все лекции по линалу

Лекция № 1 (12.02.10)

Глава 5. Линейное пространство

§ 5.1. Вектор-столбцы

5.1.1. Основные определения

Определение 1. Матрица размера (s, 1) (т. е. состоящая из одного столбца) называ-

ется матрицей-столбцом, или вектор-столбцом:

a1a2 .K

an

Определение 2. Число s в определении 1 (т. е. число строк, или высота векторстолбца) называется его размерностью.

Определение 3. Элементы вектор-столбца называются также его компонентами.

Компоненты вышеприведённого вектор-столбца: a1, a2, …, an.

Вместо ‘вектор-столбец’ я часто буду говорить просто ‘вектор’. Вектор-столбцы часто обозначаются, как геометрические векторы: a, b etc.:

a1 a = a2 .

K

an

(В рукописном тексте буквой со стрелкою.) Размерность вектора a обозначается dim a.

Определение 4. Вектор называется нулевым (обозначение: 0), если все его компоненты равны 0:

Определение 5. Два вектора считаются равными, если они равны как матрицы, т. е. если равны их размерности и соответствующие компоненты совпадают.

5.1.2. Линейные операции над вектор-столбцами

Вектор-столбцы одной и той же размерности складываются покомпонентно: если

Сумма двух векторов разной размерности никак не определяется, она не существует.

Введём понятие основного поля: это множество всех действительных (вещественных) чисел или множество всех комплексных чисел (о которых речь впереди). Обозначать основное поле будем буквою K. Его элементы называются также скалярами.

Если λ − число из основного поля (λ K), то умножение вектора a на скаляр λ осуществляется (по определению) покомпонентно:

λa1λa2

λa = K .λan

a1

Определение. Противоположным вектором к вектору a = a2 называется вектор

K

an

−a

−a = K 2 .−an−a

Очевидно, что − a = (−1) a.

5.1.3. Восемь основных свойств линейных операций над векторами

Линейные операции над векторами обладают разнообразными свойствами. Здесь я выделю восемь из них, которые назову основными:

1)(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения);

2)a + b = b + a (коммутативность сложения);

3)a + 0 = 0 + a = a (существование нейтрального элемента по сложению);

4)a + (− a) = (− a) + a = 0 (существование противоположного элемента);

5)(λ + μ)a = λa + μa;

6)λ(a + b) = λa + λb;

7)(λμ)a = λ(μa) (ассоциативность умножения на скаляр);

8)1·a = a.

Свойства 5 и 6 в совокупности называются дистрибутивностью, свойство 8 специального названия не имеет. Во всех свойствах предполагаем, что замешанные там векторы имеют одну и ту же размерность.

Как видите, эти 8 свойств (и даже их названия) в точности совпадают с 8 основными свойствами линейных операций над векторами (см. лекцию № 3 первого семестра от

15 сентября, п. 1.1.3).

Доказательства этих свойств представляют собою простую рутинную проверку с использованием определений сложения векторов и умножения векторов на скаляры. В качестве образчика докажем, например, свойство 6. Пусть даны два вектора одной размер-

На экзамене вам будет предложено доказать какие-нибудь два из восьми свойств. В качестве упражнения докажите сейчас ещё какое-нибудь свойство. Почему именно эти восемь свойств берутся в качестве основных (уже второй раз!) − это будет ясно из дальнейшего. А сейчас воспользуемся тем фактом, что в той же уже упомянутой лекции первого семестра только из восьми основных свойств (не обращаясь к геометрии) были выведены ещё пять свойств. Следовательно, без новых доказательств мы можем считать их доказанными и для нашего нового типа векторов. (Повторите эти доказательства, потому что на экзамене могут их попросить заново воспроизвести, тем более, что я не включал эти доказательства в билеты первого семестра.) Вот эти свойства.

1.0·a = 0.

2.λ·0 = 0.

3.λ(a − b) = λa − λb (дистрибутивность умножения относительно вычитания).

4.(λ − μ)a = λa − μa (дистрибутивность).

5.Если λa = 0, то λ = 0 или a = 0.

Все остальные линейные комбинации называются нетривиальными.

Лекция № 2 (16.02.10)

Определение 4. Значением линейной комбинации (1) называется вектор (векторстолбец), который получится, если вместо букв a1, a2, …, ak подставить соответствующие конкретные векторы (расписанные по своим компонентам), а затем вычислить значение полученного выражения по правилам действий над вектор-столбцами.

Очевидно, что значение тривиальной линейной комбинации для любой системы векторов равно нулю (точнее, нулевому вектору).

Обратите внимание на различие между понятием линейной комбинации (формального буквенного выражения) и его значения. Более того, различные линейные комбинации одной и той же системы векторов (т. е. с различными наборами коэффициентов) могут, вообще говоря, давать одинакие значения. Рассмотрим пример:

Но значение тривиальной линейной комбинации 0·a1 + 0·a2 + 0·a3, как сказано выше, тоже равно 0.

Определение 5. Система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов имеет нулевое значение.

Эквивалентная формулировка: из равенства λ1a1 + λ2a2 + … + λkak = 0 всегда следует, что λ1 = λ2 = … = λk = 0.

