все лекции по линалу

6.1.5. Преобразования и подстановки

Определение. Отображение φ, отображающее множество A в себя, называется преобразованием (множества A).

Во множестве всех преобразований данного множества A определена операция умножения (композиции). Она ассоциативна.

Определение. Биективное (или, равносильно, обратимое) преобразование называется под-

становкою.

Произведение двух подстановок есть подстановка. Следовательно, на множестве всех подстановок также корректно определена операция умножения (композиции). Тождественное отображение εA является подстановкою. При этом оно играет роль нейтрального элемента (единицы) по умножению. Отображение, обратное к подстановке, всегда существует и также будет подстановкою. Следовательно, множество всех подстановок данного множества образует группу относительно операции композиции отображений. (Группою называется множество объектов произвольной природы, на котором определена ассоциативная операция умножения, существует единица и у каждого элемента есть обратный.)

Лекция № 9 (26.03.10)

6.1.5. Преобразования и подстановки

Определение. Отображение φ, отображающее множество A в себя, называется преобразованием (множества A).

Во множестве всех преобразований данного множества A определена операция умножения (композиции). Она ассоциативна.

Определение. Биективное (или, равносильно, обратимое) преобразование называется под-

становкою.

Произведение двух подстановок есть подстановка. Следовательно, на множестве всех подстановок также корректно определена операция умножения (композиции). Тождественное отображение εA является подстановкою. Отображение, обратное к подстановке, всегда существует и также будет подстановкою. Следовательно, множество всех подстановок данного множества образует группу относительно операции композиции отображений. (Группою называется множество объектов произвольной природы, на котором определена ассоциативная операция умножения, существует единица и у каждого элемента есть обратный.)

6.1.6. Табличное обозначение преобразований

Если все элементы данного множества записаны без повторений в виде некоторой последовательности (так можно сделать, например, со множеством всех натуральных чисел N, а также с любым конечным множеством), то изобразить данное преобразование можно в виде таблички (матрицы), подобной, например, следующим:

Инъективность отображения при такой форме записи означает, что в нижней строке все элементы различны, а сюръективность означает, что все элементы данного множества в нижней строке таблички присутствуют. Так, из двух вышеприведенных примеров видно, что первое отображение сюръективно, но не инъективно, а второе инъективно, но не сюръективно.

Чаще всего подобное изображение преобразования применяют к конечным множествам. В дальнейшем будем считать, что данное множество A есть множество всех натуральных чисел от 1 до n, расположенное в естественном порядке, а изображать будем только подстановки. Тогда в нижней строке будут находиться те же числа, что и в верхней, но записаны они будут в некоторой перестановке. У тождественной подстановки нижняя строка совпадает с верхней.

Как перемножить две подстановки, записанные в табличном виде? Объясним это на при-

Если мы перемножим те же подстановки в обратном порядке, то получим другой результат:

Таким образом, умножение подстановок, вообще говоря, некоммутативно.

Определение. Неподвижным называется элемент, который данная подстановка переводит в себя (в тот же элемент). Все остальные элементы буду называть перемещаемыми.

Чтобы найти подстановку, обратную к данной, достаточно переставить строки изображающей данную подстановку таблички (после этого можно, переставляя столбцы, расположить элементы верхней строки в нормальном порядке). Пример:

Подстановки можно изображать в виде ориентированного графа.

6.1.7. Свойства подстановок

Если подстановка σ переставляет два элемента i и j, т. е. σ(i) = j, σ(j) = i, i ≠ j, а остальные элементы неподвижны, т. е. σ(k) = k при k ≠ i, j, то такая подстановка называется транспозициею (элементов i и j). Если вдобавок переставляемые элементы являются соседними, т. е. j = i + 1 или i = j + 1, то такую транспозицию назовём элементарною.

Если для двух элементов нижней строки σ(i) и σ(j) выполняются неравенства i < j, σ(i) > > σ(j), т. е. большее число стоит левее меньшего, то говорят, что эти два элемента нижней строки образуют инверсию. Подстановка называется чётною, если число инверсий в нижней строке её табличной записи чётно, и нечётною в противном случае.

Заметим, что любая транспозиция обратна самой себе: τ−1 = τ (равносильно: τ2 = εA).

