Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

ðiâíy = 2mE t .

Виключимо час i знайдемо

ÿííÿ2 òðà¹êòîði¨

Запишемо його через початковуy =

E

x .

частинки

eåíåð2iþ

2mv2

y

ðiþ=

E x

.

E = mv2/2:

ç äîä òíîþ

e

2

i¹юЯкщо розглянути тра¹кт

руху частинки

åíåð

4E

ç òðà êòîði¹þ

î заряду

= |e|, точастинки,вбiга¹ться

E = E+

iдляздодатнимвiд'¹многзарядом e+

íó åíåð iþ

e− = −|e|

ÿ é ì๠âiä'¹ì-

E = E− = −E+

ðà¹êòîðiÿòðà¹êòîði¹þ

iз зарщоядома¹e

протилежнийi вiд'¹мною енерзарядi¹ю збiга¹ться. А

частинки

(−e) äîäàòну енер iю. Це iлюстру

ðèñ. 61.

ис. 61. Класична тра¹кторiя руху

в електрич

ïîëi.

Другий приклад це рух заðядже о¨ частинки в однорiдному

магнiтному полi напруженостi H. частинкиiвяння руху:

Îñêiëüêè

p˙ = e

[vH].

c

v = const, то з виразу

p =

mv

=

E

592

v

p

c2

1 − v2/c2

шенняЗнову ми бачимо, що закониv˙

=ð

ec

õó[vзалежатьH].

лишеспостережувальностiвiдзнаквiдно

E

e/E: тобто рух

âiä'¹ìíîþ åíåð i¹þ öå ðóõ

арядом

(íîþ−eÎòæå,).åíåð

таку iнтерпретацiю

гiпотезу

ìèi¹þ æåìî äàòè

äëÿ

íiâ âiä'¹ì

перед

E−

-

÷ÿêàермiпринципомдостщоПiсляинакатною-дочастинки,енергоприродицихзздодатноювiд'¹мноюi¹юенерануПаулi,попереднiхзайнятi.i¹юакi,вакуумуˆхiзичного¹енерможна¹лишеякенервiльнчастпростихеле.Вакуумуi¹ю,ркуваньЩi¹ю,розглядатиднатрони,мизайнятi,алебстору,ами.ДiракчасуникнутипитПричзсСловапротилежнимто(минкормуувiвякомуреяк.кпролю¹моМиДiрака),жномуякщоозначенняани,всiзновумовазарщоанi,ядомопинилисьниописуютьвсiвакуумуйдеiззгiдн.Дiравiд'про

ç¹ìíîþ

а¹мницею

äè

.

òå, ùî âñi

ç

вiд'¹мними

наченнями нер i¨

¹ íå áiëüøå íiæ

закли

àí-

ня, оскiльки виника¹прирояд

àíü ïðî

åíåð iþ,

áåçì æíèé

ÿä, ñòiéêiñ ü i

.ä. ÿêi çà

шаютьсябезмежнувiдпо iдi.

Îòæå, дух По ожнечi

íå ò

просто схопити .

âàí-

ßêùî ïiä äi¹þ çîâí øíiõ ñèë îäèí

електронiв здiйсню¹

товий перехiдзар моря Дiракакв

зайнятi

5

стани додатно¨ енер i¨, то

ç додатí

þ åíåð i¹þ

додатним зарядом (див. рис. 62).

частинку

âiëüíå

èé ñòàí ç iä'¹ìíîþ åíå

i¹ю поводить себе як

à

Дiрак ототожнював

цi стани з протонами. За його словами,Спочату ой

5

Ìå iñòî åëü:

. . . Ти зна¹ш жах порожнявих просторiв

Фауст:I вiчне безгомiння самоти?

. . . Я й сам незгiрше знавсь на тому

Вивчав пусте, навчав пустому,

I

пильнiш заглиб

ювався в рiч,

(É.-

Òùîáiëüøå â íié

являлось

протирiч.

. €ете Фауст . Переклад М. Лукаша.)

593

38 I. Î.

Вакарчук

хiд i отримав у 1936 роцi Нобелiвську премiю за вiдкриття

òðî .

