Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ОТВЕТНИК ВСЕ В ОДНОМ. ФОРМАТ А5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.02.2015

Размер:

981.9 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Задача 1.1	С помощью "Математики"найти численное значение
наибольшего корня уравнения 0:1x = sin x с четырьмя верными зна-
ками после запятой.
Решение: Определим с помощью графика приблизительное зна-
чение наибольшего корня уравнения:
Plot[{0.1 x , Sin[x]}, {x, -4 Pi, 4 Pi},
AxesLabel -> {"x", "y[x]"}]
	y@xD
	1.0
	0.5
			x
-10	-5	5	10
	-0.5
	-1.0
По графику видно, что значение наибольшего корня уравнения
приблизительно равно 8.44. Найдем точное значение наибольшего
корня уравнения численно, используя метод хорд:

FindRoot[0.1 x == Sin[x], {x, 8.44}] {x -> 8.4232}

Найдем точное значение наибольшего корня уравнения численно, используя метод касательных:

FindRoot[0.1 x == Sin[x], {x, 8.4, 8.5}] {x -> 8.4232}

Видим, что результаты, посчитанные разными методами совпадают, следовательно они верные.

Ответ:

x = 8:4232

Задача 1.2.

Найти температуру в центре шара радиуса 1, если на его поверхности температура равна нулю. В момент времени t = 0 темпера-

тура спадает к границе шара от значения u0 к нулю по линейному закону.

Решение.

8u(r; 0) = u0		(1 r);		r2	@r@
	ut = a24u;	4	= r12 @r@	r2	@r@
>
<u(1; t) = 0:
>

Сделаем замену u(r; t) = v(r;r t).

r @t

1 @v

1 @

@v 1 @2v

1 @v

1 @2v

4u =

@r2

Получим новую задачу:

>vt = a2vrr;

<v(r; 0) = u0r(1 r);

>v(1; t) = 0;

:v(0; t) = 0:

Решим ее методом разделения переменных. Пусть v(r; t) = R(r)T (t).

Тогда

RT 0 = a2R00T

T 0		R00
	=		=
a2T		R

Рассмотрим следующую задачу Штурма-Лиувилля:

8R(0) = 0;

R00 + R = 0;

<R(1) = 0:

Е¼ решение зависит от

Найдем нетривиальные решения.

1. < 0

Характеристическое уравнение:

Тогда R(r) = C1e r + C2e r

R(0) = C1 + C2 = 0 ) C1 = C2:

R(1) = C2

+ e p

= 0.

Так как e + e 6= 0 ( < 0), то получаем C2 = 0 и R(r) = 0, что нас неустраивает.

2. = 0 Характеристическое уравнение: 2 = 0. Тогда R(r) = C1 + C2r.

R(0) = C1 = 0:

R(1) = C2 = 0.

Получили, что R(r) = 0, что нас неустраивает.

3. < 0

= . = ip

Характеристическое уравнение: 2

Тогда

R(r) = C1 cos (

r) + C2 sin (

R(0)

= C1 = 0.

= C2 sin (p

) = 0

R(1)

Так как мы ищем нетривиальные рещения, то C 6= 0. Тогда p 2

sin ( ) = 0

= ( n)2 Получили следующий набор собственных функций и собственных значений:

(

Rn(r) = sin nr;n = ( n)2:

1			1			1
kRn(r)k = R0	sin	2	nrdr = R0	sin	2	nrdr = R0	1+cos 2nr	=	1
kRn(r)k = R0	sin		nrdr = R0	sin		nrdr = R0	2	=	2 .

Получили следующее представление функции v(r; t):

	X
v(r; t) =	Tn(t) sin ( nr)
	n>0
Подставим в уравнение, получим:		X
X		X
Tn0 (t) sin ( nr) = a2( n)2		Tn(t) sin ( nr)
n>0		n>0

Получаем следуюущее уравнение на Tn(t):

Tn0 (t) = a2 2n2Tn(t)

Разложим начальное условие в ряд:

u0r u0r2 =

n sin ( nr);

n>0

ãäå

0 1

u0r2) sin ( nr)dr1

(u0r

r2 sin ( nr)dr5:

= 2u0 4

r sin ( nr)dr

r sin ( nr)dr =

cos ( nr)dr =

n Z

r cos ( nr)

( 1)

sin ( nr) 1 =

( 1)

2n2

r2 cos ( nr)

r2 sin ( nr)dr =

r cos ( nr)dr =

0 n Z

( 1)n

r sin ( nr)

sin ( nr)dr

n n

3n3

( 1)

cos nr

( 1)

((

1)n

В итоге:

( 1)n

(( 1)n

1) sin ( nr)

3n3

n>0

u0r u0r2 = X 43un03 (( 1)n 1) sin ( nr)

n>0

Получили следующую задачу на Tn(t):

(

Tn0 (t) = a2 2n2Tn(t);

Tn(0) = 43un03 (( 1)n 1)

T (t) = Ce a2 2n2t

C = 43un03 (( 1)n 1)

4u0

T (t) =

(( 1)n

1)e a

3n3

u(r; t) = 1

4u0

n+1

a2 2n2t

n>0

3n3

(( 1)

+ 1)e

sin nr

sin nr ! 1; r ! 0 r

Ответ.

