Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

àöiéíi

∂

∂

Lˆy = −i~ z

∂x

− x

∂z

,

комутозначення:ˆ

∂

∂

Нагада¹мовипливаютьакожзякi

ñïiââiäíîøåння для цих операторiв,

Lz = − ~

x

∂y

− y

∂x

.

спiввiдношень

LxLy − LyLx

= i~Lz ,

ˆ ˆ

операторiв,

ˆ

ˆ

ˆ

Ly Lz − Lz Ly

= ~Lx,

сатиЦiкякаво,днещочерезсукупнiстьвекторнийˆ ˆ öèõˆдобутоктрьˆ õ

ˆ

можна запи-

Lz Lx − LxLz

= i~Ly .

ˆ ˆ

ˆ

Першенезi

Справдi, розписуючи скалярний(rL) = 0, добуток,(Lr) = 0ìà¹ìî.

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(rL) = xLx

+ yLy + zLz = x(ypˆz − zpˆy)

+ y(zpˆx − xpˆz ) + z(xpˆy − ypˆx)

Äàëi

= (xy − yx)pˆz + (zx − xz)pˆy + (yz − zy)pˆx = 0.

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

− zpˆy)x + (zpˆx − xpˆz)y

(Lr) = Lxx + Ly y + Lzz = (ypˆz

що i доводить наведенi рiвностiˆ. Очевидноˆ

також,ˆ

ùîˆ

+ (xpˆy − ypˆx)z = xLx + yLy + zLz = (rL) = 0,

282

ˆ

ˆ

n

= r/r.

(nL) = 0,

(Ln) = 0,

ˆ

ˆ

клад,Доведемо цю рiвнiсть, [розписуючиLr] + [rL] = ¨¨2i~çàr. компонентами. Напри-

ˆ

ˆ

æ,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

[Lr]x + [rL]x = (Ly z

− Lz y) + (yLz − zLy )

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

= (Ly z − zLy ) + (yLz − Lz y) = [Ly , z] + [y, Lz ]

ввiдношеннядi¹мо для

Àíàë ãi÷íî= [zpˆx

− xpˆz z] + [y, xpˆy − ypˆx] = x[z, pz ] + x[y, py ] = 2i~x.

îâåäiìîñï

òàê

що¹ -правильнимт -компонент. i перекону¹мось, що на-

веденеД

y

z

Äëÿ

ˆ

ˆ

n = r/r.

[Ln] + [nL] = 2i~n,

x-компоненти ма¹мо:

[Lnˆ ]x + [nLˆ ]x = Lˆy

z

y

y

z

− Lˆz

+

Lˆz

−

Lˆy

r

r

r

r

z

y

z

y

= hLˆy,

i + h

, Lˆz i = hzpˆx − xpˆz,

i + h

, xpˆy − ypˆxi

r

r

r

r

1

z

y

1

= z2 pˆx,

− x hpz ,

i + x h

, pˆy i − y2

, px

r

r

r

r

r

= −i~ z2 ∂x

r

− x

∂z

r

− x ∂y r

+ y2 ∂x

кЦеостiУведемодоводитьруху= −i~ − r3

− r

+ r3

− r +

r3 −

r3

= 2i~ r .

z2x

x xz2

x

xy2

y2x

x

тепенаøóð довекрозглòîðíóÿäóрiвноператорiñòü.

êâàäðàòà ìîìåíòó êiëü-

283

L

= LL = Lx + Ly

+ Lz .

− Lˆ Lˆ Lˆx − LˆxLˆ + LˆxLˆ = [Lˆx, Lˆ ]Lˆ − Lˆ [Lˆ , Lˆx]

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

= [Lx, L]L + L[Lx, L] = [Lx, Ly ]Ly

+ [Lx, Lz ]Lz

операторину з

ðîì

друге,

ˆ

операторiв

Lx

Ly

Lz ì๠ñïiëü-

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

+ Ly[Lx

Ly ] + Lz [Lx

, Lz ] =

~Lz Ly − i~LyLz

L

ˆ ˆ

ˆ ˆ

òðåò¹,

Це, очевидно, справджу¹ться для будь-яко¨ компоненти:

+

~LyLz

− i~Lz Ly

= 0.

