Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

2

тобто суму дiагональних матричнихαˆ = 1, обчислимоелементiв:шпур цього виразу,

i

Пiд знаком шпуру

можна робити

αˆj

перестановку матриць,

Sp (αˆj + αˆi

αˆ ) = 0.

öèêëi÷íó

çâiäêè ìà¹ìî

Sp αˆj + Sp αˆi2αˆj = 0,

2Sp αˆj = 0

îñêiëüêè

2

. Îòæå, øïóð, àáî

ñëiä,

будь-яко¨ з матриць

αˆj

нулевi:

äîðiâíþ¹ αˆ

= 1

Виберемо тепер з усiх можливихSp αˆjзображень= 0

таке, у якому матриця

ˆ

β ¹ дiагональною:

...

β

0

0

01

β

0

числа

βˆ =

2

. . .

,

. . . . . .

0

0

. . .

β

n

ˆ

ˆ2

=

βk ¹ дiйсними, оскiльки матриця β åðìiòîâà. Òîìó ùî β

1, ìà¹ìî

2

β

2

= 1,

. . . ,

β

2

= 1,

це означа¹,βùî= 1,

2

n

1

572

β1 = ±1,

β2 = ±1,

. . . ,

βn = ±1.

або, перемножуючи, ма¹мо

çâiäêè

c

−d

a

−b

+

a

b

= 0

мають такий вигляд:

a = 0, d = 0. Таким чином, матрицi αˆi

Отже, ми отримали, що

0

−2d

äëÿ

σˆi2

= 1. ешта переставних спiввiдношень для αˆi дають

ми прийняли

αˆi

=

+

σˆi

,

0

σˆi

0

b = σˆi, c = b+ = σˆi+, áî αˆ+ = αˆ

2

+

σˆi

= σˆiσˆ

+

+

αодержуˆ = 1¹ìîà¹ìî σˆ

i

i

= 1, i, припускаючи,.Далiщо σˆз умови= σˆ,

i

σˆ1 = σˆx, σˆ2 = σˆy, σˆ3 = σˆz :

2

σˆx2 = 1,

2

z

попереднiх,

σˆy = 1

диницi,

σˆ σˆ + σˆ σˆ = 0,

нянь:Мiркування,

äî

приводять

аналогiчнi

σˆyσˆz + σˆz σˆy = 0.

зображення,Зновувиберемоу як муоднудiагз матрицьнальною

¹iагональноюматриця. Наприклад, це

Sp σˆz = 0,

Sp σˆx = 0

Sp σˆy = 0.

574на ермiтова i квадрат ¨¨

σˆz .само,Оскiлькияк

äîðiâíþ¹

òî òàê

дляво-

Виберемоf = íèæíié1, òî g+çíàê+ g =i приймемо0, i з умови g+g = 1 знаходимо g = ±i.

g = − . Тепер

.

0

1

0

i

1

0

матрицi називають матрицями Паулi. Вони ¹ ермiтовими:

Öiσˆx

=

,

σˆy =

−

,

σˆz =

1

0

i

0

0

−1

+

+

σˆ

+

= σˆ

.

Отже, пiдставляючиσˆ = σˆ , цi виразиσˆ = σˆâ ,

z

z

x

x

y

y

матрицi

äèìî

αˆi, остаточно знахо-

0 σˆx

0 σˆy

,

αˆz =

0 σˆz

або в розгорнутому виглядi

,

αˆx =

,

αˆy

=

σˆx

0

σˆy 0

σˆz

0

0

0

0

1

0

0

0

i

0 0 1

0

αˆy =

0

0 i

−0

αˆx =

0 1 0 0

,

0

i 0 0

,

1 0 0

0

−

0

i

0 0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0 0

1

0

1

0

0

αˆz =

1

0

0

−0

,

такожβ =

0

0

1

0

.

−

0

1 0

0

0

0

0

1

−

−

576

αˆ =

0

σˆ

,

σˆ = i σˆx + j σˆy + k σˆz .

σˆ

0

Зрозумiло, що матр цi Дiрака визначаються неод означно.