Температура в центре шара:

u(0; t) = X 4u0 (( 1)n+1 + 1)e a2 2n2t

3n3

n>0

Задача 2.1.

Пусть A = diag( 1; : : : ; n) диагональная n n матрица, у которой 1; : : : ; n 2 R, è 1 6= j, j > 1. Пусть B некоторая другая эрмитова матрица n n. Требуется вычислить первые

три члена разложения по степеням " того собственного значения матрицы A + "B, которое при " ! 0 сходится к 1.

Решение.

Будем искать решение следующей задачи

(A + "B)x = x

(1)

â âèäå

= o + " 1 + "2 2 +

;

(2)

x = xo + "x1 + "2x2 + O

(3)

Из условия задачи ! 1; " ! 0 следует,

0 = 1.

÷òî

Подставим (2), (3) в (1):

Ax0 + A"x1 + A"2x2 + B"x0 + B"2x1 + O "3

0 +

1 +

"2x

2 + " 1

0 +

"2x

Выпишем коэффициенты при степенях ".

"0 : Ax0 = 1x0;

(4)

"1 : Ax1 + Bx0 = 1x1 + 1x0;

(5)

"2 : Ax2 + Bx1 = 1x2 + 1x1 + 2x0:

(6)

Рассмотрим (4). Пусть x0 = (x10; x20; : : : ; xn0 ). Получим следующую

систему уравнений:

1x1 = 1x1; > 0 0

>< 2x20 = 1x20;

: nxn0 = 1xn0 :

Из условия 1 6= j, j > 1 следует, что x0 = (x10; 0; : : : ; 0). Пусть x10 = 1. На текущем этапе получили:

0 = 1; x0 = (1; 0; 0; : : : ; 0) = e1:

(7)

Рассмотрим (5).

(A 1I)x1 = ( 1I B)x0

Из Альтернативы Фредгольма следует, что решение этого уравне- íèÿ x1 существует тогда и только тогда, когда

( 1I B)x0? Ker(A 1I) :

Из условия задачи 1; : : : ; n 2 R следует, что

(A 1I) = (A 1I):

Пусть v 2 Ker(A 1I) ) (A 1I)v = 0. Отсюда следует, что

Ker(A 1I) = fConst x0g = fConst e1g :

(8)

( 1I B)x0?x0 ) (( 1I B)x0; x0) = 0

1(x0; x0) = (Bx0; x0)

0		1
b11	b12	: : : b1n
B = Bb11.	b12.	:..:.: b1.nC
Bbn1	bn2	: : : bnnC
B		C
@		A

1 = ((b11; b21; : : : ; bn1); (1; 0; 0; : : : ; 0)) = b11

(A 1I)x1 = (b11I B)x0 = (0; b21; b31; : : : ; bn1)

b21

2 1

= B

b31

; C 2 R

3 1

bn1

1 C

= Ce1

bj1

ej; ãäå ej

= (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0)

j 1

}

В резудьтате получили следующий результат:

1 = b11;

= Ce1 +

bj1

ej:

(9)

Рассмотрим (6).

(A 1I)x2 = ( 1I B)x1 + 2x0

Аналогично, из Альтернативы Фредгольма следует, что решение этого уравнения x2 существует тогда и только тогда, когда

( 1I B)x1 + 2x0? Ker(A 1I):

(( 1I B)x1 + 2x0; x0) = 0

2(x0; x0) = (( 1I B)x1; x0)

2 = ((b11I B)x1; x0) = (x1; (b11I B) x0)

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.08.20191.14 Mб3ОС_лаб_wc.doc
#
01.07.2025740.35 Кб0Осипов ПП класс.метод.doc
#
01.07.2025179.71 Кб0Осипов расчет по законам Кирхгофа.doc
#
08.02.20151.3 Mб141Основы Дискретной математики.pdf
#
08.02.2015875.01 Кб113ответник 10-11.doc
#
08.02.2015981.9 Кб39ОТВЕТНИК ВСЕ В ОДНОМ. ФОРМАТ А5.pdf
#
08.02.20152.62 Mб84Ответник к госэкзамену_Белов.docx
#
08.02.20151.89 Mб151Ответник на госы.docx
#
08.02.20154.3 Mб56ответник по БЖД.doc
#
28.04.20199.45 Mб25Ответник.doc
#
01.04.2025926.05 Кб10Ответы Адам.docx