все лекции по линалу

7.2.4. Формула Moivre’а1

Это формула возведения комплексного числа в тригонометрической форме в натуральную степень:

(r(cos φ + isin φ))n = rn(cos nφ + isin nφ).

Доказательство поведём методом математической индукции. При n = 1 доказывать нечего. Пусть формула верна для n. Тогда:

(r(cos φ + isin φ))n+1 = (r(cos φ + isin φ))n·r(cos φ + isin φ) =

=rn(cos nφ + isin nφ)r(cos φ + isin φ) = r n+1(cos (nφ + φ) + isin (nφ + φ)) =

=r n+1(cos (n + 1)φ + isin (n + 1)φ), QED.

7.2.5. Извлечение корней из комплексных чисел

Определение. Корнем n-й степени из комплексного числа z (n натурально) называется любое комплексное число, n-я степень которого равна z.

Таким образом, корни n-й степени суть не что иное, как решения уравнения

Если z = 0, то |w| n = 0, откуда |w| = 0 и w = 0. Таким образом, 0 и только 0 является корнем любой степени из нуля.

Теорема. Существует ровно n значений корня n-й степени из ненулевого комплексного числа. Изображающие их точки комплексной плоскости располагаются в вершинах правильного n-угольника.

Доказательство. Пусть в уравнении (6) z − данное число, не равное нулю, w − неизвестное. Ясно, что 0 не является корнем уравнения, так что оба числа обладают тригонометрической формой. Запишем:

(ρ(cos ψ + isin ψ))n = r(cos φ + isin φ);

ρn(cos nψ + isin nψ) = r(cos φ + isin φ).

В силу леммы п. 7.2.2 ρn = r, nψ = φ + 2kπ, откуда ρ = nr , ψ = ϕ + 2kπ . Вот формула, даю- n n

щая все значения корней:

w = nr (cos ( ϕ + 2kπ ) + isin ( ϕ + 2kπ )). n n n n

При k = 0 получаем одно из значений корня: nr (cos ϕ + isin ϕ ). Ясно, что все остальные n n

(а у них у всех одинакие значения модуля) получаются из этого последовательным при-

бавлением к аргументу одного и того же угла 2π . Однако при k = n мы получим n

1 Абрахам де Муавр (Abraham de Moivre, 26 мая 1667, Витри-ле-Франсуа − 27 ноября 1754, Лондон) — английский математик французского происхождения.

nr (cos ( ϕ + 2π) + isin ( ϕ + 2π)), что совпадает со значением корня при k = 0. Дальше n n

значения корня будут циклически повторяться. Для отрицательных значений k мы также

зом, все утверждения теоремы доказаны.

7.2.6. Основная теорема алгебры

Теорема (основная теорема алгебры комплексных чисел, без доказательства). Любой многочлен с комплексными коэффициентами, за исключением многочленов, являющихся ненулевыми константами (другими словами, любой многочлен степени, ≥ 1), имеет хотя бы один комплексный корень.

Эта теорема будет вам доказана в четвёртом семестре в курсе ТФКП (теории функций комплексного переменного) и специальных функций.

Лекция № 17 (30.04.10)

Глава 8. Линейные операторы

§ 8.1. Определения и простейшие свойства

8.1.1. Определение линейного оператора

n n

Определение. Отображение j: K ® K называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1°. j(a + b) = j(a) + j(b) для любых двух векторов a и b;

2°. j(la) = lj(a) для любого вектора a и любого скаляра l.

n

Определение. Пусть (u): u1, u2, …, un – какой-нибудь базис K , а j − некоторый линейный оператор. Рассмотрим j(u1) – это новый вектор нашего пространства. Следовательно, его можно разложить по этому же базису, и аналогично поступим с образами других векторов базиса:

…………………………………

j(un) = a1nu1 + a2nu2 +…+ annun.

Матрица

называется матрицей данного линейного оператора в данном базисе.

Это матрица, в столбцах которой стоят координаты образов векторов данного базиса в том же базисе, т. е. столбцы матрицы A − это изображения векторов j(u1), j(u2), …, j(un). (Обратите внимание на то, что матрица A является транспонированной по отношению к матрице коэффициентов написанных выше разложений. Таким образом, матрица линейного оператора выписывается по столбцам, а не по строкам.)

8.1.2. Примеры

1°, 2°. j = 0, e.

Первый оператор (нулевой) задается так: x a 0 для любого вектора x. Оба отображения, очевидно, удовлетворяют условиям:

j(a + b) = j(a) + j(b); j(la) = lj(a).

Разлагая образы векторов базиса, имеем:

j(u1) = 0×u1 + 0×u2 +…+ 0 ×un

и аналогично для других базисных векторов. Следовательно, матрица нулевого оператора нулевая. Для тождественного оператора e:

и т. д. Таким образом, матрица тождественного оператора единичная (в любом базисе).