Предложение 1. Умножение данной подстановки справа на транспозицию равносильно перестановке соответствующих элементов нижней строки. В частности, умножение данной подстановки справа на элементарную транспозицию переставляет соседние элементы.

Объясним на примере:

В первом (левом) сомножителе по сравнению с исходной подстановкой (левой частью равенства) переставлены два элемента 5 и 6, а во втором (правом) сомножителе переставлены номера их позиций 6 и 2.

Предложение 2. Умножение данной подстановки справа на элементарную транспозицию меняет число инверсий на 1 (уменьшает, если соответствующие элементы образовывали инверсию, и увеличивает в противном случае).

Следовательно, умножение данной подстановки справа на элементарную транспозицию меняет чётность подстановки.

Предложение 3. Всякую нетождественную подстановку можно разложить в произведение элементарных транспозиций. При этом число сомножителей можно взять равным числу инверсий.

Доказательство индукцией по числу инверсий.

Если нет инверсий, то это тождественная подстановка. Если есть хотя бы одна инверсия, то не могут выполняться неравенства σ(1) < σ(2) < … < σ(n) (иначе σ = εA), а следовательно, для некоторого k выполняется σ(k) > σ(k+1) (равенства не может быть в силу инъективности). Переставим эти элементы и получим новую подстановку σ1, а для компенсации умножим справа σ1 на соответствующую элементарную транспозицию τ:

σ = σ1τ.

В подстановке σ1 будет уже на одну инверсию меньше. Если σ1 = ε, то, значит, в подстановке σ была единственная указанная инверсия, т. е. σ сама является элементарной транспозицией и равенство σ = σ является искомым разложением (из одного сомножителя); в этом случае предложение доказано (база индукции). Если же σ1 ≠ ε, то по предположению индукции σ1 можно разложить в произведение элементарных транспозиций:

σ1 = τ1τ2… τs,

причем s равно числу инверсий в подстановке σ1.

Имеем:

σ = σ1τ = τ1τ2… τsτ.

Мы разложили подстановку σ в произведение s + 1 элементарной транспозиции, но в ней ровно столько же инверсий. Предложение доказано.

Предложение 4. Всякую транспозицию можно разложить в произведение нечётного числа элементарных транспозиций. Следовательно, всякая транспозиция нечётна.

Доказательство. Пусть дана какая-то транспозиция τ:

Рассмотрим пример, который покажет, как доказывать предложение в общем случае. Допустим, необходимо переставить элементы 2 и 6. Проследим, как будет изменяться положение элементов в нижней строке:

Итого: 2k + 1 элементарная транспозиция. Таким образом, мы разложили транспозицию элементов 2 и 6 в произведение нечётного числа элементарных транспозиций.

Предложение 5. Умножение справа на транспозицию меняет чётность подстановки.

Доказательство. Умножение справа на транспозицию равносильно умножению справа на произведение нечётного числа элементарных транспозиций (предложение 4). Умножение справа на одну элементарную транспозицию меняет число инверсий на единицу. В общей сложности число инверсий изменится на нечётное число, что означает изменение чётности подстановки.

Предложение 6. При любом разложении подстановки в произведение транспозиций число сомножителей имеет ту же чётность, что и сама данная подстановка.

Доказательство. Пусть

σ = τ1τ2… τs = eτ1τ2… τs.

Если число сомножителей s чётно, то по предложению 5 чётное число раз переменится чётность подстановки ε, т. е. подстановка σ чётна. Аналогично для нечётного s.

Предложение 7. Произведение двух подстановок одной чётности чётно. Произведение двух подстановок разной чётности нечётно.

Доказательство. Разложим обе подстановки произвольным образом в произведение транспозиций. Допустим,

σ1 = τ1τ2… τs – чётная подстановка;

Из предложения 6 следует, что s чётно, а t нечётно.

нечётна. Аналогично в других случаях.

Предложение 8. Обратная подстановка имеет ту же чётность, что и данная.

Доказательство. Пусть σ – данная подстановка, σ−1 – обратная к σ. Рассмотрим произведе-

ние:

Необходимо доказать, что σ и σ−1 имеют одну и ту же чётность. Допустим, σ и σ−1 имеют разную чётность, тогда левая часть равенства (1) нечётна по предложению 7, а правая – чётна, чего не может быть.

