Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

У нашому= (ab) +випадкуi(σˆ [ab]).

i, таким чином,

a = b = pˆ − eA/c

e

2

e

2

e

e

A

=

pˆ −

A

+ i σˆ hpˆ −

A, pˆ −

Ai .

c

c

c

c

e

e

e

hpˆ −

A, pˆ

−

Ai

= [pˆpˆ] −

(− ~)[ A]

c

c

c

e

e

e2

ie~

òîìó,è що перенесенняь нуëåîвi,ператорав тðåòüîìó äî-

даПершийкумiсцямима¹моостазíакнiй +доданк+ c

[Apˆ] − c [Apˆ] +

c2 [AA] =

c rot A.

äîðiâíþþ

Îòæå,

A та pˆ i векторний добуток при цьому змiню¹ знак.

σˆ , pˆ −

e

2

e

2

e~

äå

A

= pˆ −

A

−

(σˆ H),

рiвнянняапруженiсть магнiтного поля. Таким чином, ми

отрима¹моH = rot A

602

pˆ

− ec A

2

e~

(σˆ H) + eV ) ϕ = E′ϕ.

(

−

e~

çìiñòˆ . Перепишемо його

ма¹ прозорий iзичний

1H = −

2mc (σˆ H)

òàê:

äå

ˆ

−(µˆ H),

1H =

пишемо

e~

µˆ = 2mc σˆ

ìàже,гнiтного¹цейзмiстдоданокопоператомоментураторðаiвняннiвласногоастинки¹опермагнiтногоiззовнiшнiмàòîром енермоментумагнiтнимi¨ вза¹модi¨частинкиполемвласного.. ОтЗа

стинки,

= ~σˆ /2 ( iромагнiтне

ñïiââiäíîøåííÿ):

µˆ через оператор спiну ˆs

µˆ = −gµBˆs

еактор. Цей

магнетон Бора,ального

магнiтногоак званий

g

-

µB = |e|/2mc

g = 2

(çàŸóíêöi¨,t) A

( A) σˆ

íà

( σˆ )

−

−

−

параметр76Перехо. Квазiрелятивдиницi,наякмопису¹о теперСпiдостськ-орбiтальнанаступногода¹наближенняутечасiжнаближенвза¹модiясамерух. рiвняннярiвняннярiвняннядляхвильово¨ДiракДiрак.а

параметромункцi¨розкладу,з

членад

ϕ

òïîбтопередньогоî парагра1другий/c. Дляачленцьвраху¹мв лiнiйнийчному,крiмпершогорiвнязамалимнi

(E′ − eV )/2mc2:

(

2m

2mc2

няння

1

+ . . .

A

+ eV

ϕ = E ϕ.

ПершийДругийПадоданлiзпоправкданоку адратнихою

ужкахнерелятивда¹ вжiстськзнайоме нам рiв

äî

ˆ

поправку,

причомуогогамiльтонiмизбере-

жемоана.

лише члени, пропорцiйнiда¹наступнуäî

1H

1/c2:

(pˆ

eA/c)2

(σˆ pˆ) E′

eV

'ÿòà¹ìî òàêтомуж, що ункцiяˆ

2m

2mc2

′

2m

1

H

−

ϕ.

Ïàì

−

+ eV +

−

(σˆ pˆ) ϕ = E

âîþ óíêöi¹þ,

що вона нормуϕ не¹тьсшрединяразомерiвськоюiзункцi¹юхвильо-

Z (ϕ+ϕ + χ+χ)dq = 1.