¨х у деякому конкретн у зображеннi, якому

-

αˆ не чотирирядковими,

вищого порядку? Ми бачил , що по

рицiзнайшли

бути матрицi

перетворенняˆ

Äið

èдовiльногоможутьлядцихматрицьунiтарного.Це,

äíàβ, íåσˆz

ìîãîþ.é×â

àòè

допоявн

альнимизнайтиiзичнiвиявля¹тьс.iншийрезульЗа

æíà

дiагомо

вплине¹

зобража¹тьсяóíêöiÿ ψ ма¹якскладнiшу,чотирир нiжовауматтеоðицяi¨ -стовпець:åðà, структуру i

ядок цих матриць ¹ парним

äîðiâíþ¹

2n

,

n = 1 2, 3, . . .

. ßê

ùî

-

àтозi,.елементиприЯкщо виб ,рато

отрималиц хякимосьnóìîâ= 1,замалотодумовiльним.Отже,наαчиномˆ дi .довелоУчотикжномуяьбизабагШрединдеякi

n = 3

àòiâà .¹

ир дковими, то i хвильовамè íå

Оскiлькибнîâматрицiихрезульòÿäê

n > 2

ψ1

кластильностiдодатковi,нихОтже,Прикладпринципiвнавиходить,.простi.якДобування

ψ =

ψ

.

3

ψ2

-

êи,оренязгодом,якщомеханiкиквадратногорозширитиважрiвнйнiтеорi¨ÿзкннiпоняття4не. БудьДiвiдносностiтривiальнiак-якеостаннiхчислоундаменталь.ступенiНаприклад,породжу¹можна розвi

побамноквщожничимонтово¨по¹днання

ψ4

число 4 можна зобразит

ÿê

!

4 = 2 × 2,

!

!

ле можна його записати i через4 = золотий(−2) × (−перерiз2), ãðåêiâ

комплексно

√

√

4 = (

5 + 1) × (

5 − 1)

або як добуток

спряжених чисел:

дворядково¨Можна працюватиматрцiзi

√

√

число 4 як квадрат

складнiшими об'¹ктами i зобразити

4 = (

3 + i)

× ( 3 − i).

4

1

0

=

2

0

2

0

37 I. О. Вакарчук

0

1

0

2

0

2

577

!

1

0

0

2

!

0

2

!

про матрицю=

.

Тобто ми можемо говорити4

0!

0

1

2

2

0

!

!

0

2

Пригада¹мо також, що при спряженнi добутку матриць отриму¹

добуток ñïряжених матриць у зворотному порядку. Помножи-

ðiâíÿííÿ íåïåрервностi

ìî ïåðiзницю:шерiвняння на

ψ

+

злiва, а друге на

ψ

¨õíþ

∂ψ

∂ψ+

àáî

i~ψ+ ∂t

+

~

∂t

ψ = − ~cψ+(αˆ ψ) − i~c( ψ+αˆ )ψ,

Видно, що це

∂

(ψ+ψ) = −c (ψ+αˆ ψ).

∂t

∂ρ

= 0,

причому густина ймовiрностi+ d v j

∂t

íîñòi

ρ = ψ+ψ, а густина потоку ймовiр-

Сутт¹во, що густина ймовiрностij = cψ+αˆ ψ.

значеною величиною. Дiйсно,

ρ в теорi¨ Дiрака ¹ додатно ви-

ψ1

exвдалимякОтжmaρ = (ψ1 ψ ψ3 ψ4 )

ψ

= |ψ1|

+ |ψ2| + |ψ3|

+ |ψ4| ≥ 0.

3

ψ2

2

2

2

2

èрiшивсленнятруднощiвкiлькостi€усiквадрордонпроблемиз àрухуiнтерпретацi¹ютногоФокав.коре.темоментОдрi¨íя,имДiрактакимнесподiванцi¹¨амiльвеличсобideusèíè,ìi

це,булоhinaмиспособомŸ 72в, Дiракзбавленiтеорi¨. МоментобчКляйна

ψ4

ˆ

òîíiàíîì

L = [ˆrpˆ] ¹ iнте ралом руху для вiльно¨ частинки з г

ˆ

2

/2m:

H = pˆ

37*

ˆ

ˆ

579

[L, H] = 0.