Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Тут ураховано (див. Ÿ32), що ( Ln) = (n L) = 0 i [ Ln] + [n L] =

2i~ n. Отже, ми знайшли

ˆ

2

ˆ

2

e4

Тепер

òîðiâ

легко знаходимоΛ = [(добутокσˆ L) + ~опера] − c2 .

ˆ

ˆ

ˆ

2

ˆ

ˆ

2

e4

Λ(Λ + ~) = Λ

+

~Λ = [(σˆ L) + ~]

−

c2

çáiã

Äið

−[(σˆ Lˆ ) +

~]~

+

c

(σˆ n)βˆ′

e2~

e4

= (σˆ Lˆ )[σ Lˆ + ~] +

c

(σˆ n)βˆ′ −

c2

ˆ

2

e2

~

e4

точно

а¹тьсянабира¹зчисельникомвигляду:оператора

вiдцентрово¨Як бачимо, цейенер=виразLi¨ i+

c (αˆ n) − c2 .

2

2

r +

ˆ

ˆ

2

ψ =

2

−

2

4

ченнятивiстськЗматоператìàòðiâîè÷íÿ

Λ(Λ + ~)

E

e

E

m c

ψ.

~

1 d

ðàíо¨няточкиШрединзору,ераце.Залрiвнянняèшилось¯ âæзнайтие нагаду¹власнiнереля¯ çíà-

−2m r dr2

2mr2

− mc2

r

!

2mc2

îñêiëüêè

ˆ . З цi¹ю метою поверта¹мось до оператора ˆ 2 i

Λ

Λ

ˆ ˆ

1

ˆ

2S L

ˆ2

ˆ 2

ˆ

2

äå

(σˆ

L) =

~

=

~

(J

− L

− S ),

ˆ

S = ~σˆ /2 оператор спiну електрона, то

ˆ

2

−

ˆ 2

−

2

+ ~!

2

4

Λ =

J

~

S

− c2 .

L

e

Çâiäñè áà÷

î, ùîˆ 2 звичайною замiною

оператîðiâ

2оператора2 ¨õ-

622нiми власними значеннями знах димо власнi значення2

ˆ

,

ˆ

ˆ

J

L

S

ˆ 2:

òå,

Λ

1

2

e4

äå

Λ2 = ~2 j(j + 1) − l(l + 1) +

−

,

4

c2

1

l = 1, 2, . . . ;

j =

1

l = 0.

заважрухуЗверта¹моневикористатiнтеувагуj = l ± 2

2 ,

знакраломè йогрухущо оператордляобчисленгамiльтоквадрíiÿàíòвласнихмоментуДiрака,знàкiлькостiчленьцене

Для верхнього

â

ˆ 2.

Λ

j

2

2

2

e4

2

2

2

для нижньогоΛ =

~ (l + 1)

−

= ~ [(l + 1) − α ],

c2

Λ2

= ~2l2

−

e4

= ~2[l2 − α2],

c2

2

ñ ïiíîð,òàëàåð¹ю кутово¨тонкякиймиструктуричастинививчалиоператора.ПривŸ74цьому.Хвильовавiдцентрово¨пам'ята¹мо,ункцiяенерщоi¨

αвласноюс= еричнийe /~c óíêö

¹ добуткомТеперзнах

власнiспi оразначеннянарадiальнуоператораункцiю.

¯

äèмочногоi

ψ

ùî ïðè

ˆ

Λ, зауважуючи,

e2 = 0

− ~

− S

+ ~! ,

а його власнiΛˆ =значення−[(σLˆ ) + ~] = −

J

L

Тобто при

Λ = −~ j(j + 1) − l(l + 1) + 4

.

1

такими:

2

6= 0

власнi значення оператора ˆ

Λ. Òîìó ïðè e

Λ ¹

Λ = −~p

,

Λ = ~p

,

j = l − 1/2, l > 0.