¨õ

датнимиклад, акий перехiд можелектронавiдбуватисьсп ичинеíèй отонами,

оловною ар ументацi¹ю для збереж

ðîçâ'ÿçêiâ iç âiä'¹ì

åíåð iÿìè ¹

äè

моренняДiрака

стани позидо

енер iями. У класичнiй механ цi, де енер iя набува¹

еперервних значень,квантовiперехакi

äè

çi ñòð

бками ¹ неможливи

. Квантовий перехiд

дi акiвського моря станiв iз

âiä'¹ìíîþ åíåð i¹þ ìîæ

ðiçí

ìè øëÿõ

. Напрлише

-

âорю¹ати,зберенерiаналiзупередбаякженнярiга¹тьсзв'язанийякий,i¨.првиглядiЦемиякчивенерпроцесвибрало,iiстзвоакеан,i¨ная

ецьикненняелвимага¹,слектронно.електронноогозауважимо,позитронi¹мтiлачастиноквiдповiдно.--позитроннаПерш- що.Пiзнiжхоча.видiленнямАдо.параанiгiлюМдляпаризакону.анiгiляцi¨,Дiракутцього.Спост

å

електрон,процес,отони,називаютьтр

2

Насамкi

застосовнапромiнювякийдваiмпульсумийротнийнародженнядночасне

ÿêùî

енер iя бiльша, нiж ширинапозитронно¨заборонено¨ зони 2mc

ëè

але зрозумiло, що ця iнтерпретацiя теорi¨ Дiрака

вирiшивнесподiванiпевною.й.ловилиПрокДiрак,мiроюнуврибурiо¨-

âiëüíî¨о¹су¹тьснувавнiчрибалокмолодбурярелятивiстськ

рибалок

чпроблемишення,àстинкизапропонованаНаПроВiдступостровiрозповiдаютьднiйП. .вiд'¹мних.Адо.Мвсiхвечiрок,.Дiрака,морi,задачачастинок,значеньцiкдеавуякийпро¨хякiйiстоспiненерзатрималарибалок:частобравiю,якихiйщодляучастьпропдорiвню¹на

1/2

áó

øèñü ó àíöi (áóð âæ

втихл ),

äèí iç

å

ïî

äèòè ä óçi ,

взяти

ñâîþ ÷ ñòêó ðèáè é íà ñâî¹ìó ÷îâí

íà òðü õ,

äí

рибина ¹

. Âií ¨¨ âè

, óçÿâ ñâîþ

ëþ

поплив

берег. Др гий

балка, про

øèñü

íå çíàþ

÷ , ùî

éîãî

вариш уж

iдплив,

èâñÿкинувтакомуроздiлитиж ан

плисти

берег. Але вiн

уважив, що, я що вилов

áèн спочатку? Дiрак моментзайвоюльно дав вiд

âiäü, íå

соромлячись

третiм рибалкою iсторiя по

торилась. Питанн :

ñêiëüêè

áóëî ðè-

â ùi: ùîá

ðîçäiëèòè ðèáó

íà òðü õ,îïèäíу довелось викинуст

. Ç

¨¨ абсурдностi: було мiнус двi рибини. З

погляду

математики

38*

595

÷i ¹

долю,булозалишилосьрибин, то пiсля того, як перший рибзада ка

забравпростимсвою.Якщо

N

2(N − 1)/3 пiсля другого зали-

шилось

2[2(N − 1)/3 − 1]/3

= 2(2N − 5)розрах/9

пiсля третього

овувалосьвиннао бутидвох

Моментальна

яскравийm Äiðàê= −1, N = −2; m = −5, N = −29, . . ..

íiзикидартнихяселтронДiрака,(дивне.його.проблеми. )пiдх.магнiтсвбудiв¹ю

енервеликихспiнорi¨,рiвнянастрималапозч

теоретично¨

незрозумiлiстю.Азаряд.кореня.Дiракспiн,монопольквадрдовiд'¹мнiбàŸцетного74атьДiрак. знахСт а,ченняеричнийотриманнядазакприклад

ìè

Власнi

моменту

iëüê

руху в заг льному

êó

â Ÿ33. Ó Ÿ35

кремо

був розглянутий випадокäëÿ

ˆ

ˆ

J =

L + ˆs,

Правила комутацi¨

ˆs =

~

повногоσˆ .

моменту

2

тими самими, що й дляомутуютькпонент операторiв

ˆ

J ¹, очевидно,

операторiв

ˆ

части

L

ˆs. Компоненти

ˆ

ìiæ ñîá þ, îñêiëüêè äiþòü íà ðiçíi

змiннi: операˆs îðàL ê

тiна. Зспiновiувагизмiннi,нацебудьLщовласних-предстяккомпонентавляютьна просторовi ¨¨к ператоратрiшнiдинати ступе ки,вiльноса ˆs

вадратом

ˆ

J комуту¹ з його

ˆ

êцiй вiдповiдно2. Отже, вонизн чень:спiльну систему власних ун-

J

596

~2j(j + 1) à ~m. Êðiì òîãî,

оператор ˆ2

комуту¹ з ˆ 2 i

2. Справдi,

J

L

ˆs

ˆ2

ˆ

2

2

ˆ

ˆ 2

2

ˆ

ˆ

ˆ

i îñêiëüêèJ = L

+ ˆs

+ 2 Lsˆ =

L

+ ˆs

+ 2(Lxsˆx + Ly sˆy + Lz sˆz),

ˆ

1

ˆ2

ˆ 2

2

як i добуток

Lsˆ =

2

(J

− L

− ˆs ),

Власнi значення цих

ˆ

1

2

2

2

èíˆâiäïîâiäíîˆ

дорiвнюють

величJsˆ =

2 (J

− L

+ ˆs

).