3°. Возьмём какую-нибудь квадратную матрицу A размера (n, n). Рассмотрим ото-

бражение ψ: Kn → Kn, сопоставляющее каждому вектору x (рассматриваемому как мат- рица-столбец размера (n, 1)) новый вектор по правилу:

Проверим, что ψ − линейное отображение:

ψ(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = ψ(x) + ψ(y) (дистрибутивность произведения мат-

риц).

Найдем Aψ(e ) :

Из этого примера можно сделать вывод, что любая квадратная матрица А может служить матрицей подходящего линейного оператора в n-мерном пространстве относительно стандартного базиса.

8.1.3. Простейшие свойства линейных операторов

1°. Любой линейный оператор нулевой вектор переводит в нулевой вектор.

Доказательство. Пусть ϕ: Kn → Kn − линейный оператор. Тогда

ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0); ϕ(0) + (− ϕ(0)) = (ϕ(0) + ϕ(0)) + (− ϕ(0));

0 = ϕ(0) + (ϕ(0) + (− ϕ(0)));

0 = ϕ(0) + 0; ϕ(0) = 0, QED.

2°. Любой линейный оператор противоположный вектор переводит в противоположный.

Доказательство:

j(− a) = j((−1) ×a) = (−1) ×j(a) = − j(a), QED.

3°. Для любого линейного оператора

j(la + mb) = l×j(a) + m×j(b).

Доказательство:

j(la + mb) = j(la) + j(mb) = l×j(a) + m×j(b), QED.

5°. j(a − b) = j(a) − j(b).

Доказательство:

j(a − b) = j(a + (− b)) = j(a) + j(− b) = j(a) + (− j(b)) = j(a) − j(b), QED.

6°. j инъективен тогда и только тогда, когда только нулевой вектор переходит в нулевой.

Доказательство. Ввиду п. 1° достаточно доказать, что если j(x) = 0 x = 0, то j инъективен.

Пусть j(a) = j(b). Надо доказать, что тогда a = b. Но j(a − b) = j(a) − j(b) = 0;

a – b = 0; a = b, QED.

Лекция № 18 (07.05.10)

2

Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R рассмотрим отображение j поворота всех векторов на угол a вокруг начала координат против часовой стрелки.

ϕ(a) + ϕ(b)

a + b

a

Рисунок показывает, что наше отображение является линейным оператором:

j(a + b) = j(a) + j(b);

j(la) = lj(a).

(e)

Мы хотим записать матрицу Aϕ в стандартном базисе e1, e2. j(e1) = cosa×e1 + sina×e2;

j(e2) = −sin a×e1 + cosa×e2.

§8. 2. Действия над линейными операторами

8.2.1.Перемена порядка суммирования в конечных суммах

Вообразим, что нам дана прямоугольная таблица (матрица) A, заполненная числами (действительными или комплексными) или векторами (более общо, любыми элементами, которые можно складывать c выполнением законов ассоциативности и коммутативности сложения).

Мы хотим найти сумму всех элементов aij этой таблицы. Это можно сделать многими способами, но два способа очевидны.

Вычислим сначала сумму всех элементов каждого столбца, а полученные суммы сложим. Мы получим искомую сумму S. Но можно поступить по-другому: сначала сложить все элементы каждой строки, а затем сложить полученные суммы. Естественно, мы получим то же число (или вектор) S. Запишем S двумя вышеуказанными способами:

Мы видим, что два выражения отличаются только порядком записи знаков суммирования. Вывод: в конечных суммах можно менять порядок суммирования.

Примечание. В математическом анализе рассматриваются иногда бесконечные суммы рассматриваемого типа (суммы рядов). Для них наше утверждение о возможности перемены порядка суммирования, вообще говоря, неверно (верно только при определённых предположениях типа абсолютной сходимости рядов).

8.2.2. Ассоциативность умножения матриц

Теорема. Пусть даны три матрицы: матрица A размера (m, n), матрица B размера (n, s) и матрица C размера (s, t). Тогда

(AB)C = A(BC)

(обе матрицы существуют и равны).

Доказательство. При сделанных предположениях обе матрицы существуют и имеют одинаковые размеры (m, t). Вычислим произвольный элемент левой и правой матриц и сравним их:

Мы видим, что наши два выражения отличаются только порядком записи знаков суммирования. В силу сказанного выше они равны, QED.

8.2.3. Дистрибутивность произведения матриц

Аналогично можно доказать свойства дистрибутивности умножения матриц относительно сложения:

A(B + C) = A×B + A×C;

(A + B)×C = A×C + B×C.