квадратУведемоLx, Ly , Lz

омутують,

ìî

ˆêiëìà¹ìîˆкостiтакiрухутверджˆ åííÿˆ

. Ïî-

øå,ˆáóäüˆ -яка проекцiя

2

] = 0

2

] = 0

2

] = 0.

Звiдсиенту[Lx, L

[Ly, L

[Lz , L

ˆ

ˆ

2

вимiрюватись. По-

êî

åí ç

L

можуть одночасно

L i його квадрат

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ2 систему власних ункцiй. По-

îñêiëüêè

ˆ ˆ

ˆ

òî

власнi стан

моментуновi операториiмпульсумiж собою¹виродженимине.

i äîñëiäèìî ¨õíi

ˆ

ˆ

ˆ

комутатор

L±

= Lx

± iLy

властивостi. Обчислимо ¨хнiй

Îòæå,[Lˆ

Lˆ−] = [Lˆx + iLˆy , Lˆx − iLˆy ] = −i[Lˆx, Lˆy ] + i[Lˆy , Lˆx] = 2~Lˆz .

+

операторiв Lz i L

Далi, комутатор

[Lˆ+, Lˆ−] = 2~Lˆz .

Аналогiчноˆ ˆ

обчислю¹моˆ ˆ

комутаторˆ ˆ

äëÿ

ˆ

ˆ

ˆ

[Lz , L−] = [Lz , Lx] − i[Lz , Ly

] = −~

Lx −

Ly = −~L−.

ˆ

ˆ+:

284

[Lˆz , Lˆ±] = ±~Lˆ±.

Lˆ+Lˆ− =

Lˆx + iLˆy Lˆx − iLˆy = Lˆx2 − iLˆxLˆy + iLˆyLˆx + Lˆy2

Îòæå, =

ˆ2

ˆ2

ˆ

Lx

+ Ly

+ ~Lz .

i аналогiчно

Lˆ+Lˆ− = Lˆ2 − Lˆz2 + ~Lˆz

динатЗнахйдiмо тепер

èãëˆдятьсˆ óñiõˆöèõ ˆоператорiвˆ

у с еричних коор-

L−L

+

= L

2

2

− ~Lz .

− Lz

r, θ, ϕ, ÿêi ââî

я звичайно:

Ìè âæåx =ðàíiøår sin θ cosвиводилиϕ,

виразy = r sinäëÿθ sin ϕ,

z = r cos θ.

Аналогiчно знаходимо й усi iншi:

z

-компоненти оператора ˆ

L.

Lˆx = i~ sin ϕ

∂

+ ctg θ cos ϕ

∂

,

∂θ

∂ϕ

Lˆy = −i~ cos ϕ

∂

∂

− ctg θ sin ϕ

,

∂θ

∂ϕ

ˆ

−i~

∂

,

Lz =

∂ϕ

Lˆ± = ~e±iϕ ±

∂

iìïó

∂

+

ctg θ

,

∂θ

∂ϕ

ше вiдМирадiусрозглядL -вектора=ëè−~ sin2 θ ∂ϕ2 + sin θ ∂θ sin θ ∂θ .

поворотичасти

íêè, îëè õâèë(üîðáiòà óíêöiя залежить ли

-

дкукутовий,спiн,олимоменттодослiджумомент,повнийкiль285

альний

îстiв'язанийруху),об'¹ктзама¹йоговласнийнерухомлишемоментупросторi. iмпульсу,Утомульсу,виптобто

кпваний

r

момент iмпульсу ˆ

ê.iлькостiсистемуЗрозумiло,¨хнiйрухущосумiщоскладдорiвню¹ал. Тàåáðà¹òüæ ñсумiяитуацiяоператорiвздекiльккутовихвиника¹,альномухпроекцi¨частимен