χ:

Îñêiëüêè óíêöiÿ

1

e

χ =

c σˆ , pˆ −

A ϕ

òî ç ïîòðiáíîþ íàì

òî÷íiñòþ1

=

1 + (E′

− eV )/2mc2

2mc

ϕ,

604

χ =

(σˆ pˆ)

ϕ

2mc

äà¹ìî â ðÿä:

2, операторнi коренi розкла-

Зберiгаючи прийняте наближення 1/c

1 +

pˆ2

(

pˆ

eA/c)2

(

−

+ eV +

1Hˆ

8m2c2

2m

−

(σˆ pˆ)

E′

−

eV

(σˆ pˆ)

òî÷í1

pˆ2

2m

öi

iñòþ, знаходимоψ = Eрiвняння:ψ .

2mc2

) −

8m2c2

Sch

′

Sch

Перемножóþ÷è

вирази ç òi¹þ æ

(pˆ

eA/c)2

поправка другого

порядку до гамiльтонiанаˆ ˆ

за параметром

äå

−2m

+ eV +

1H +

2H

ψSch

= E′ψSch,

1/c2

(σˆ pˆ) (E′

−

eV )

e

2

2

нямОтриманеПеретвориморелятивiстськHрiвняння=

(σˆ pˆ) +

(pˆ

V

V pˆ

).

ˆ

èðàìа¹поправокз длявигляд.рiвняння Шредин ера з урахуван

2

− 2m 2mc2

8m2c2

−

òåíöiàë

ˆ . Оператор

pˆ çëiâà äi¹ ÿê íà ïî-

2H

V ,

àê

íà õвильову ункцiю. озпишемо явно цi дi¨:

çäiéñíþ¹òüñ

ˆ

−

~

e(σˆ V )(σˆ pˆ)

2H =

(E′

eV )

(σˆ pˆ)2

e~2

Спростимо цей

−èðàç.

Ïî-

перше,

2V

− 4m2c2

( V pˆ).

−

2mc2

2m

− 8m2c2

÷èíó (

(σˆ pˆ)2 = pˆ2,знапо-друге, вели

2

E′ − eV ) можна замiню ати

à îï àòîð êi

етичново¨ ентеорi¨

pˆ

/2m

-

тому:¹ю збурень,маючи на уâазi, щоянарозрахуâильовихíîê ñåðункцiяхеднiх нучень,ль зазадачi,

pˆ4

pˆ2

=

pˆ2

= pˆ2(E′ − eV )

606

=

(E′ − eV )pˆ2 + 2ie~( V pˆ) + e~2 2V.

2

pˆ

4

2

2

сатиЗрозумiло,як (ùîE′ ëieVó )частинуpˆ =

ö ¹¨eрiвностi~ V ìè2доведенняieòàê~( æV pˆможемо).

çàïè-

−

2m

−

−

pˆ4/2m, çâiдки, мiж iншим, отриму¹мо цiкаву оператор у

2

рiвнiстьприклаДалi2i( V pˆ) = −~ V

ÿêî¨ ïîäàí

äiлядопершцьогогопараградоданкiншийа7у. виразiшляхдля

iз попереднь го парагра а:

ˆ

2H використа¹мî

Тепер, збираючи(σˆ âñåV разом,)(σˆ pˆ) =знаходимо( V pˆ) + i(σˆ [ V pˆ]).

Нехай потенцiалˆ

pˆ4

~e

(σˆ [ V pˆ]) +

e~2

2

8m3c2 + 4m2c2

8m2c2 V.

2H = −

V = V (r) ¹ центрально-симетричним, тодi

V = V (r) =

r dV

i другий доданок

r

dr

4m2c2 (σˆ [ V pˆ]) =

4m2c2 σˆ

r dr pˆ =

r dr 2m2c2 (ˆsL).

~e

~e

r dV

1 dV

e

ˆ явищнульзок-.