8.2.4. Изображение вектора в данном базисе

Пусть дан произвольный базис u1, u2, …, un пространства Rn, и пусть дан ещё произвольный вектор x. Мы можем разложить этот вектор по данному базису:

n

x = ∑ xiui,

i=1

а набор коэффициентов (координат вектора) записать в виде матрицы-столбца (вектор-столбца)x1

X = x2 . Такую запись будем называть изображением данного вектора в данном базисе. Приве-K

xn

дём пример, показывающий, что изображение данного вектора, вообще говоря, отличается от обычной записи этого вектора как элемента пространства Rn (эти записи совпадают, если базис стандартный). В нашем примере

8.2.5. Координаты образа вектора при действии линейного оператора

Пусть в пространстве Rn действует линейный оператор φ, а его матрица в некотором произвольном базисе есть A. Пусть также x − некоторый вектор, y = ϕ(x) − его образ под действием данного оператора φ. Обозначим через X изображение вектора x в данном базисе, а через Y − изображение вектора y. Нас интересует связь между матрицами X, Y и A. Я утверждаю, что такая связь выражается следующей формулой:

Последняя запись есть разложение вектора y по базису uj, а так как коэффициенты такого разложения определяются однозначно, то мы имеем:

n

yj = ∑ a ji xi = (AX)j. i=1

Это доказывает нашу формулу.

8.2.6. Действия над линейными операторами

Пусть ϕ и ψ – линейные операторы в векторном пространстве V. Суммой этих линейных операторов называется отображение ϕ + ψ, действующее (по определению) следующим образом:

x → (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x).

Проверим, что ϕ + ψ – линейный оператор. Согласно нашему определению,

(ϕ + ψ)(x + y) = ϕ(x + y) + ψ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) + ψ(x) + ψ(y) = (ϕ(x) + ψ(x)) + (ϕ(y) + ψ(y)) = = (ϕ + ψ)(x) + (ϕ + ψ)(y).

Мы воспользовались определением суммы операторов и линейностью операторов ϕ и ψ. Аналогично доказывается вторая часть определения линейного оператора − произведение на скаляр (проверьте!).

Пусть ϕ – произвольный линейный оператор, λ – число из рассматриваемого поля K (R или C). Произведением оператора ϕ на число λ называется отображение ψ, обозначаемое λϕ и действующее следующим образом: ψ(x) = λ(ϕ(x)). Несложно проверить, что если ϕ – линейный оператор, то ψ – также линейный оператор. (Проверьте!)

Произведением операторов ϕ и ψ называется отображение ϕψ, действующее следующим образом:

(ϕψ)(x) = ϕ(ψ(x)).

Мы видим, что это не что иное, как композиция отображений ϕ и ψ.

Лекция № 19 (11.05.10)

Проверим, что композиция ϕψ является линейным оператором:

(ϕψ)(x + y) = ϕ(ψ(x + y)) = (линейность ψ) = ϕ(ψ(x) + ψ(y)) = (линейность ϕ) = ϕ(ψ(x)) + + ϕ(ψ(y)) = (ϕψ)(x) + (ϕψ)(y). Аналогично доказывается вторая часть определения линейного оператора − произведение на скаляр (проверьте!).

8.2.7. Подготовительные леммы

Лемма 1. Умножение прямоугольной матрицы справа на вектор стандартного базиса (высота которого должна быть равна числу столбцов данной матрицы) есть вычленение соответствующего столбца данной матрицы.

Доказательство. Пусть дана прямоугольная матрица A размера (s, n), и умножим её справа на вектор ej стандартного базиса пространства Rn. Мы рассматриваем здесь этот вектор как матрицу размера (n, 1) (матрицу-столбец). После умножения получится матрица размера (s, 1), т. е. опять матрица-столбец (но, вообще говоря, другой высоты). Вычислим i-й элемент bi этой новой матрицы-столбца. По правилу умножения матриц

bi = Σaik(ej)k = aij,

т. е. мы видим, что новая матрица-столбец полностью совпадает с j-м столбцом данной матрицы A, QED.

Лемма 2. Пусть даны две квадратные матрицы A и B одного и того же порядка n. Если для каждой матрицы-столбца X высоты n выполняется равенство AX = BX, то A = B.

Доказательство. Из условий леммы вытекает, что для любого вектора ej стандартного базиса пространства Rn имеет место равенство

Aej = Bej.

Но в левой части этого равенства в силу леммы 1 стоит j-й столбец матрицы A, а в правой − j-й столбец матрицы B. Значит, их j-е столбцы совпадают. Так как j произвольно, отсюда вытекает, что матрицы A и B совпадают, QED).

8.2.8. Матрица произведения двух линейных операторов

Теорема. Матрица произведения двух линейных операторов ϕ и ψ в каком-нибудь базисе равна произведению матриц этих операторов в том же базисе:

Aϕψ = AϕAψ.

Доказательство. Пусть X − произвольная матрица-столбец высоты n (здесь n − размер матрицы). Возьмем вектор x, изображением которого в данном базисе является столбец X (т. е. x − это

вектор, равный линейной комбинации векторов данного базиса с коэффициентами из столбца X). Тогда вектор ψ(x) изображается как AψX, а ϕ(ψ(x)) − как Aϕ(AψX) = (AϕAψ)X. С другой стороны, ϕ(ψ(x)) = (ϕψ)(x), так что этот же вектор изображается как AϕψX. Следовательно,

(AϕAψ)X = AϕψX,

откуда по лемме 2 Aϕψ = AϕAψ, QED.

8.2.9. Матрица суммы операторов и произведения на скаляр