Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

квантовХвильовiго числаункцi¨

R(r) áåðå

ç

Ÿ 40

çàìiíîþ

орбiтального

àáî

+ l > −1

l íà l

i ç âèìîãîþ, ùîá nr + l + 1 > −1/2

ïà nr

n ≥ 0

'

а¹мо, що ,тепертобтодляголовнетого, щобкванотриматиовечислорадiальну. Крiмункцiютого,

Rвогомо(r)

χ(r)

√

r

r

дiлитиŸ 44). Отже,задачi,на

радiальногощоб,орманезаписатина, якмножявнийтри

радiально¨хвипадкуднункцiю(дивункцi¨.акдляпожнашо¨

åîá

ið,óíêöiþîìó

èìëÿä

ãîç òàìŸ40

√

l = l − 1/2

Rn,l(r)

à çàìiñòü ïð éíÿò

позначення,замiсть

,

числа п шемî

n äëÿ

кванто-

орбiтальне число nr

пiсля цього

икориста¹мо для iндексацi¨

l та головне квантоâе число n = nr + l:

n,l

−

~

n!

n−l

¯l

агальнений полiном

Ла ерра, а частотЗокремаω =

Ln(x)

|e|H/2mc, стзнероç(n = 0, l = 0)

ρ = r/p

основного

àíó

мiрена координата

.

äëÿ

ронiвчастинкиозглянутепровiдностi

R0,0(r) = r

e−

.

2mω

ρ2/2

магнiтномуквантметалахванняполi.поясенерíþ¹етичногоявищедiамагнетизмуспектразаряджелåêòíî¨-

Ë

 À XI

КВАНТОВА МЕХАНIКА СИСТЕМИ БА АТЬОХ

ЧАСТИНОК

механiцi

Ÿ 81. Принцип тотожностi частинок у

.

õàíiêè

як правило, з

ереджували ув квантовiйгу на днiй

íÿ

ìè,

що основнi постулати т

ðiâ

о¨ теорi¨ працюють незалежно вiд того, чи розгляда

Зрозумiло¹тьсня дна части ка, чи ¨х

. Стан системипершопринципнiбагатьчастинцi

сукупнiсть. Для

стеми

частинок хвиль

тинокункцiяамплiтудизада¹ймовiрностi

Âîíà

основнекоординатиера: рiвняннязалежитьчастинкиквантово¨звiдвiдповiднимзмiннихмеханiки номером-.

вежнарiвняннязадовольня¹якихψШредин= ψ(q1, . . . , qN ; t)

q1

, . . . , qN

,

ëüñó

оператîðiâ

pˆj

оператор

~

∂ψ

ˆ

де гамiльтонiан

∂t

= Hψ,

N

pˆ2

ˆ

X

j

кiнетичних енер iйчастинокiмпузов

тенцiально¨склада¹тьсяенерзсумиi¨H =

2mj + U (q1

, . . . , qN ; t)

j=1

нiшнiм полестема,актонiU¨õ, âçà¹ÿêìiститьдiюмiжяк собою;вза¹модiю

iç

j

-

ֈ

èíêè,

mj

-

ñãà

чаютьсн ера:не¨¨язалежитьразоммасастацiонарн.iзможлявноèвiдвимичасустзначеннямианами,багаточасхвильовiенер

визнаiльШрединопису¹ться

ÿêèõ

тинковаункцi¨зЯкщорiвняння

ˆ

633

Hψ = Eψ.

озв'язок так го рiвняння ¹ складн ю

задачею.

новним пiдх дом при дослiдженнi проблемиматематичноюбагать х тiл ¹ рiзно

Моделi, якi

пускають точнi розв'язки, ¹ рiдкiстю,

òîìó îñ

манiтнi наближенi методи.

îçã

важливий клас б гаточастинкових систем,

нципуаналогмехх,туацiяки,додмисаме,можанiцтякi.недтв¹-.