передмивдалоRвгнiадáаитовибиратиченняназвикористóâàннянiчогонаякцi¨хíiаотнууйðèнiдалiосновiìтотожн.алиентальнДляцейновiлюстрацi¨остièõçâ'çâ'ÿç

вiзьмемодорiвню¹кiвIзацього7зЧитачмiжономiрностейприводурiзнимипростийнулевiможàê .можназдивуватись,явищами,прикладПотрiбнонерiдксказати,приво. ëèøåакiвнiстьрунту¹тьсщощо

àëi,

àäîâолення,

зв'язкiнаспрастьзнихâдi,але¹ визнаннямвоно.Стовiдсотковеxякiпозбавля¹iснуютьнашогонасзнанняприродi,безси

ϕ(x)

∞ dx e−

x2

n

1 = 0 n = 1 2, 3, . . .

те руванням частинами

дорiвнюютьдимовигляду R

,

ií-

R

2

(−d/dx + 2x)

= 0.

−∞

−∞∞ dx (−d/dx)ne−x2 = 0 àáî

−∞∞ dx e−

x

n

значення

Ìè

имали мож ивiсть знахчиномдити се ед ¹

Для непар

n

ихза розподiлом €аусса, не

озраховуючи явним

iíòå ðàëè.

x

нулевi,азникуiнтелектуä ÿ

ìà¹ìî ëàí

наприклад,рiв янь цi середнi

цюжок

n

n = 2, 4 . . .

−2

+ 4x2

= 0, 12

−

48x2 + 16x4 = 0, . . . . Çâiäñè x2

= 1/2

òè,

2

ïîê

споне ти жна взя

x4 = 3/çâ'ÿçêiâ,4 . . . . Зрозумiло, що замiсть x

äå

E = −(µH),

вiстськiйµ магнiтниймежi момент частинки,

поле в нереляти-

1

1

1

äå

H =

[Ev] = −

[ V v] = −

[ V p],

c

c

mc

напруженiсть електричногоE =ïîëÿ− .VВекторний добуток

Îòæå,

[ V p] =

1

dV

[rp] =

1 dV

L.

r dr

r dr

i вiдповiдний оператор

E =

1

1

dV

(µL)

mc r dr

ˆ

1 1 dV

ˆ

1 1 dV

ˆ

e

1 dV

ˆ

Ç òî÷íiñòþH =

äî

(µˆ L) = gµB

(ˆsL) =

(ˆsL).

mc r dr

m2c2 r dr

mc r dr

-

âорбiтально¨аиькизнайшовЛ. Томаса,вза¹модi¨виразцейякийдля.виразМиусïнеершеiнсправдiбудемо-орбiтально¨1926збiга¹тьсяобговорюватироцiвза¹мозкласичнихоператоромдi¨,тутрозглядаючицi¹¨мiркуполоспiн

608

1/2

iнерцiальнiстюПроостннiй доданоквiдлiкуˆ вiдмiннийчасто говорять,алогвiдзадовольня¹.Нанулящонаштiлькийомупогляд,важктихцео

H2

потенцiал

точках,адатизовсiмзмiстде¹кзаряди.вiнНасамперед,не.Справдi,ма¹класичноговiн

Пуассона

V

рiвняння

äå

2V = −4πρ,

H2

~2e

2

πe~2

äiââií íå äîðiâíþ¹

åâi â тих точках

ï

остору, де густина заря

íóë8m2c2

V =

−2m2c2

ρ,

инатз тобтояд,ядра атома величиною

|e|Z

знаходитьсяρ 6= 0. Наприклад,чаткукрiзьякщооордорiвню¹

кiлькр енерна,

ρ = |e|Zδ(r)

ядр дають,

такiолитра¹кторi¨орбiтальний. Отже,рухумвнелектментс

îãî îïåð òîðà

електрона

осякiiю рухупровiд цьдять

оператора ( V ) не змiню¹.

значенняКомпëексне спряженняZ

його, тому середн¹

-

òевизнарактувативипадок,якспiноли-орбiтальну вза¹монулевиразi.iю,Томуаналiтичноцей доданокпро

довжможнаену

L

Z

вотримцьомузначен

L → 0

r → 0

остмирозкриваючианньогодлядержимосередньогододанкаяку,при