тiвнок:ли, окремнаприклад,повнйхчастиномоментма¹моJ äîðiâíþ¹

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Jx

Jy , Jz

Lx

, Ly

, Lz

же,обто вонизаг задово

наспiввiдношенняторiвкут. О,

випадкульняють оператор¹тiакоюсамiпереставнiж,поворотуякопер

îì

ϕ навколо певно¨ осi

напрям-

n

ˆ

ˆ

äå

Rϕ = e

,

ˆ

¹ пов им моментом кiлькостi руху системи. Оператор ˆ

J

Rϕ

пов'язанiзмiннi,тат моментуоператорвласнiщоз описуютьперемiщеннямпарагракiлькостiункцi¨будь¨¨-яко¨внутрiшнii,операторiвсистемирухуйого проекцi¨ступенiяккваддi¹цi-

змiннi,йзначенняостiпроекцiйв власнихпопередньомуруху

êiëüê

ак33зовнiшнiбулоквадрат.. наВласнiпоказановнутрiшнi

рухувiльностiякаютьнаЯкŸмоменту

ì

власнi значення т

аснi ункцi¨ цих операторiв. Причо

ми будемо

зараз не про

бiтальний момент

знайти, розглянеговоритицю

проблему

загальнiше.

Отж , нехай ми ма¹мо трiйку операторiв ˆ

ˆ ˆ

iлькостi

чають вектор

ˆ

Jx, Jy , Jz , ÿêi âèç à

шення:

акi комутацiйнi сп ввiдí -

J i якi задовольняють

ˆ

ˆ

ˆ

[Jx, Jy ] = i~Jz ,

ˆ

ˆ

Зрозумiло,

ˆ

[Jz , Jx] = i~Jy ,

ˆ

ˆ

ˆ

-

Öèìõ

êiëü

îìатоментутацiйнентуньматичне.

ì

костiмиспiввiдношеньНашевводиморухузавдання:частинки,дойогорозглядуiзнайтинепроекцiй,зверттобтоможлаючисьаку¨¨вихоспiнвiвеличину,знадо.дячиконкретнихеннялишеякквадратвласнийiзщоцихзображцемк

286

[Jy , Jz ] = ~Jx.

виведення можливих значень квадрат

ту кiлькостi руху

içìó îðму ання власного механiчног

моменту

частинки. Од-

його п оекцi¨ не поглибить нашого

зумiн я iзичного меха

ïðîñ îðó,

зв'язокповоротамисиметрiйнимижливими чисельниìè

електрона, диктуються властивостями iзичного простору.

ак це виведення

¹

ìiæ

çíà

властивостя

ми спiну. Т ким чином, певнi

спiну, наприклад

цих позначенíÿ

ðiâíÿííÿ

власнi ункцi¨

à âласнi значенíÿ

мають вигляд:

áóäå

нумерувацевласне

ення квадратоператорачислоНумерументу к лькостi руху як

2

ти квантовим

пов'язанимипро позначення. Прийма¹мо,ченнящо

J

Домовля¹мось

çíà÷имо через

j

. Власнi значення оператора проекцi¨ ˆ

Jz ïî-

компонент

Jz .

ˆ

¹мо його квант вим числом m. Iз трь х

с стему влас

омпонентукетектор.ˆхню спiль у

их у кцiйJ ми познавибира¹моча¹моzчерез-

станом:усереднимо

квадрат

моментуJz ¹ обмеженимостiруху.заСправдi

êiëüê

|j, m . Ó

ˆ2

2

|j, mi = J

|j, m ,

J

ùî

Першспектрнiжвласнихоператорперехзначеньдитиˆ дооператорарозв'язку цих рiвнянь, зауважимо,

Jz

|j, mi = Jz |j, mi.

нерiвнiсть цi¹¨ рiвностi

ˆ

деяким

ˆ2

ˆ2

ˆ2

ˆ2

hJ

i = hJx i + hJy i

+ hJz i,

ˆ2

ˆ2

ˆ2

ˆ2

Îтже,чевидно,отрима¹мощоправаhJчастина− hJz

= hJx

+ hJy¹i.величною додатною.

àáî

ˆ2

ˆ2

≥ 0,

hJ

i − hJz i

яку можна записати так:

ˆ2

≤

ˆ2

i,

hJz i

hJ

−q

≤ q

≤ q

.