частинки?системивахпов'язано,магнiтнийякi.шиУчасу¹механiцiнесво¨хкласичнiйвиявляютьднаковими,днуЦемаютьмитра¹кторiяхчастимомезпронумеру¹

принциповозмаютьсукупнiстьовiеласичнiйвтрачаютьпростежити,часособливостiжноютрдятьсяинки,лянемоднаковiмеханiцiкторi¨зiншоючастинок,iндивднаковихднакмасу,оскпринциповогоза.. деякийiЩоЯкщолькидуальнзаряд,частинокнавiтьакетихчас,ниспiстiпевнийсамихдн.рухаютьсякщолок,Урактеру.власнийовiТакiквантовiйалiзувуммомент

ìî

N

можемо зiденти i ува

¨¨ номер. Це

ïiñëÿ

ç òèì, ùî

ïî

öå îç

à¹, що в наступний

няття

ó êâàí îâié

åõàíiöi, âí ñë äîê

âè

åðiâ

ам ¨хнi хвильовi пакети

перекриютьсприсво¹нняi нумерац

à¹

ж дно¨ змоги розрiзн

моментднак вi

. Це твердженнÿ

i ñò

овитьчастинкак званий

нцип тот жностi

стинок

квантовiй

çначе остi айзенбер а, не ма¹ змiс . Мовою хвильових пакет

÷ стинок

переплута¹тьс . Таким чином,часу кв нтовiй механiцi

íå-

Перейдемо до математичного îðìóлювання принципу тотож-

ìåõ

.

òîãî,

|ψ(x2

x1)|

îêîëi

но анiцi. озглянемо для спрощення систему,частинкияк склада¹ться з N =

æíi,

ñòèíîê,

пiдчастякиминокбудемо.Позначиморозумiтичерезяк

просторовiсукупнiсть

оординат

2чатотожних

x

àê

спiновiймовiрностiкд нати

r = (x, y, z),

óíêö ¨

ã

s: x = (r, s). За означастинкинням хвильово¨

перебува¹дорiвню¹околi

точкигу тин

що перша частинк

2

ψ(x1, x2) так ¨ системи, величина |ψ(x1, x2)|

ìiñ

x1

, à

ругахвильîîâàê ëi òî÷

x2

. ßêùî

переставчастинки

öÿìè, òî ¨õíÿ

óíêöiÿ

ψ = ψ(x2

x1). Тепер велич на

à ¹ â îêîëi2 äорiвточкию¹ густинi ймовiрностi

що перша

-

òîòî

ïîâèííàx2âèê, онуватисьдруг ðiâíiñòüx1. Îñêiëüêè

634це i ¹ математичне ормулювання2

принципу2

тотожностi час-

|ψ(x1, x2)|

= |ψ(x2, x1)|

тинок. Звiдси виплива¹, що хвиль ва у кцiя

переставленими

частинками з точнiстю до азовогî множника

çáiãà¹òüñÿ ç âèõiä-

íîþ1:

Знайдемо значення ψàçè(x2, x1) = eiαψ(x1, x2).

тинок

ˆ

α. Уведемо оператор перестановки час-

P такий, що

Îòæå,

дiя цього

оператораˆ

зводиться до множення

óíêöi¨ íà

P ψ(x1

, x2) = ψ(x2

, x1).

eiα:

ˆ значенняраз операторомдля оператора

iα

перестановки. По-

дi¹морiвняннянаце рiвняннянавласнiPùåψ(x1, x2) = e ψ(x1, x2)

ановки,

P :

Однак,

ˆ2

áîêó,

iα ˆ

2iα

ψ(x1

x2).

з iншогоP ψ(x1, x2) = e

P ψ(x1, x2) = e

ˆ

2

ˆ

Отжороме,вихоперест

ùî ìè çàëè-

частинкисловам ,надiючисво¨хдвiчiмiсцяхопера.

x2).

ша¹моIншими

P ψ(x1

, x2) = P ψ(x2, x1) = ψ(x1

àáî

e2iαψ(x1, x2) = ψ(x1, x2),

Звiдси виплива¹, що

e2iα

= 1.

пiдкреслювали,

власне значення оператора2iα = 2перестановкиiπn, n = 0, 1, 2, 3, . . ., тобто α = πn, à

Таким чином,

eiα = ±1.

минадвiдiгра¹стартового1бачУ

ψ(x2

x1) = ±ψ(x1

, x2)

виниктатичас. .туОднакхвильовiй¹кихприперетворень,церетвореннстосувалосьункцi¨635ÿíåêõ

Фаза,ика,¹нащояканеважливуiзичнiазовийнабiга¹того,резуякиймножникрольпiд

принципово.

îункцiволiйонемножвплив

âiäiãðà¹

двохМичастинокр малиiз сукупностiважливийрезульсистемат: при перестановцi будь-яких

ψ(x1

x2

, x3, . . . , xN −1

, xN ) = ±ψ(x1, xN , x3, . . . , xN −1

, x2).