Лекция № 10 (02.04.10)

§ 6.2. Разложение подстановок в циклы

6.2.1. Определение и простейшие свойства циклов

Определение. Подстановка σ на множестве A = {1, 2, …, n} называется циклом, если существуют такие попарно различные числа i1, i2, …, ik A, что

σ(i1) = i2;

σ(i2) = i3; …;

σ(ik) = i1.

Все остальные элементы неподвижны.

Пример:

2, 6, 3, 1 – перемещаемые элементы.

Число перемещаемых элементов (k) называется длиной цикла. Она всегда больше единицы. Тождественную подстановку можно условно считать циклом длины 1. Цикл записывается так: (i1, i2, …, ik).

Определение. Два цикла называются независимыми, если множества перемещаемых элементов у них не пересекаются.

Теорема. Всякая нетождественная подстановка может быть разложена в произведение нескольких независимых циклов, длина которых больше или равна двум.

Доказательство. Если нет перемещаемых элементов (все элементы неподвижны), то подстановка тождественна. В противном случае возьмем произвольный перемещаемый элемент и обозначим его i1. Рассмотрим бесконечную последовательность

i1, i2 = σ(i1), i3 = σ(i2), … .

В этой последовательности все элементы не могут быть различны, так как число элементов множества конечно. Пусть im − первый элемент в последовательности, равный одному из предыдущих: im = in, n < m. Если n > 1, то σ(in−1 ) = in и σ(im−1 ) = im = in, но тогда im−1 = in−1 в силу инъективности отображения σ, что неверно, т. к. первые m − 1 элемент нашей последовательности попарно различны. Следовательно, n = 1, т. е. σ(im−1 ) = im = i1. Таким образом, мы получили цикл (i1, i2, …, im−1 ). Длина его больше единицы, т. к. i2 ≠ i1 (элемент i1 является перемещаемым).

i5

i1

i4

i2

i3

Дальнейшее доказательство будем вести индукцией по числу перемещаемых элементов. Обозначим полученный цикл π0 = (i1, i2, …, im−1 ). Очевидно,

π0−1 = (im−1 , im−2 , …, i1).

Рассмотрим подстановку π0−1 σ. В ней элементы i1, i2, …, im−1 стали неподвижными, остальные элементы перемещаются так же, как в подстановке σ, т. е. новых перемещаемых элементов не прибавилось (неподвижные элементы для σ являются неподвижными и для π0−1 σ). Таким образом, число неподвижных элементов увеличилось, а число перемещаемых уменьшилось. В силу предположения индукции подстановку π0−1 σ можно разложить в произведение нескольких независимых циклов, длина которых больше или равна двум:

π0−1 σ = π1π2… πr.

Элементы i1, i2, …, im−1 , перемещаемые циклом π0, являются неподвижными для циклов π1, π2, … , πr, так что π0 от них независим. Умножим теперь обе части последнего равенства на π0 слева:

σ = π0π1π2… πr.

Теорема доказана.

Предложение. Любые два независимых цикла коммутируют.

Доказательство. Пусть π1, π2 Î Sn (так обозначается множество всех подстановок чисел от 1 до n). Предположим, что π1, π2 – независимые циклы. Необходимо доказать, что π1π2 = π2π1.

Обозначим через I множество перемещаемых элементов для π1, через J – множество перемещаемых элементов для π2 (I Ç J = Æ).

Возьмем произвольный элемент iÎA.

1. i Ï I È J является неподвижным для обоих циклов.

(π1π2)(i) = π1(π2(i)) = π1(i) = i,

(π2π1)(i) = i.

2. i Î I, и тогда i Ï J.

(π1π2)(i) = π1(π2(i)) = π1(i),

(π2π1)(i) = π2(π1(i)) = π1(i), так как π1(i) Î I.

(π1π2)(i) = (π2π1)(i).

Аналогично для случая i Î J. Предложение доказано.

Для произвольных двух подстановок, вообще говоря, (στ)n ≠ σn×τn, однако равенство верно в том частном случае, когда σ и τ коммутируют (στ = τσ).

Лемма. Если σ и τ коммутируют, то и σ и τn коммутируют.

Доказательство индукцией по n. При n = 1 доказывать нечего. Пусть доказано для n; тогда

στn+1 = στn×τ = τn×σ×τ = τn×τσ = τn+1×σ.