Определение 6. Система векторов называется линейно зависимой, если она не является линейно независимой.

Другими словами, в этом случае существует нетривиальная линейная комбинация данных векторов, значение которой равно нулю (нулевому вектору). В вышеприведённом примере система a1, a2, a3 четырёхмерных векторов линейно зависима, т. к. значение её нетривиальной линейной комбинации 2a1 − a2 − a3 равно 0.

5.2.2. Теорема о сохранении линейных соотношений

Пусть дана произвольная прямоугольная матрица:

Будем рассматривать столбцы этой матрицы как вектор-столбцы размерности s:

В подобных случаях будем говорить, что мы расщепили матрицу на вектор-столбцы.

Предположим, что некоторая линейная комбинация этих столбцов равна 0:

Определение. Равенство вида (3) называется линейным соотношением между столбцами матрицы A.

Теорема (о сохранении линейных соотношений). Любое линейное соотношение между столбцами матрицы сохраняется при совершении элементарных преобразований над её строками.

Доказательство. Рассмотрим следующую однородную систему уравнений:

Перепишем её в векторном виде (см. п. 5.1.5):

Как было объяснено, соотношение (5) выполняется тогда и только тогда, когда набор чи-

ется одним из решений системы уравнений (4). Совершим теперь одно элементарное преобразование над строками матрицы A; она перейдёт в новую матрицу

Рассмотрим теперь новую однородную систему уравнений:

Ясно, что система (5) получается из системы (4) применением одного элементарного преобразования над её уравнениями, точно такого, какое мы совершили над строками матрицы A. Следовательно, системы уравнений (4) и (5) эквивалентны. Значит, набор чи-

λ1a1 + λ2a2 + … + λnan = 0.

Но это как раз показывает, что соотношение (3) сохранилось между столбцами матрицы B, QED.

5.2.3. Базис системы векторов

Определение 1. Пусть a1, a2, …, ak – система векторов (1). Другая система векторов b1, b2, …, br (2) называется подсистемою системы (1), если она может быть получена из системы (1) вычёркиванием нескольких векторов.

Замечание 1. Не исключается тот случай, когда вычёркивается пустое множество векторов, т. е. система (2) может совпадать с системой (1). С другой стороны, нельзя вычёркивать все векторы системы (1), если только мы не будем допускать пустых систем векторов (я этого допускать не буду).

Замечание 2. Из определения следует, что векторы второй системы имеют ту же размерность, что и векторы первой системы.

Определение 2. Пусть a1, a2, …, ak – система векторов (1) и пусть b – ещё один вектор той же размерности. Говорят, что вектор b линейно выражается через векторы системы (1), если он может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов системы (1), т. е. существуют такие числа λ1, λ2, …, λk, что

b = λ1a1 + λ2a2 + … + λkak.

[Строго говоря, правильнее было бы сказать, что вектор b является значением линейной комбинации λ1a1 + λ2a2 + … + λkak. Подобную вольность речи я буду позволять себе и в дальнейшем.]

Замечание. Нулевой вектор линейно выражается через любую систему векторов:

0 = 0×a1 + 0×a2 + … + 0×ak.

Определение 3. Пусть a1, a2, …, ak – система векторов (1). Линейно независимая подсистема её b1, b2, …, br (2) называется базисом системы векторов (1), если каждый вектор первой системы линейно выражается через векторы второй системы.

Более подробно, система (2) – базис системы (1), если

1)вторая система является подсистемой первой;

2)вторая система линейно независима;

3)каждый вектор первой системы линейно выражается через векторы второй сис-

темы.

Лемма. Система, состоящая из одного вектора, линейно независима тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой.

Доказательство. Пусть вектор a ¹ 0. Если λa = 0, то λ = 0 или a = 0 (свойство 5 из п. 5.1.3 (см. лекцию 1). Так как по условию a ¹ 0, то λ = 0, что означает линейную независимость. Если же a = 0, то нетривиальная линейная комбинация 1×a = 0, что означает линейную зависимость.

Теорема. Любая конечная система векторов, содержащая хотя бы один ненулевой вектор, обладает базисом.

Доказательство проведем индукцией по количеству векторов (k) системы (1).

Рассмотрим сначала тот частный случай теоремы, когда первый вектор системы a1 ¹ 0, а остальные её векторы (если они есть) равны нулю. Мы имеем систему a1, 0, 0, …, 0 (1), a1 ¹ 0. Докажем, что система (2), состоящая из одного вектора a1, является базисом системы (1). Для этого надо проверить выполнение условий 1–3. Выполнение условий 1 и 3 очевидно. Условие 2 выполняется в силу леммы.

Мы доказали, в частности, что для случая k = 1 теорема верна. Предположим, что теорема верна для k векторов; докажем, что тогда она верна также и для k + 1 вектора.

Имеем систему из k + 1 вектора: a1, a2, …, ak, ak+1 (*). Рассмотрим систему векторов a2, …, ak, ak+1 (**). Случай, когда все эти векторы нулевые, разобран выше. В противном случае система (**) по предположению индукции имеет какой-то базис, скажем, b2, …, br (3).

Рассмотрим теперь два случая.

1) a1 линейно выражается через векторы системы (3).