миункцiя або

хвильзмiоваю¹ знака,ункц яабоднаковзмiню¹Важливх нч стинокпртилежний¨няхв. Iншильова-

íå

N

îñ iëüêè.

гзмiню¹тьсiльтонiан,тощожнихця властивiстьчаси инокеми ¹

зберiга¹тьсяиметричноюзабочасомтисиметричною.Спавдсловами, i,

N

тотож их частинок

N

становки,

ˆ

ˆестановки

íå

ÿ âiä ¨õ ïå å

то операторH ïå= H(x1, . . . , xN )

êëàä, åõàé

ˆ

P ¹ iнте ралом руху. Напри-

N = 2. Ìà¹ìî

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

P Hψ = P H(x1, x2)ψ(x1, x2) = H(x2, x1)ψ(x2, x1)

àáî

=

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

H(x1, x2)ψ(x2, x1) = H(x1

, x2)P ψ(x1, x2) = HP ψ,

ˆ ˆ

ˆ ˆ

îчнисисвихм,. . .

минятемуЯкщо,отже,Такимункцiй

P H − HP = 0.

-..i

Ñ

.

îâi

óí öi¨

àê çâàíi áîçå

àáî

åðìi-

åðìiîíè. Öi

азви походять вiд прiз ищ учених, якi запро

по ували вiдповiдАнтисиметричнiатистики

сук пностей днаковихчастинки,

òèê

îê.

атистику запропонуписуютьав 1924 роцi iндiйсь-

ученийСиметричну. Бозе (1894 1974)

äëÿ квантiв

свiтла й уз гальнив

äëÿ

¨¨ зв'язок iз квантовою механiкою встановив

êi

ементарнi частинки, як

протон, ней рон,

ìþî

Ï. À. Ì. Äiðàê.

атистика, якiй пiдкоряються

àñò

,

äíî

показав, що

значно

¨õ iì ñïiíîì: åðìiîíè öå

÷àñ èíêè

ç ïiâ

ö

êèë ì ñïов'язанабозониiном,

iç öiëèì.

åðìi

iâ ¹

¹ ñêëадними, то хвильова ункцiя

àê æ ñè етричною

àáî àí

нейтрино,

позитрон. Б зонами ¹

тон, мезони. Якщо

частинки

тисиметричною, залежно вiд ¨хньогелектрон,спiну:Прикладомдорiвню¹ато3

ермiонитже,це ермi

í, àòîì

He ì๠ñïií 1/2,

бозоничинЯскрам2.iдримусiнерелятивiстськФiçприкладомчастинкиняютьсичнiHe,властивспiнвiдможнацьякоговластивостейогостiподiлити¹рiдкiстем,щонабнулевi,гскладаютьсядватокласиермiон¹бозо-

нихз бозонiв,.системТакимсутт¹во.

4

динатну

óíêöi¹þ,

ϕ

ввиглядiàвiд¹роздiленнясистемипросторовихдобутку:залежитьзмiннихомуспiновихнабл.Повнавiдженнi,спiновихкоординат,HeхвильоваттоHeрiвнянняступенiв.можун-

бутикцiя,Шрединвiльностi,Якщозображякерагамiльтонiзалежитьякенадопуцеск

Справдi,

3

4

жностi,

àê,

ψ(x1

. . . , xN ) = χ(s1 . . . sN )ϕ(r1

, . . , rN )

ютьде спункцiяновоюχ хвзалежитьльовоюлишеназиваютьШрединспiновихун цiязмiнних i ¨¨ нази а

-

îâîþiä

.ункцiюФактичнооординатрiвняння¨¨

натноюлежитьча¹лишехвильлишекоор

визна

êераоорд

óíêöi¹þ

просторових

ðàëiâ

ìiîíiâ

суперсиметричнихзаймавсцими.iзичнiIзадававцездаваалянеебпобуомаëакiо€довоюстанами.тивостiквантовссби,анавищщо-сортами.системиèõНiмецькийспiноваоскiлькитеорiяхомплексних.Математичн. Одполяматематикуповнакцiячиселдопускунасхвий.Тнеапарëочкуа¹тьсермзналаiдокма¹оваявт