òà

~2

3

j(j + 1) − l(l + 1) −

2

4

К антове число

2

j(j + 1) − l(l + 1) + 4

.

~2

3

Jz ψ = ~mψ.

ψ =

.

597

ψ2

Запишемо перше рiвняння в явнiй ормi, розкриваючи квадрат

оператора ˆ

J:

ˆ 2

2

ˆ

2

j(j + 1)ψ.

Зважаючи на те,(ùîL

+ ˆs

+ 2 Lsˆ)ψ = ~

ˆ

2 òà 2, ìà¹ìî

ψ ¹ власною ункцi¹ю L

ˆs

3

~2 + ~ Lˆ σˆ − ~2j(j + 1) ψ = 0,

причому

~2l(l + 1) +

4

ψ1

òà

ψ2

¹ с еричними ункцiями з орбiтальним кван-

товим числом

l. озпишемо матрицi:

3

−

0

1

ψ2

~2l(l + 1) + 4 ~2

~2j(j + 1)

1

рiвнянь

ψ1 òà ψ2:

1 0

i

0

+ ~Lz

1

0

ψ1

= 0.

Звiдси знаходимоˆ

систему двох

äëÿ

0

−1

ψ2

~2 l(l + 1) +

3

− j(j + 1) ψ1 + ~(Lˆx − iLˆy )ψ2 + ~Lˆz ψ1 = 0,

2

3

рiвняннi ˆ

ˆ

ˆ

Якщо прийняти â

~ l(l + 1) +

4

другому− j(j + 1) ψ2

+ ~(Lx + iLy )ψ1 − ~Lz ψ2 = 0.

ψ1 = C1Yl,m i врахувати, що

ˆзадоволенняˆ

éîãî(Lx

+ iLy)Yl,m =

~

(l + 1 + m)(l

p

ψ2 = C2Yl,m+1

му задовольня¹тьс

i перше рiвняння тому, що

. Ïðè öüî-

(Lˆx − iLˆy)Yl,m+1 = ~p

Yl,m.

598

(l − m)(l + m + 1)

C

dΩ ñY еричнi(θ, ϕ)Y óíêöi¨(θ, ϕ)+íî

−

Y

(θ, ϕ)Y

(θ, ϕ) =1.

|

2

l,m

l,m

l

m

l,m

+1

l,m+1

1|Z

l+m+1

Îñêiëüêè

рмованi, òî çâiäñè

Îòæå, äëÿ

C1 = r

.

l

2l + 1

j = l + 1/2 хвильова ункцiя

.

l+m+1

Yl,m(θ, ϕ)

(j)

2l+1

Аналогiчно для випадку

ψl,m

= q l m

q

2−l+1

Yl,m+1(θ, ϕ)

j = l − 1/2 ìà¹ìî

Öiäëÿ

ψl,m =

q

.

(j)

l−m

Yl,m(θ, ϕ)

2l+1

рiвняннi Дiрака

Насчастинкиункцi¨цiкавитименазиваютьiззарядомнерелятиŸс75еричними. âiñòñüiвняннякийспiнорамиПаулiперехiд.

−q

2l+1

Yl,m+1(θ, ϕ)

V

A:

ˆ

HDψ = Eψ,

e

2

Здiйснимо в цьомуˆ

рiвняннi

ормальний розкладˆ

за степенями

HD

= αˆ , pˆ

− c A c + eV + βmc .

1/c. Запишемо його як систему двох матричних рiвнянь

e

2o ψ = Eψ.

600

n αˆ , pˆ −

A c + eV + βmcˆ

c

E + mc2

− c A ϕ,

визначено¨ з другого

рiвняння.

Тепер для

óíêöi¨

рiвняння ма¹мо:

ϕ з першого

e

c2

−

e

2

σˆ , pˆ

− c A

E + mc2

eV

σˆ

, pˆ

− c A +eV

ϕ = (E − mc )ϕ.

Вiдраховуючи åíåð iþ âiä åíåð i¨ ñïîêîþ

це рiвняння

такому виглядi:

E = mc2 + E′, запишемо

1

e

−

e

2m

σìèˆ , pˆìà¹− c A

1 + (E′

eV )/2mc2

σˆ

, pˆ − c A +eV ϕ = E′ϕ.

êÒолиепеð

2

äî

Квазiрелятивiстське(Eнаближення′ eV )/2mcзнаменникуточнiстю1.

−

рiвняннi:мо, кщо знехту¹мо цим членом у

першого1/cдоданкотримà¹â-

"

σˆ , pˆ − ec A 2

+ eV # ϕ = E′ϕ.

601

2m