287

hJˆ i

hJˆz i

hJˆ i

2

2

2

методомомоператрiвнянняпородж

J ±|j, mi

Шредин

õiä

мiркуванням,записати, щощо й там.

ˆ+

ˆ Òîìó äà¹ìî

зручно

b ,

b.

Тепертимсамим

причому квантове ч сло

Jz = ~m,

зменшуватись

диницю,

íà î

m може, як бачимо, збiльшуватись або

288

m = ±1,

z óíêöiÿ|

±

| i

mmin

= −mmax

Нашi рiвняння на

значення

тепер мають виглядзначеннями.

const± сталi нормування. Звiдси виплива¹,

Áà

ˆ

Jz |j, mi = ~m|j, mi,

чимо, що власнаJˆ Jˆ± j, m

= ~(m

1)Jˆ± j, m .

h

− |

|

матричнi

hj, m + 1|J

|j, m

6= 0 òà

6

дорiвнюють

äå

Jˆ+, Jˆ−

äiþòü

Jˆ±|j, mi = const±|j, m ± 1i

елемент

що матричний

Òîìój′, m′

ˆëèøå

елементи

J ±

j, m

= const

j′, m′ j, m

±

1

= const

δ

δ

.

h

|

|

±h

|

±

j′,j m′ m±1

ðàíiøå,[Ji

, J −] = 2~Jz ,

дiагональний

ˆ+

òîðèj, m

1 Jˆ− j, m

= 0,осциляторавсiiншi

нулевi. Отже, опера-

нийякийелемемизíайшлит:

ˆ обчислимоˆ

ˆéîãî

матрич-

+

ˆелементˆ ˆ âiäˆ

добутку

ˆ

ÿê

добутокЗлiва матричнийматриць:j, m J

+

J

−

−

J −J

+

j, m

i

= 2операторiв~ j, m J j, mрозпису¹мо.

h |

òèì,

|

h |

z | i

ратора

|j, mi ¹ власною ункцi¹ю

ïå-

X X

hhj, m|Jˆ+|j′, m′ihj′, m′|Jˆ−|j, m

j′

m′

Справа ми скористалисьˆ

ùî

ˆ+

|j, mii

2

−hj, m|J−

|j′ m′ihj′, m′|J

= 2~ m.

19 I. О. Вакарчукˆ

значенням

~m

. З лiво¨ частини цi¹¨ рiвностi289

Jz з власним

íèõ âèùå

ìàтричних елементiв операторiв, ун слiдок виписа-

вижива¹ властивостейлишединдод

íîê iç ñóìè çà j′

, m′

Jˆ+, Jˆ−:

hj, m|Jˆ+ |j, m − 1ihj, m − 1|Jˆ−|j, mi

Уведемо

h

|

| рiвняння

m

2

скороченеj, m J− j, m + 1 j, m + 1 J

i

= 2~ m.

−h

|

|

ih

|

|

а для комплексно

ˆ+

çâiäñè ìà¹ìî

спряжено¨hj, m + 1|величиниJ |j, mi =

~λm,

У цих позначеннях попередн¹ˆ

¹ таким:

j, m J − j, m + 1 =

~λ .

λm−1λm−1 − λmλm = 2m,

2

2

Ма¹мо рекурентне рiвняння для невiдомих в лич н

|λm−1| − |λm|

= 2m.

2

2

+ C3m

3

+ . . . .

Ç

попереднього|λmрiвняння| = C + C1m + C2m

тепер ма¹мо, що

C + C1(m − 1) + C2(m − 1)2 + C3(m − 1)3

ниПорiвнюючи

+êîå. . . −iöC¹íòè− C1m − C2m

2

− C3m

3

− . . . = 2m.

прирозкладу:днакових степенях змiнно¨ величи-

−2C2 + 3C3 + . . . = 2,

,

, i îòæå,

−3C3 + . . . = 0.

−

C3

= C

4

= . . . = 0 C

1

= C

2

=

1

290

|λm|2 = C − m(m + 1),