Предложение. Если σ и τ коммутируют, то (στ)n = σn×τn.

Доказательство. Этот факт можно доказать по индукции. Для n = 1 утверждение верно. Пусть (στ)n = σn×τn. Тогда

(στ)n+1 = (στ)n×στ = σn×τn×σ×τ = σn×στn×τ = σn+1×τn+1.

Пример:

Лекция № 11 (06.04.10)

Теорема. Общее число подстановок n-й степени (т. е. подстановок на множестве {1, 2, …, n}) равно n!

Доказательство. Будем доказывать теорему индукцией по n. При n = 1 доказывать нечего. Пусть доказано для n, и рассмотрим подстановки чисел от 1 до n + 1. Возьмём сначала те подстановки σ, для которых σ(1) = 1 (т. е. те, у которых первый элемент нижней строки в обычной табличной записи подстановки равен 1). Сколько таких подстановок? Очевидно, столько, сколько существует перестановок чисел от 2 до n + 1. Но таких чисел ровно n штук. Следовательно, таких подстановок столько же, сколько перестановок чисел от 1 до n, т. е. n! (по предположению индукции). Теперь рассмотрим подстановки, у которых на первом месте нижней строки написано число 2. Сколько их? Столько же, сколько перестановок чисел 1, 3, …, n + 1, т. е. тоже n!, т. к. этих чисел ровно n. Рассуждая подобным же образом дальше, мы видим, что все подстановки чисел от 1 до n + 1 можно разбить на группы (по первому числу второй строки), в каждую из которых попадают n! подстановок. Всего, стало быть, будет (n + 1)·n! = (n + 1)! подстановок, QED.

Определение. Знаком подстановки σ называется число1

+1, если σ чётна; sign s = -1, если σ нечётна.

Предложение. При умножении подстановок их знаки перемножаются, то есть знак произведения двух подстановок равен произведению знаков этих подстановок.

Доказательство. Если подстановки одной чётности, то знаки их равны и произведение этих знаков равно 1. Но произведение двух подстановок одной чётности есть чётная подстановка, знак которой также равен 1. Если же чётности разные, то произведение знаков равно −1, но таков же знак нечётной подстановки, каковая здесь и получается при перемножении чётной и нечётной подстановок.

§ 6.3. Определение и простейшие свойства определителей

6.3.1. Определение определителя

Пусть дана квадратная матрица:

Определение. Определителем квадратной матрицы называется число, которое ставится в соответствие каждой квадратной матрице по следующему правилу.

Возьмём всевозможные подстановки σ Î Sn. Для каждой подстановки найдём число, которое называется членом определителя. Всего членов столько же, сколько всего подстановок, т. е. n!.

sign σ×a1σ(1)a2σ(2)… anσ(n) – член определителя, соответствующий данной подстановке σ.

det A = ∑ sign s× a1σ(1) ×a2σ(2) ×… a× nσ(n) . σSn

1 Обозначение sign − это сокращение латинского слова signum ‘знак’ (не от английского sign!)

Таким образом, определитель по определению есть сумма всех его членов (сумма всех членов, соответствующих всевозможным подстановкам чисел от 1 до n).

6.3.2. Определитель транспонированной матрицы

Определение. Пусть дана квадратная2 матрица

того же размера, которая получится, если мы первую строку данной матрицы запишем в первый столбец, вторую строку – во второй столбец etc.

Транспонированную матрицу также можно получить, если симметрично отразить данную матрицу относительно её главной диагонали. Обозначим элементы матрицы AT через bij; тогда bij = = aji.

Теорема. Определитель транспонированной матрицы равен определителю данной матрицы. (Определитель не меняется при транспонировании.)

Доказательство. Необходимо доказать, что det AT = det A. Для этого применим определение определителя для транспонированной матрицы:

σ и σ−1 – одинаковой чётности, следовательно, sign σ = sign σ−1 .

sign σ×b1i1× b2i2×… × bnin = sign σ×ai11×ai22×… ×ainn =

Когда σ пробегает все подстановки степени n, σ−1 также пробегает все эти подстановки. Таким образом, для каждого члена определителя матрицы AT мы нашли соответствующий и равный ему член определителя матрицы A, и это соответствие взаимно однозначно. Утверждение доказано.

2 Транспонированную матрицу можно определить не только для квадратной матрицы.