1

1

причому зн

вибрано так, щоб2ïðè 2

− 2

2 ,

êè

l

= q(j + 1/2) − α

Тепер рàдi чення,льрiвняння Дiр

à,α = 0 l = l

замiнивши,

.оператор

його власнi знà

запису¹мо тàê:

ˆ

Λ íà

−

~2 1 d2

~2l (l + 1)

e 2

R = E R,

äå

r +

−

2m

r

dr2

2mr2

r

öi¹þR операторарадiальна частина

¯

ψ, ¨¨ кутова частина ¹ власною унк-

ˆ

Λ,

íèì

e

2

=

E

2

E =

E2

m2c4

2 e ,

− 2 .

ЦезрукамирiвняннямкишеняхормаШрединëüíîз еразбiга¹тьсяормулидля атомаБоразнерелятиводню. Томувiстськимвж йрадiспрàëüâäi-

mc

2mc

(

E = −

me 4

,

2~2(nr + l + 1)2

квадратне рiвняннярадiальнавизíаченняеквантовеспектрачисло)енерзнаходимоi¨:

просте

nr = 0, 1, 2, . . .

àáî

E2 − m2c4

=

E2

me4

,

−m2c4 2~2(nr + l + 1)2

2mc2

Çâiäñè äëÿ åíåð i¨E2 − m2c4

= −E2

α2

.

(nr + l + 1)2

E′

= E − mc2 пiсля пiдстановки l знаходимо

E

= (1 + [nr +

α2

α2

+ 1/2

1/2]2 )

−1/2

− 1,

624mc′2

(j + 1/2)2

p

−

E

= (1 +

α2

−1/2

mc′2

)

− 1

[n − (j + 1/2) + (j + 1/2)2 − α2]2

óò

Hˆ =

(pˆ − eA/c)2

−

(µˆ H) + eV +

2

H,ˆ

2m

тодi векторний.Будемоввапо-

òжатиенцiалHполеможнанапруженiстьоднорiднимвибратиiмагнiтногоунезалежнимвиглядiполя,вiд

÷àñó,µˆ = −gµBˆs

òàê ùî

A =

1

[Hr],

2

Тепер

rot A = H,

div A = 0.

e

2

e

e2

40 I. О. Вакарчук

pˆ −

A

= pˆ

2 − 2

Apˆ

+

A2.

625

c

c

c2

Нас цiкавитимуть змiщення енер етич

èõ ëi

атома, лiнiйнi за

уважаючи поле достатньвiдсутностiслабким. амiльтоíiàí

äî A

2,

напруженiстю H. Тому нехту¹мо членом, пропорцiйним

де гамiльтонiан при

ˆ

ˆ

ˆ

H = H0ïîëÿ+ Hint,

pˆ2

ùî

ˆçà âçà¹ìîäiþ ç ìàãíiòíèìˆ

à ÷ëåí,

âiäïîâiäà¹H0

= 2m + eV +

2H,

полем,

e

Перетворимо

ˆ доданоê:

першийHint

= −mc (Apˆ) − (µˆ H).

1

1

1

ˆ

Îòæå,

(Apˆ) =

2

([Hr]pˆ) =

2

(H[rpˆ]) =

(HL).

ˆ

e

ˆ

e

ˆ

-

øå,ìi¹ìîíiæ H nt = −

2mc

(HL) − (µˆ H) =

−2mc H(L + 2ˆs).

зоглянемовiдстнiшн¹аньспополе,мiжщоiвнямирозщеплю¹достатньтонко¨сильнеенер÷àòêó ñòðóêòóетичнiполе,ри,пмагнiтнимрiвнiдякимамiльзначномиальногоутуютьрозубi íi

ˆ ìî

на знехтуватиоператораелятивiстським доданком

ˆ . ßêùî ò ê,

Hòî0компоненти

ˆ

2H

незалежно

iнте ралами руху во

ê

L

ˆ

кiльк. Отже,,остiщопопрарухуз

а¹тьсвонидоенерзв'язоквза¹модiютьi¨спiновогоз й

îðáiò

полем

H0

моментiв. Кажут

ïîëÿ,

±íi1ðiâíi/2озгля. Òàê

(1)

