

|const|2

ϕ+ϕ +

ϕ+ϕ = 1.

ϕ так, щоб вона була нормована на одиницю:

+

множника

Звiдси держу¹мо з точнiстюϕ äîϕ =азового1.

586

const =

1

.

p

1 + p2c2/(E+ + mc2)2

òèíê íà âiñü

σˆ2). Îòæå,

σˆz

÷àñ-

z (а тим самим

З виразу

~

σˆz ϕ = ~mϕ,

m = ±1/2.

2

ïðè

ϕ =

ϕ1

ϕ2

ϕ1 = 1, ϕ2 = 0 ми отриму¹мо стан спiн уверх

à ïðè

ϕ↑ =

| ↑i

=

1

,

0

ϕ1 = 0, ϕ2 = 1 ìà¹ìî ñòàí ñïií óíèç

| ↓i

0

1

ϕ↓ =

=

.

E = E+:

Виконаймо простi дi¨:

1

0

1

2

UE+,↑ =

.

p

E+ + mc

0

σˆ p

+ σˆy py

1

= σˆxpx

1

1

+ σˆzpz

1

587

0

0

0

0

=

px

0

1

1

+ py

0 −i

1

1

0

0

i

0

0

+

pz

1

0

1

= px

0

+ py

0

0

−1

0

1

i

Таким чином,+ pz

1

=

pz

.

0

1

.

АналогiчноU знаходимо=

1

pz c

E+,↑

2 2

E+ + mc2

1 + p c /(E+ + mc )

p

2

(px + ipy)c

E+ + mc

1

розгляду ви

0

.

енерПереходимоi¨ U =

äî

(px

ipy)c

p

1

pzc

тепер

падку

вiд'¹мних значень

E+,↓

2 2

2 2

−

2

1 + p c /(E+ + mc )

−

2

E+ + mc

E+ + mc

ϕ i пiдставля¹мо в U :

−

(σˆ p)c

χ

.

χ

Ç

нормуван

+

+

знахумовдимо сталу нормування,U U = 1,ÿêà ìà¹χ òîéχ =самий1 вигляд, що i для

E+:

Знову головну constóíêöiþ,=

якою тепер1¹

.

кцi¹ю оператора спiну

p

χ, вибира¹мо власною ун-

1 + p2c2/(E+ + mc2)2

частинки

sˆz :

~

σˆzχ = ~mχ,

m = ±1/2,

2

χ↑ =

| ↑i

=

1

,

0

χ↓ =

| ↓i

=

0

1

.

спiнори:Повторюючи кроки попереднього випадку, знаходимо вiдповiднi

−

pz c

c

1

U

=

2

,

p

1

E−,↑

2 2

2 2

− E+ + mc

1 + p c /(E+ + mc )

0

U

=

1

pzc 2

. 589

− E+ + mc2

0

p

1 + p c /(E+ + mc )

1

Почнемо розрахунок з

j =

c

U +αˆ U.

V

x-компоненти:

0

0

0

1

U1

jx =

(U1 U2 U3 U4 )

U2

V

0

1 0 0

c

1

0

0

1

0

3

U

1

0

0

0

U4

U4

2

=

V

1 + p2c2/(E+ + mc2)2

(U1 U2 U3 U4 )

U3

U1

c

1

Тепер=

обчислимо

êонкретизу¹мо задачу(iU1 U4 + U2 U3 + U3 U2 + U4 U1).

V 1 + p2c2/(E+ + mc2)2

jx

енер i¨ частинки зi спiном, напрямленим уверхдля додатних значень

U = UE+,↑:

j

=

c

1

(px + ipy )c

+

(px − ipy )c

E+ + mc2

x

V 1 + p2c2/(E+ + mc2)2 E+ + mc2

=

c

1

V 1 + p2c2/(E+ + mc2)2 E+ + mc2

=

(E+ + mc2)2pxc2

pxc2

590

=

.

2 2 2

2

V [(E+ + mc ) + p c ]

V E+

Цей вираз

pxc2

jx = V E+ .

нерелятивiстськiй ìåæi

переходить у добре вiдому ормулу для густини потоку

2,

c

→ ∞, êîëè E+

= mc

jx =

px

äå

= ρvx,

V m

ρНехай= 1/Vтепергустинаенерiячастинок, а vx x-êîìï

нентвекторашвидкостi.

ража¹ стан спiн уверх . E = E− = −E+

i ñïi

U = UE−,↑ çîá-

Äëÿ òi¹¨ æ

легко отриму¹мо

x-компонеíòè

потоку

Отже, для будь-якого

pxc2

jx = −V E+i¨.

значення еíåð

E можна записати

а у векторнiй ормi

jx =

pxc2

,

V E

ч стинки, що несе заряд

xO y

н прямленому вздовж осi e â

електр чному полi E,

y,

такими початковимè умовами:

iвнянняt = 0ðóõó:,

x˙ = v,

x = 0,

y˙ = 0,

y = 0.

îçâ'ÿçêè:

mx¨ = 0,

my¨ = eE.

x = vt,

591