χ

ìó

ìàíà),ç

твiрними-âè

просторi вi

âèðà

x1e1 +x2e2 +···+xN eN

, äå

e

N

2

ùî

eiek = −ek ei, ò ê

муватиiнтеч елементи (твiрнi ал ебри €рас

пiдкоренi умовi

äè-

àáî

ñïiíîâà

ψa = χaϕs

óíêöi¨

де з ачками

ψa = χsϕa,

a

a

a

a

s

s

s

s

¹ íîð-

мованимиМи вважа¹мо,. У другомущоˆ

випадкуй оординатнаенер iяˆ

хвильовi ˆ

Es = hψ

|H|ψ = hχ

|χ ihϕ

|H|ϕ = hϕ

|H|ϕ .

a

ˆ

a

новихiже,мiжнезважазмiннможлчаст

наякуняте,нерщоiстьазщоi¨ваютьцiгамiльтрактузалежатьдваобмiнзначетонiантьвiдякняоюнеспiновогоенервза¹модi¹ю,залежитьi¨ ствза¹моанувiдрiзницюспиистемдiю. Отж

èíõâi.

ками,ЦюючизначеЗрозумiло,залеж

Ea

= hϕ

|H|ϕ .

ñâî¹ðiäíóðiçíè

чити, якщо вказати

ñòàíiâ . Ñòàí ñèñò ìè ìî

ψf (x)

альнiйлiсичнiкажучи,iде¨теорi¨квантовi),акбудьвiдносностiзва -яку¨можнгеометризацi¨додстосовнотковутрактув'язь,атиза¹моравiтацiйно¨якдiй,удодатковунауякякихлада¹мовза¹модi¨реалiзовсилуперебуна. Фактична,рiâзокренянаютьяо-

638ма,церухуспiвзвучно3Узаг(кл

f

частинок,

|C1|2

= |C2|2 i,

величини

чаттинковихокремiдобутокчастинки:ункцiйψ хвильову(x ) . . , ψóíêöiþ(x ).цiло¨Побуду¹мосистемиз цих. Нехайодночасспо

f1

1

fN

N

дих атамиунцiй

, òàê

N =ç 2переставленими.Якдобутокхвильовкоор

ψf1 (x1)ψf2 (x2)

-

щосистемуутворитидвох лiнiйнiчастинок,омбiдíàк воницих добуткiве маютьψ певно¨(x )ψсиметрi¨(x ) опису¹.Як

f1

2

f2

1

, çãiäíîψ

ç ïð(x

xципом) = C

ψ

f1

(x

1

)ψ

(x ) óíêö+ C ψÿ

(x

2

)ψ

(x

1

),

f1

,f2

1

2

1

f2

2

2 f1

f2

f1,f2

1

2

s

системичино , правильними,двох тотожних частинок ¹ иìè хвиль -

верхнiйункцiюзнак системида¹ симетричну,двох частинокнижнiй. З умовиантисиметричнормуванíÿó õâè-

льовуде

ψf1,f2 (x1, x2) = C1[ψf1

(x1)ψf2 (x2) ± ψf1 (x2)ψf2 (x1)],

отриму¹мо

Z Z

|ψf1,f2 (x1 x2)|2 dx1dx2 = 1

√

C1 = 1/ 2

(íèæíié

N

ñó¹ìî−åðìi) ψ-f1,f2 (x1, x2)

íîþ ψfрозумi¹м(x) орт нормованими. Пiд значком iнте руванíÿ çà çìi

д натоюx

пiдсумовуванiíòå ðóâà íÿ çà

просторовою к ор

r ò

çà

симетризовазначен

ÿ

ñïiíîâ ¨

âèìè

óíêöiÿìè. Òàêèì

1

Цей результат легêî

узагальнити на систему з

ψf1

,f2

(x1

, x2) =

√2 [ψf1 (x1)ψf2 (x2) ± ψf1

(x2)ψf2 x1)].

Зауважимо, що антисиметричнуметрична хвиль ва ункцiя

N частинокзнак.

частиноквиглядi визна¹ чникзначником

äðóãîовуго порядкуункцiю. Томутак

длязапи-

N -го порядку:

ψ

(x ) ψ

(x )

ψ

(x )

ψf1

(.x1) ψf1

(.x2) ...