Ми спрямувалиˆ ïîëå âçäîâæ îñiˆ

+ 2ˆs)i

ˆ

E

= hHinti

= −

2mc hH(L

= −2mc HhLz + 2ˆszi.

e

z: H = (0, 0, H). Таким чином,

(1)

де магнiтне квантовеE число= −

H~(ml

+ 2ms),

ml = 0 ±1, . . . , ± l,

ñïiíîâå ms =

тонкрозщепленняемоо¨структуривипадокслабкогорiвнiв.Теперназиваютьякеерозщеплю¹ктомПашенаенер Бакаетич-.

626

ˆ

ìè çáåðiãà¹ìî ÷ëåí

ˆ

H0

2H i

~÷àñó/2

e

езалежному вiд

магнiтномуз рядом , полiяк руха¹тьсянапруженостiвднорiдíîìó,

H. амiльто iан ако¨ задачi

(pˆ

−

eA/c)2

(µˆ H),

рiвнимде векторний

потенцiалH =â

ˆ

иберемо, як i в попередньому парагра i,

2m

−

напруженiсть поля

A =

1

[Hr],

2

z H = (0, 0, H)

аломшвидкОтже,уватиостiнерелятивiстськмигамiльврахспiнто-ову¹моорбанH

квадратичнiе екдiявздовжiв,.Однакякзазалосiвекторнимжнiсть,будемомасипотенцiврахвiд.

ьакихвля¹мовза¹мо

åíè,

iнехтуваличнапр

-

íiе шеекту1975)о¨ Зе¹маназадачiнiмецький. Тгамiль1922бтоiзикм. îввiвнiаномв-теоретийде проПаулi, якийточнийïобудувавро ух,оз

òåîðiþ'ÿçîê9ÀëüAаномального,редякимиЛанде (1885

628Ланде.

g- àêтор множник

î

àêî¨

10

.

як електрон, на який на ладено стале

iäíå ìàãíiòíå ïîëå

в гамiльтонiанi. Осêiëüêè ç âíåñ-

Зробимо деякi

ˆ

pˆ2

e

e2

2

ðàòîð ìàãнiтногоˆ

÷àñòèíêè

нагада¹мо, щоHîïå=

2m

− mc

(HL) −моменту(µˆ H) +

2mc2 A

,

напрбуткуми скористалепер,женiстьрозкри

1

1

èëполясьи подвiйнийтутма¹моциклiчвiдмiвектооюну вiдперестановкðíийнуляоператордобутлишекю iвврахували,мiшаному дощо

=

4

rh[Hr]Hi = 4 r rH2

1

i

1

4 h

H

−

4

−

4

=

1

r2

2

(Hr)2

= H2 (r2

z2) =

H2

(x2 + y2)

i¨ вТгамiльтонiанi,розписуючи за

омпонентами

z-кiнетично¨омпонентенер.-

pˆx2 + pˆy2

e2 2

2

2

pˆ2

e

e

z

ˆ

ïðîåäèíсторовераихо¨ зхвильзмiнних,цово¨гамiльìèòîу нiаможемокцi¨допускíîì ˆза исатироздiлерiвняà¹

ííÿ

лишеспiновихвнянняH =äëÿiØ +

H

(x

+ y ) +

2m −

2mc H

L

z − mc H

sˆ .

2m

8mc2

z

мiсть оператора

ψ(r), ïокладаючи, за-

гкденсованихуреат

sˆz

~ms

ms

= ± /2

(1908 1968),

(

+

e2H2

(x2

+ y2)

e

Lˆ

+

pˆz2

8mc2

−

2mc H

z

2m

2m

e

пПершiощинiтри

äîäàíки в огамiльтонiанi описують рух частинки в

−mc H~ms)ψ(r) = Eψ(r).

àëüíî¨

åíåð(x, yi¨,),

зручнотому,з працюватилядуна центральвцилiндричнихкiнетичноюсиметрiюроздiляютьспотенцiдиатах

xðóõ= частинкиr cos ϕ, y вздовж= r sin ϕîñi,z. ßê áà÷

î, çìiííi äàëi

ÿ:

2

для рухувимiрногоплощинi (x, y) користуючись загальними

ормуламиp /2m,

z

ального рiвнянняNшляхом-

пiдстановкипростору з Ÿ44, перех димо до радi-

eipz z/~ e±ilϕ

ψ(r) =

√

√

R(r),

2π

2π

Rêâ(rнтове) радiальначисло хвильова ункцiя; −∞ < pz

< ∞; îðáiòà íå

íà âiñü

l = 0, 1, 2, . . . визнача¹ проекцiю моменту iмпуëüñó

зразу

z Lz = ±~l

ψ(r)

запису¹мо,

радiальне. Пiдставля¹морiвняння дляу рiвнянняункцi¨ Шредин ера i

χ(r) = √

−

~2

d2

+

~2

l

(l

+ 1) +

e2H2

r2

χ(r)

2mr2

2m dr2

8mc2

=

pz2

e

E − 2m

+êâ2mc H~(±l + 2ms) χ(r)

тдеруе ективне орбiталüíå

àíòове число для двовимiрного прос

íîãî l

= l − 1/2

Мипросторовогозвели нашу. осциляторазадачудорiвняннязчастотоюШредин ера для

вовимiр-

630

|e|H/2mc, ùî

а¹ змогу

æèòü âiäóâголовногоàæèòè,

квантовогоe >числа0, òàê i äëÿ e < 0 åíåð iÿ çàëå-

äå E

−

pz2

+

e

~( l + 2m

) =

~

|e|H

(2n

+ l

+ 3/2),

2m 2mc H

±

s

2mc

r

nr = 0 1, 2 . . . радiальне квантове число, або

pz2

e

~

e ~

e

ЛегкаточноEçà=

+

| |H

(2n

+ l + 1)

H

l

~m .

ùî ÿê äëÿ

2mc − mc H s

2m 2mc

r

Îñò

n = nr + l, n = 0 1, 2, . . . .

Öiîäæðiâ

E

=

e

~

1

pz2

e

~m .

|H

n +

+

числаеi енери: енерi¨ називаiю визначають рiв¹ голоямиâíåЛандакврóõí. товеЯк бачимчислâiäïîâiäíi, âîíè ¹ âè

n

| mc

2

2m − mc H

s

ð ìi

n, íå îê-

матикласич. Це зумовлено тим, що координати це тра кола,

nr

l

òкавленрате,згiдвоŸкщо17,í¨ìè

вироiлькимируху,вiдщодженнячастишвидкзна¹мопредсалiбруванняценк

ÿê

дитьна визнача¹очевидно,донеякщо,виродженнявипадкуомутуютьдночаснординатлише¨ мехенерйогоц.мiжанiки,певнихОтже,нтрарадiуiяпособоюнеякомук¹причиноюзi.лаЗауваiксу¹.атезалежитьАераламице,ь,координатиа¹тьсяосимо,

онамисичномутори

âî

операторiв

нез закклможу

− cpx/eH

x/няла,вприопер2 + cpy /eH y/2

pтинкипотенцiалу. Вони,

алiбрування векторногосамостiйночас

виразитине атимуть¨х через вiдкомпонентик

v = (p − eA/c)/m, якi ¹ сп стережув

ми авеичинами:

обчислитисуперсиметрi¹юазопекомутаториатор

операторiв. Допитливийко динатЧитцентрачзумовленежола мiж со

x + mcvy/eH

y − mcvx/eH

ноюКрiм цього,

ˆ

-.

а¹мо щеквантовимигамiльтонiанудодаетальнiшеовевир(дивдослiдитидження,.виноскуцiкна сторпитанняак.206):зва

äëÿ

Lz

e < 0 ðiâíi ç

числами n ms

= 1/2

n +

631