ψf1

(.xN )

f2

1

f2

2

f2

N

ψf1,...,fN (x1, . . . , xN ) = CN

.

fN

1

fN

2

fN

да¹цьому âперестийанiдоданкiввипадок,хвильавляння.Цеовутакхвильовiйчастолизванийункцiювсiнокчастибозесистемиункцi¨-днаккизiовими.перебувають.iндексамиЗрозумiло,.невза¹моОтже,стдномущонiвпритутней

томуможлиЗагаломновихж

ψf1,...,fN (x1, . . . , xN )

ючих частинок можна записати в

îìóNвиглядi:тотожних

äi-

Q

миде пiдсумовування проводимо за всiма можливими перестановкнормування

ψf1,...,fN (x1

, . . . , xN ) = CN

(±)

ψfQ1 (x1) . . . ψfQN

(xN ),

X

рiзних iндексiв

онiв,знакермiонiвiнус парне, числохнiйзнакперестановок; нижнiйдлябозонiвзнда¹кзнакбереться.Сталаплюсдля, непермiе

причому

f1, . . . , fN

äëÿQ

-

√

Для бозонiв

CN = 1/

N !.

CN = q

,

å

Nf1 ! . . . NfN !/N !

öå

iндексiв серед

f1, . . . , fN

, що набуваютьзаповнендого

òîãî æ ç

ачення

é Nfi

èñëî

Ìiæ

ормально

ермiонiв сталу нормування мож

записати так само, як i длябозонiв, тому що цьому

âñi

äåÿêi

æèé,

παραдеяком. . .

îç ÷à¹

близьанiий,можх(ïðå iêперебуватиалененетотожний),бiльше,нiж оли

оскiлькивершенняальненнялянути цьогопевноюстатистикпараграмiрою. .тотожних. . штучнуаодитьзвернемочастиноквiдатистигрецьувагу.êМожну,оговипадкуЧитакчазвануор-

çàðîçã

парастквантовомульноНаiншим,уатистику

Nf

= 0 1

Nf ! = 1

p частин к: при

íi частинкистикуБозевiдповiдАйнштайнаФермiютьДiраклише.Усiа,цамвiдомiякщогранична сьогоднi, î отриеле-

pвеличиентар=¹ìî1овимма¹мо

p = ∞

p.жливеБуспроби знайти частинки зi скiнченим значенням

перестчислоьсякòîñó¹òüñÿ¨íîþ. . . . àçè

Iíøå (éîãî

узагальненняp = 1 ∞атистичнимзалиша¹

áàчили,бiга¹ уцяхвильовiйаза

óíêöi¨ ï

ан вцi частинок. Якα, яками

ченняробовульабо

диниця. Можна оðìàëü

розглянутинабувалодробовезначеньзна-

α = πα′

, äå äié íå

α′

α′

частинок,

¹

ìó¹ìîêè

стережуванiя еперервно,елементарнiiмиотчастин

0

àáîα′

ермiонамстатиствивченняку(. Хочазмiню¹тьссп

≤

≤

÷

α′

= 1

α′

= 0

доцi¨,ннямдослiджк частиатистичногосистемидеякогопараквазiчастинок),абоiзичногоетрабозонамияищабудь(е-якимективно),можлидрбовимзводитьсi тузнíàÿ

å

ùî çíà

α′

. Зверт ¹мо

ак ж увагу й

ñò

äлянняослiджевовимiрановкиíтотожнихомуяноксистемипрмiсцямиαñòîði′ =тотожних0 å1ç¹

-

миурахуваннямочевидноюотрималиднакчастинок.iзичОтже,¨хнiхiзаналiзубудьреалiзацiявиника¹ðîçìiðiâ-якимперацi¨знаадачапереставодноченнямпере-прот

хвилями, ψf (x) = 1/√V . У загальному

виразi

äëÿ

хвильово¨

óíêöi¨

çâàдних1. Хвильенiонiвова(ангункцiял. anyon,ос овноговiд anyстану системибудь-який).

α, такПрикл

вiльних бозе-частинок

îá'¹ìi

N безспiнових

частинок. айменшимдорiвнюютьзначеннямнулевi:енер i¨, як ре-

алiзу¹ться,Основнийколианiмпульсихарактеризу¹тьсявсiхV

f1 = p1 =

0

. . . , fN

=

pN

=

0

ä

очастинковi ункцi¨, якi ¹ плос ими

личина

(x1, . . . , xN )

числа заповне

íÿ Np = 0

äëÿ

íåìà¹,à äëÿ

p = 0

âå-

ψf1

,...,fN

p 6= 0

41

I. Î.NВакарчукp=0 = N . Оскiльки рiзних iндексiв станiв

òî é êiëüêiñòü641